1、新课程标准数学选修 22 第一章课后习题解答（第 1 页共 25 页）第一章 导数及其应用31 变化率与导数练习（P6）在第 3 h 和 5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为 和 3. 它说明在第 3 h 附近，原油温度1大约以 1 h 的速度下降；在第 5 h 时，原油温度大约以 3 h 的速率上升.练习（P8）函数 在 附近单调递增，在 附近单调递增. 并且，函数 在 附近比在 附()t3t4t()t43t近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想.练习（P9）函数 的图象为3()4Vr(05)根据图象，估算出 ， .(0.6)3r(1.2)0r说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接
2、提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数.习题 1.1 A 组（P10 ）1、在 处，虽然 ，然而 .0t1020()Wtt10102020()()WtttWt所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、 ，所以， .()(4.93.hthtt(1)3h这说明运动员在 s 附近以 3.3 ms 的速度下降 .13、物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数 在 时的导数.()t5，所以， .()(0sttt10s因此，物体在第 5 s 时的瞬时速度为 10 ms，它在第 5 s 的动能 J.21305kE4、设车轮转动的角度为 ，时间为 ，则
3、.t2()kt由题意可知，当 时， . 所以 ，于是 .0.8t828t新课程标准数学选修 22 第一章课后习题解答（第 2 页共 25 页）车轮转动开始后第 3.2 s 时的瞬时角速度就是函数 在 时的导数.()t32，所以 .(3.2)(.2508ttt.0因此，车轮在开始转动后第 3.2 s 时的瞬时角速度为 .1s说明：第 2,3,4 题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数 在 处切线的斜率大于零，所以函数在 附近单调递增. ()fx5 5x同理可得，函数 在 ， ，0，2 附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，4单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用 .6
4、、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数 的图()fx象如图（1）所示；第二个函数的导数 恒大于零，并且随着 的增加， 的值也在增()fx x加；对于第三个函数，当 小于零时， 小于零，当 大于零时， 大于零，并且随x ()f着 的增加， 的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种 .x()f说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系.习题 3.1 B 组（P11 ）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的 的信息获得 的相关信息，并据此画
5、出 的图象的大致形状. 这个()vt()st ()st过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数 的图象在点 处的切线斜率为 ，所以此点附近曲()fx(1,5)1线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2） （3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.新课程标准数学选修 22 第一章课后习题解答（第 3 页共 25 页）说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一.12 导数的计算练习（P18）1、 ，所以， ， .()7fx(2)3f(6)5f
6、2、 （1） ； （2） ；ln2y xye（3） ； （4） ；406x sin4cosx（5） ； （6） .si3y12y习题 1.2 A 组（P18 ）1、 ，所以， .()(2SrSrr0()lim(2)rSr2、 . )9.865htt3、 .32(4rV4、 （1） ； （2） ； 1lnyx1nxnye（3） ； （4） ；232sicosx 98()（5） ； （6） .xye2sin54cos(25)yxx5、 . 由 有 ，解得 .()82f0()4fx08036、 （1） ； （2） . ln1yx 1y7、 .8、 （1）氨气的散发速度 .()50ln.8340tAt
