1、第6章 数论算法,6.1 整数的表示,设B1为一正整数，对任一正整数a，在B进制下可唯一地表示为 ，0aim的情形8 do ci ai+carry9 carry ci/B 10 ci ci mod B11 for it+1 to m对mn的情形12 do ci bi+carry13 carry ci/B 14 ci ci mod B15 if carry016 then cicarry17 return c若将a，b的较大位数记为n，不难看出ADD过程的运行时间是(n)。,减法运算,SUB(a, b)计算a-b，假定ab1 for i0 to m2 do ciai-bi3 if ci04 th
2、en cici+B5 ai+1 ai+1-16 for im+1 to n7 do ciai8 if ci09 then cici+B10 ai+1 ai+1-111 消去c的高位012 return c算法中第15的for循环重复m次，而第610行的for循环重复n-m次，故算法的运行时间为(n)。,乘法运算,PRODUCT(a, b)1 for i0 to m2 do carry03 for j0 to n4 do ci+jbiaj+ ci+j +carry5 carryci+j/B6 ci+jci+j mod B7 if carry08then ci+jcarry9 return c若、
3、b都是n+1位B进制数，则过程的运行时间为O(n2)。,带余除法,定理6-1（除法定理）对任意整数a和正整数n，存在唯一的整数q和r使得La = qn + r，0 r b且(an-1a1a0)b。记 ，若bn-1B/2，则商a/b=q必有 -2q 。,算法伪代码描述,DIVISION(a, b) 对n+1位及m+1位正整数a，b计算式（1）中的q和r1 if ab2 then q0, ra3 return q and r4 if a=b5 then q16 r07 return q and r8 if bmB/2计算规格化因子d9 then dB/(bm+1)10 else d111 uda,
4、 vdb, n u的位数-1, mv的位数-1规格化12 r(unun-1un-m+1)13 for jn-m downto 014 do if r 0且d | a，则|d| |a|。若d | a，则我们说a是d的一个倍数。若d不能整除a，我们记为da。注意d | a当且仅当-d | a，由于a的一个约数的相反数也是a的约数，所以，不失一般性，定义约数是非负的。即若d | a 且d 0，我们说d是a的一个约数。,余数和模等价类,如果两个整数a和b除以n的余数相同，我们称a和b关于模n同余，记为ab (mod n)。显然，ab (mod n)当且仅当存在整数k，使得a-b=kn。利用同余关系将整
5、数集合Z进行划分。我们把所有关于模n的余数为r(0 r 1只有平凡约数1和a被称为是一个素数。素数有很多特性并在数论中扮演者核心角色。有无穷多个素数，即由所有素数构成的集合P是无限集合。一个整数a1不是素数则称其为合数。,公约数和最大公约数,若整数d是a的约数且d也是b的约数，则d是a和b的公约数。两个不全为0的整数a和b的最大公约数是a和b的公约数的最大者。记为gcd(a, b)。定理6-3若a和b是任意不全为0的整数，则gcd(a, b)是a和b的线性组合的集合ax + by : x, yZ中正的元素的最小者。,互质,两个整数a，b称为是互质的若它们只有公约数1，即若gcd(a, b) =
6、 1。定理6-7对任意的整数a，b和p，若有gcd(a, p) = 1且gcd(b, p) = 1，则gcd(ab, p) = 1。定理6-8对任意非0整数a和b，若d=gcd(a, b)，则gcd(a/d, b/d)=1。推论6-9若acbc (mod n)，gcd(c, n)=d。则ab (mod n/d)。,唯一分解,定理6-11(唯一分解)合数a可以写成唯一的乘积形式，其中pi是素数，p1 p2 b 1且EUCLID(a, b)执行了k 1次递归调用，则a Fk+2 且b Fk+1。定理6-14（Lam定理）:对任一整数k 1，若a b 1且b 0，n 0。定理6-15对未知数为x的方
7、程ax b (mod n)有解当且仅当gcd(a, n) | b。定理6-16设d = gcd(a, n)，并假定有整数x和y使得d = ax + ny（例如，通过EXTENDED-GCD的计算）。若d | b，则方程ax b (mod n)有一个作为它的解的值，满足x0 = x(b/d) mod n。定理6-17假定方程ax b (mod n)是可解的（即d | b，其中d = gcd(a, n)）且x0是该方程的一个解。则此方程关于模n恰有d个不同的解xi = x0 + i(n/d)，i = 0, 1, ., d 1。,算法伪代码描述,MODULAR-LINEAR-EQUATION-SOL
