1、第四章 日常生活中的数学模型, 4.2 铅球投掷的模型,铅球的投掷,一. 背景、问题： 投掷园 7呎=2.135m，有效扇形 450， 坻趾板 1010cm，铅球重 16磅=7.264kg。 运动员单手托住铅球，在投掷园内将铅球掷出并使铅球落入有效区内。 以铅球落地点与投掷园间的距离度量铅球投掷的远度。 以铅球投掷的远度评定运动员的成绩。 问题：建模分析如何使铅球投掷得最远？,二. 模型与分析： 1. 抛射体模型：铅球出手后的运动过程 假设：1. 铅球是个质点。 2. 忽略空气阻力。 3. 出手角度与出手速度无关。 变量、参量： 出手角度 ，出手高度 h，出手速度 v， 出手时间 t，投掷远度
2、 s。 坐标系：（x，y） 铅球运动的轨迹为 ( x(t), y(t) ).,平衡关系：力与运动的牛顿定律 有解,模型:铅球投掷的远度为抛物线与x轴交点的横坐标检验:姓 名 v(m/s) h(m) (0) s(m) 实测李梅素 13.75 1.90 37.60 20.68 20.95李梅素 13.52 2.00 38.96 20.22 20.30 斯卢皮 13.77 2.06 40.00 21.25 21.41,分析: 1. 最佳出手角度: 求函数 s() 的极大值点 满足方程化简可得给定出手高度, 最佳出手角度随出手速度增大而增大。给定出手速度，最佳出手角度随出手高度增大而减小。,2. 最佳
3、投掷模式 给定出手高度h、出手速度v 从而可以计算最佳出手角度 。这三个量就构成最佳的铅球投掷模式。 10 11 12 13 14 14.5 15 1.9 40.48 41.16 41.71 42.15 42.51 42.76 42.80 11.95 14.11 16.48 19.05 21.81 23.27 24.78 2.0 40.28 40.99 41.55 42.01 42.39 42.55 42.70 12.03 14.20 16.57 19.14 21.90 23.36 24.87 2.1 40.08 40.82 41.40 41.88 42.27 42.44 42.59 12.1
4、2 14.29 16.65 19.29 22.00 23.46 24.97,3. 主要因素分析模型的参数灵敏度分析 参数变化对模型值的影响。 模型对参数变化率的分析。 模型对参数的极差分析：比较参数在可能的变化范围内变化时模型值改变量的极差。 37 38 39 40 41 42 4310 11.89 11.92 11.94 11.95 11.95 11.94 11.92 0.06 11 14.01 14.05 14.09 14.11 14.12 14.12 14.10 0.1112 16.31 16.38 16.43 16.46 16.48 16.48 16.47 0.1713 18.80 1
5、8.89 18.96 19.01 19.04 19.05 19.04 0.2514 21.48 21.59 21.68 21.75 21.79 21.81 21.82 0.3415 24.36 24.49 24.60 24.68 24.74 24.78 24.78 0.42 12.47 12.57 12.66 12.73 12.79 12.84 12.86,出手速度：12.4712.89 出手角度：0.050.42 出手高度：0.160.22结论： 1. 出手速度最重要。 2. 出手角度的调整对取得稳定的成绩是重要的。但在最佳出手角度上下 20 范围内远度的变化很小。不必过分准确。 3. 在前
6、面的基础上，尽量提高出手的高度。,2. 铅球投掷模型 问题： 1. 李梅素的数据 h=1.9m, a=37.60, v=13.75m/s, s=20.68m a=42.40， s=20.95m h=2.0m, a=39.70, v=13.52m/s，s=20.22 a=42.40 s=20.30m 出手高度增高了，出手角度更接近最佳角度， 但投掷的远度减小了。 出手的速度随着出手角度的增加减小了！,2. 铅球的投掷不是简单的抛射体。出手速度、出手角度和出手高度是不独立的。是运动员投掷铅球过程中用力过程的一个综合的结果。 需要组建铅球投掷的模型。 假设： 1. 滑步阶段为水平运动，铅球随人体产生
7、一个水平的初速度。 2. 在用力阶段，运动员从开始用力推铅球到铅球出手有一段时间。 3. 在用力的时间内作用在铅球上的推力大小不变，力的方向与铅球出手方向相同。,参量: v0 初速度, t0 用力时间, F 推力, m 铅球质量。 发力期间平衡关系：模型 令t=0时开始用力，t=t0 铅球出手。在区间0，t0积分模型，可得由此可得铅球的出手速度,检验: v h s李梅素 40.27 13.16 2.20 19.40隋新梅 39.00 13.95 2.04 21.66李梅素 38.69 13.51 2.00 20.30黄志红 37.75 13.58 2.02 20.76李梅素 37.60 13.