7、（2） ，它表示氨气在第 7 天左右时，以 25.5 克天的速率减少.()25.A新课程标准数学选修 22 第一章课后习题解答（第 4 页共 25 页）习题 1.2 B 组（P19 ）1、 （1）（2）当 越来越小时， 就越来越逼近函数 .hsin()sixhycosyx（3） 的导数为 .sinyxco2、当 时， . 所以函数图象与 轴交于点 .0x(0,)P，所以 .xye01xy所以，曲线在点 处的切线的方程为 .Py2、 . 所以，上午 6:00 时潮水的速度为 mh；上午 9:00 时潮水的速度()4sindtt 0.42为 mh；中午 12:00 时潮水的速度为 m h；下午 6
8、:00 时潮水的速度为0.630.83mh.113 导数在研究函数中的应用练习（P26）1、 （1）因为 ，所以 .2()4fx()2fx当 ，即 时，函数 单调递增；014当 ，即 时，函数 单调递减.()fx2()fx（2）因为 ，所以 .xe1e当 ，即 时，函数 单调递增；()0f()xf当 ，即 时，函数 单调递减.xe（3）因为 ，所以 .3()fx2()3fx当 ，即 时，函数 单调递增；0x13fx当 ，即 或 时，函数 单调递减.()fx()（4）因为 ，所以 .32x2()31fx当 ，即 或 时，函数 单调递增；()0f1x32()fx新课程标准数学选修 22 第一章课后
9、习题解答（第 5 页共 25 页）当 ，即 时，函数 单调递减.()0fx13x32()fxx2、3、因为 ，所以 .2()(0)fxabc()2fxab（1）当 时，0，即 时，函数 单调递增；()f2()(0)fc，即 时，函数 单调递减.x2baxab（2）当 时，0a，即 时，函数 单调递增；()f2()(0)fc，即 时，函数 单调递减.x2baxab4、证明：因为 ，所以 .3()67fx2()61fx当 时， ，0,2()10fx因此函数 在 内是减函数.3x(,)练习（P29）1、 是函数 的极值点，24,x()yf其中 是函数 的极大值点， 是函数 的极小值点.x4x()yf
10、x2、 （1）因为 ，所以 .2()6f()12f令 ，得 .10xx当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.2()f()f 12x()0fx()f所以，当 时， 有极小值，并且极小值为1xx.2149()6()f（2）因为 ，所以 .37fx2()37fx令 ，得 .2()0 下面分两种情况讨论：当 ，即 或 时；当 ，即 时.()fx3x()0fx3x注：图象形状不唯一.新课程标准数学选修 22 第一章课后习题解答（第 6 页共 25 页）当 变化时， ， 变化情况如下表：x()fxf,3(3,)3 (,)()fx 0 0 单调递增 54 单调递减 54单调递增因此，当 时， 有极
11、大值，并且极大值为 54；3x()fx当 时， 有极小值，并且极小值为 .（3）因为 ，所以 .3()612fxx2()13fx令 ，得 .02下面分两种情况讨论：当 ，即 时；当 ，即 或 时.()fxx()0fx2x当 变化时， ， 变化情况如下表：()ffx,2(2,)2 (,)()f 0 0 x单调递减 1单调递增 22 单调递减因此，当 时， 有极小值，并且极小值为 ；2()fx1当 时， 有极大值，并且极大值为 22x（4）因为 ，所以 .3()f 2()3fx令 ，得 .20x1下面分两种情况讨论：当 ，即 时；当 ，即 或 时.()fx()0fx1x当 变化时， ， 变化情况如
12、下表：x()ff,1(1,)1 (,)()fx 0 0 单调递减 单调递增 2 单调递减新课程标准数学选修 22 第一章课后习题解答（第 7 页共 25 页）因此，当 时， 有极小值，并且极小值为 ；1x()fx2当 时， 有极大值，并且极大值为 2练习（P31）（1）在 上，当 时， 有极小值，并且极小值为 .0,212x2()6fx149()2f又由于 ， .()f0因此，函数 在 上的最大值是 20、最小值是 .26x,2 4（2）在 上，当 时， 有极大值，并且极大值为 ；4,33()7fx(3)5f当 时， 有极小值，并且极小值为 ；x又由于 ， .()f(4)f因此，函数 在 上的
13、最大值是 54、最小值是 .327x,54（3）在 上，当 时， 有极大值，并且极大值为 .1, 3()612fxx(2)f又由于 ， .5()327f35因此，函数 在 上的最大值是 22、最小值是 .61xx,3 527（4）在 上，函数 无极值.2,3()f因为 ， .()f8因此，函数 在 上的最大值是 、最小值是 .3x2,218习题 1.3 A 组（P31 ）1、 （1）因为 ，所以 .()21f()0fx因此，函数 是单调递减函数.x（2）因为 ， ，所以 ， .()cosf(,)2()1sin0fx(,)2x因此，函数 在 上是单调递增函数.x0（3）因为 ，所以 .()24f