8、VER(a, b, n)1 (d, x, y) EXTENDED-EUCLID(a, n)2 S3 if d | b4 then x0 x(b/d) mod n5 for i 0 to d 16 do SS(x0 + i(n/d) mod n 7 return SMODULAR-LINEAR-EQUATION-SOLVER执行O(lg n + gcd(a, n)次算术运算，这是因为EXTENDED-EUCLID执行O(lg n)次算术运算，第45行的for循环的每次迭代执行常数次算术运算。,重复B次方计算幂,计算ab mod n，其中a、b是非负整数n是正整数。将b表示为B-进制形式，可有效地
9、用重复B次方解决此问题。设b=bkBk+bk-1Bk-1+b1B+b0，则,算法伪代码描述,MODULAR-EXPONENTIATION(a, b, n)1 d 12 设(bkbk-1.b1b0)为b的B进制表达式3 for i k downto 04 do d dB mod n5 if bi 06 then d 7 return d如果输入a、b和n是二进制位数，则所需的算术运算次数为O()而所有的位操作次数为O(3)。,6.5 素数检测,定理 6-21（Euler定理）对任一整数n1，对所有的aZ*na(n)1 (mod n)。其中，(n)是第6.4.1节定义的Eule的phi函数。推论6
10、-22（Fermat定理）若p是素数，则对任意的aZ*pap-1 1 (mod p)。,利用Fermart定理的伪素数判定过程,PSEUDOPRIME(n)1 if MODULAR-EXPONENTIATION(2, n - 1, n)1 (mod n)2 then return PRIME 我们希望3 else return COMPOSITE 明确地,Miller-Rabin的随机素数检测,Miller-Rabin的算法如下检测素数。输入n2是一个被测试的奇数，s是要随机选取的用于测试的基值个数。算法利用随机数发生器RANDOM(1, n-1)返回一个满足1 a n1的整数a。代码还利用一
11、个辅助过程WITNESS，使得WITNESS(a, n)为TRUE当且仅当a是合数n的一个“证词”，即，若a可能作为n是合数的一个证明。,提供合数证据,WITNESS(a, n)1 设n - 1 = 2tu, 其中t 1 且u 是奇数2 x0 MODULAR-EXPONENTIATION(a, u, n)3 for i1 to t4 do xix2i-1 mod n5 if xi = 1且xi-11且xi-1n 16 then return TRUE7 if xt18 then return TRUE9 return FALSE,素数检测,MILLER-RABIN(n, s)1 for j 1
12、 to s2 do a RANDOM(1, n - 1)3 if WITNESS(a, n)4 then return COMPOSITE 按定义5 return PRIME 几乎肯定,Miller-Rabin素数检测的错误率,定理6-27若n是一个奇合数，则n是合数的证词个数至少为(n - 1)/2。定理6-28对任意的奇整数n 2和正整数s，MILLER-RABIN(n, s)出错的概率至多为2-s。于是，选择s=50，就几乎能满足任意可想象的应用。,6.6 整数分解,TRY-DIVISION(n)1 for d2 to 2 do if d|n3 then return d过程TRY-DI
13、VISION可以保证在 次试商后得到n的一个因数。设n的位数为，则的运行时间为(2 )=(222/2)=O(2/2)。,Pollard的探索法,POLLARD-RHO(n)1 i 12 x1 RANDOM(0, n - 1)3 S4 y x15 k 26 repeat7 SS xi 8 d gcd(|y - xi|, n),9 if d 1 and d n10 then return d11 i i + 112 if i = k13 then y xi14 k 2k15 xi (x2i-1-1) mod n16 until xiS17 return n,POLLARD-RHO的以( )次期望的算术运算求得n的小素数因数p。,