8、75 1.90 20.95李梅素 35.13 14.08 1.95 21.76,分析: 1. v 随着 F 和 t0 的增加而增大; 2. v 随着 v0 的增加而增大; 3. v 随着 的增加而减小.女子铅球的技术特征: 滑步的低、平、快；过渡阶段随着左腿低而快地直顶抵趾板下沿，推髋侧移，使铅球低而远地远离出手点；最后用力阶段突出向前性。,铅球的投掷,问题：组建完整的铅球投掷的数学模型（包括出手速度、出手高度的形成），并进行分析讨论。,路灯照明,4.5 路灯照明的数学模型,路灯照明,一. 问题、背景： 1. 问题：两盏路灯照明一条水平的道路。建模分析两盏灯之间照明的情况，给出这两盏灯的最优设
9、计。,路灯照明,2. 背景： 光强度：光源在一定方向范围内发出可见光辐射强弱的物理量。以光源在某一方向上单位立体角内所辐射的能量（坎德拉 cd）来度量。 立体角：一个锥面所围成的空间部分，它以以锥顶为心的单位球面被锥面所截的面积的面积来度量。 光通量：人眼所能感觉的光辐射的功率。单位时间光辐射的能量和相对视见率的乘积：流明 Lm。 照度：单位面积上得到的光通量：勒克司 Lx。,路灯照明,照度定律：点光源 O 与被照明平面中心 A 的距离为 h 时，平面上 A 点的照度 E= (I / h2) cos a, 其中，I 为 O 点的光强度，a 为平面的法线方向与光源到 A点连线之间的夹角。,路灯照
10、明,二. 模型 1. 假设： 10. 灯为点光源， 20. 没有反射， 30. 忽略灯具的效率和发光效率。 2. 参量、变量： Pk：光强度，hk：光源高度，s：两灯的水平距离。 坐标系（x，y）：灯杆 1 为 y 轴，路为 x 轴。 两个光源的位置：G1: (0, h1), G2: (s, h2); 两灯间路面上一点: X: (x, 0), 0 x s; ak: GkX 与 x 轴的夹角.,路灯照明,3. 模型 G1 在 X 点的照度 G2 在 X 点的照度 G1,G2在X点的照度,路灯照明,4. 分析 10. 照明的状况. G1： G2： E = E1+E2：双峰函数，中部有最低点。,路灯
11、照明,20. 最低照明点令 P1=2000W，P2=3000W，h1=5m，h2=6m，s=20m.可求得 x =（0.028， 9.34，19.98） E =（81.98，18.24，84.48） xe = 9.00,路灯照明,30. 关于 h2 极大化 E（x） 给定 h1, 对于每个 h2 都存在一个最小照明点 xm(h2) 求 h2*使得在其最小照明点xm(h2*)处照度最高. 即该点一定在函数 E( x, h2) 的稳定点中. 计算 可以得到 P2( s - xm)2 - 2h2*2 = 0 a2=35.260,路灯照明,40. 照明的优化 道路上的照明均匀是非常重要的，但是当使用点
12、光源时是不可能的。对于给定亮度和给定间隔的光源，是否可以通过调整光源的高度来使最小照明强度的点的亮度达到最大？ 考虑三个变量 x，h1，h2 的照度函数 E(x, h1, h2).最亮的最低照明点xm, 与它对应的点光源的高度 h1*, h2*一定在这个函数的稳定点当中.,路灯照明,计算可以得到 P2( s - xm)2 - 2h2*2 = 0 和 P1(xm2 2h1*2)=0 将它代入第一个方程可得,路灯照明,对于P1=2000W，P2=3000W，s=20m可算得 P11/3=12.60，P21/3=14.42，N=27.02 xm=2012.60/27.02=20 0.466=9.326 h1=xm/1.414=6.59，h2=(s-xm)/1.414=7.55,