14、()fx因此，函数 是单调递减函数.x（4）因为 ，所以 .3()f2()640fx新课程标准数学选修 22 第一章课后习题解答（第 8 页共 25 页）因此，函数 是单调递增函数.3()24fx2、 （1）因为 ，所以 .()2fx当 ，即 时，函数 单调递增.()0fx14当 ，即 时，函数 单调递减.2()fx（2）因为 ，所以 .2()3fx3当 ，即 时，函数 单调递增.042()fx当 ，即 时，函数 单调递减.()fx（3）因为 ，所以 .3x2()30fx因此，函数 是单调递增函数.()f（4）因为 ，所以 .32xx2()1fx当 ，即 或 时，函数 单调递增.()0f133
15、2()fx当 ，即 时，函数 单调递减.xx3、 （1）图略. （2）加速度等于 0.4、 （1）在 处，导函数 有极大值；()yf（2）在 和 处，导函数 有极小值；1x4xfx（3）在 处，函数 有极大值；3()yf（4）在 处，函数 有极小值.5xx5、 （1）因为 ，所以 .2()6f()12fx令 ，得 .10x x当 时， ， 单调递增；2()f()f当 时， ， 单调递减.1xx所以， 时， 有极小值，并且极小值为()f.2149()6()22f（2）因为 ，所以 .31fx()31fx新课程标准数学选修 22 第一章课后习题解答（第 9 页共 25 页）令 ，得 .2()310
16、fx2x下面分两种情况讨论：当 ，即 或 时；当 ，即 时.()f()0fx2x当 变化时， ， 变化情况如下表：x()fxf,2(2,)2 (,)()fx 0 0 单调递增 16 单调递减 16单调递增因此，当 时， 有极大值，并且极大值为 16；2x()fx当 时， 有极小值，并且极小值为 .（3）因为 ，所以 .3()61fxx2()13fxx令 ，得 .202下面分两种情况讨论：当 ，即 或 时；当 ，即 时.()fxx()0fx2x当 变化时， ， 变化情况如下表：()ffx,2(2,)2 (,)()f 0 0 x单调递增 22 单调递减 1单调递增因此，当 时， 有极大值，并且极大
17、值为 22；2()fx当 时， 有极小值，并且极小值为 .x 0（4）因为 ，所以 .3()48f 2()483fx令 ，得 .20x下面分两种情况讨论：当 ，即 或 时；当 ，即 时.()fx2()0fx2x当 变化时， ， 变化情况如下表：x()ff新课程标准数学选修 22 第一章课后习题解答（第 10 页共 25 页）x(,4)(4,)4 (,)f 0 0 (x单调递减 128单调递增 128 单调递减因此，当 时， 有极小值，并且极小值为 ；4()fx128当 时， 有极大值，并且极大值为 128.x6、 （1）在 上，当 时，函数 有极小值，并且极小值为 .,122()6fx472由
18、于 ， ，()7f()9f所以，函数 在 上的最大值和最小值分别为 9， .26x1,4（2）在 上，当 时，函数 有极大值，并且极大值为 16；3, 3()2fx当 时，函数 有极小值，并且极小值为 .x3()12fx16由于 ， ，9f所以，函数 在 上的最大值和最小值分别为 16， .3()x,3 16（3）在 上，函数 在 上无极值.1,612fx1,由于 ， ，29()37f()5所以，函数 在 上的最大值和最小值分别为 ， .3xx, 26975（4）当 时， 有极大值，并且极大值为 128x()f由于 ， ，317f51f所以，函数 在 上的最大值和最小值分别为 128， .3(
19、)48x, 17习题 3.3 B 组（P32 ）1、 （1）证明：设 ， .()sinf(0,)x因为 ，co1x所以 在 内单调递减()sif(,)因此 ， ，即 ， . 图略n0xf(0,)xsinx(0,)新课程标准数学选修 22 第一章课后习题解答（第 11 页共 25 页）（2）证明：设 ， .2()fx(0,1)x因为 ，1所以，当 时， ， 单调递增，(,)2x()20fx()fx； f当 时， ， 单调递减，1(,)x()1fx()fx； 20f又 . 因此， ， . 图略()024fx(,1)x（3）证明：设 ， .1xe因为 ，()f所以，当 时， ， 单调递增，0x()1
20、0xfe()fx； 当 时， ， 单调递减，x()xfe()fx； 10综上， ， . 图略1xe0（4）证明：设 ， .()lnfx因为 ，x所以，当 时， ， 单调递增，011()0fx()fx； lnf当 时， ， 单调递减，x()1fx()x； l0f当 时，显然 . 因此， .1nln由（3）可知， ， .xex. 综上， ， 图略ln02、 （1）函数 的图象大致是个“双峰”图象，类似“ ”或32()fxabcxd新课程标准数学选修 22 第一章课后习题解答（第 12 页共 25 页）“ ”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单
21、调区间.（2）因为 ，所以 .32()fxabcxd2()3fxabxc下面分类讨论：当 时，分 和 两种情形：0a0当 ，且 时，23c设方程 的两根分别为 ，且 ，()fxabx12,x12x当 ，即 或 时，函数 单调递20c132()fabcxd增；当 ，即 时，函数 单调递减.2()3fxabx12x32()fx当 ，且 时，00c此时 ，函数 单调递增.2()fxx 32()fxabcxd当 ，且 时，a3bac设方程 的两根分别为 ，且 ，2()0fxx12,x12x当 ，即 时，函数 单调递增；c123()fabcd当 ，即 或 时，函数 单调递2()3fxabx xx2xx减
22、.当 ，且 时，020c此时 ，函数 单调递减()3fxabx32()fxabcxd14 生活中的优化问题举例习题 1.4 A 组（P37 ）1、设两段铁丝的长度分别为 ， ，则这两个正方形的边长分别为 ， ，两个正xl4xl方形的面积和为 ， .22221()()()46Sf xl0l令 ，即 ， .()0fx 0xllx当 时， ；当 时， .,2l()f(,)2l()fx因此， 是函数 的极小值点，也是最小值点.xx所以，当两段铁丝的长度分别是 时，两个正方形的面积和最小.lxa（第 2 题）新课程标准数学选修 22 第一章课后习题解答（第 13 页共 25 页）2、如图所示，由于在边长
23、为 的正方形铁片的四角截去a四个边长为 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无x盖方盒的底面为正方形，且边长为 ，高为 . 2x（1）无盖方盒的容积 ， .()Vx0a（2）因为 ，32()4xa所以 .18x令 ，得 （舍去） ，或 .()0Vx26ax当 时， ；当 时， .,6a()0x(,)2()0Vx因此， 是函数 的极大值点，也是最大值点.xV所以，当 时，无盖方盒的容积最大.3、如图，设圆柱的高为 ，底半径为 ，hR则表面积 2SR由 ，得 .2V2V因此， ， .2() R0令 ，解得 .40SR3V当 时， ；3(0,)2V()SR当 时， .3(,)R()0因此， 是函数 的
24、极小值点，也是最小值点. 此时， .32V()SR 32VhR所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于 ，所以 .21()()niifxa12()()niifxa令 ，得 ，()0f 1ni可以得到， 是函数 的极小值点，也是最小值点.1nixa()fxR h（第 3 题）新课程标准数学选修 22 第一章课后习题解答（第 14 页共 25 页）这个结果说明，用 个数据的平均值 表示这个物体的长度是合理的，n1nia这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为 m，则半圆的半径为 m，半圆的面积为 ，x2x28xm矩形的面积为 ，矩形的另一边长为 m28a()ax因此铁丝的长
25、为 ，2()(1)24xal80ax令 ，得 （负值舍去）.2()104alxx8当 时， ；当 时， .8(0,)()l8(,)4ax()0lx因此， 是函数 的极小值点，也是最小值点.4ax()l所以，当底宽为 m 时，所用材料最省.86、利润 等于收入 减去成本 ，而收入 等于产量乘单价.LRCR由此可得出利润 与产量 的函数关系式，再用导数求最大利润.q收入 ，21(25)8qp利润 ， .221(04)08q20q求导得 14L令 ，即 ， .02q当 时， ；当 时， ；(,8)q0(84,20)L因此， 是函数 的极大值点，也是最大值点.4L所以，产量为 84 时，利润 最大,习
26、题 1.4 B 组（P37 ）1、设每个房间每天的定价为 元，x那么宾馆利润 ， .21801()5)(7036Lx1806x令 ，解得 .1()70x35新课程标准数学选修 22 第一章课后习题解答（第 15 页共 25 页）当 时， ；当 时， .(180,35)x()0Lx(350,68)()0Lx因此， 是函数 的极大值点，也是最大值点.所以，当每个房间每天的定价为 350 元时，宾馆利润最大.2、设销售价为 元件时，x利润 ， .4()(4)()5bxLaccaxb54ba令 ，解得 .8508当 时， ；当 时， .4(,)x()Lx(,)()0Lx当 是函数 的极大值点，也是最大
27、值点.8ab所以，销售价为 元件时，可获得最大利润.515 定积分的概念练习（P42）. 83说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（P45）1、 ， .221()()()ii iisvtnnn1,2in于是 111iii isvt21()ni n22211()()n3n1()26n3取极值，得 1115lim()li()233nnsvn说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、 km.3说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方新课程标准数学选修 22 第一章课后习题解答（第 16 页共 25 页）法和
28、步骤.练习（P48）. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.2304xd从几何上看，表示由曲线 与直线 ， ， 所围成的曲边梯形的面积 .3yx02x0y 4S习题 1.5 A 组（P50 ）1、 （1） ；102 1()().495ixd（2） ；5011()()0.i（3） .02111()()495iixd说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的不足近似值为： （m） ；827301距离的过剩近似值为： （m）.1673、证明：令 . 用分点 ()1fx01iinaxxxb 将区间 等分成 个小区间，在每个小区间 上任取一点,abn1,i(1,2)in作
29、和式 ，11()nnii ibafx从而 ，1lmnbaid说明：进一步熟悉定积分的概念.4、根据定积分的几何意义， 表示由直线 ， ， 以及曲线20xd0x10y所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此 .21yx 204xd5、 （1） .0314d由于在区间 上 ，所以定积分 表示由直线 ， ， 和曲线,30x031xdx1y所围成的曲边梯形的面积的相反数.3yx（2）根据定积分的性质，得 .1013331004xx由于在区间 上 ，在区间 上 ，所以定积分 等于位于 轴上方的1,03x,13xdx新课程标准数学选修 22 第一章课后习题解答（第 17 页共 25 页）曲边梯
30、形面积减去位于 轴下方的曲边梯形面积.x（3）根据定积分的性质，得 202333110154xdxd由于在区间 上 ，在区间 上 ，所以定积分 等于位于 轴上方1,03,231xdx的曲边梯形面积减去位于 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于 在区间 上是非正的，在区间 上是非负的，如果直接3x1,00,利用定义把区间 分成 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无1,2n法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质 3 可以将定积分 化为 ，这231xd023310xdx样， 在区间 和区间 上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出3x,0,， ，进而得到定积分 的
31、值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.01d230 231xd在（2） （3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义.习题 1.5 B 组（P50 ）1、该物体在 到 （单位：s）之间走过的路程大约为 145 m.t6t说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程.2、 （1） .98vt（2）过剩近似值： （m） ；811899.224ii 不足近似值： （m）81 76.ii（3） ； （m）.409.td409.d748t3、 （1）分割在区间 上等间隔地插入 个分点，将它分成 个小区间：,l1nn，
32、 ， ，0,l2,l(2),l记第 个区间为 （ ） ，其长度为i()ini.(1)lilxn把细棒在小段 ， ， 上质量分别记作：0,l2,l2,l，12,nm则细棒的质量 .1nii新课程标准数学选修 22 第一章课后习题解答（第 18 页共 25 页）（2）近似代替当 很大，即 很小时，在小区间 上，可以认为线密度 的值变nx(1),iln2()x化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点 处的函数1,ilin值 . 于是，细棒在小段 上质量 2()ii ()（ ）.iiilmxn1,2n（3）求和得细棒的质量 .2111()nniiii lmx（4）取极限细棒的质量 ，所以 21linil20lxd
