1、 高一数学 第 1 页 （共 26 页） 高一数学 第 2 页 （共 26 页）三、 向量复习（一）向量有关概念： 向量的定义（大小和方向） 、区分共线向量（平行向量） 、相等向量、相反向量，特殊的两个向量：零向量和单位向量，注意向量的平行不具有传递性，零向量与任一向量是共线的；不可以说零向量与任一向量方向相同或相反或垂直，因为零向量的方向是任意的！1、 （提纲 12 月 9 日例 1）判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.（1）若|a| |,则 ab； （2）单位向量都相等； （3）若|a|=0,则 a=0；（4）方向不相同的两个向量一定不平行；（5）共线的向量，若起点不同，则终点一定
2、不同；（6）若 a 与 b 不平行，则 a 与 b 都是非零向量；（7）任一向量与它的相反向量不相等；（8）若两个向量不相等，则他们一定不共线；（9）向量 与 是共线向量，则ABCDA、B、C 、D 四点必在一直线上；（10）四边形 ABCD 是平行四边形一定有 ；ABC（11）若 ab，则一定有|a|=|b|，且 a 与 方向相同；（ 12）若| a|=| |，且 ab，则 ab；（13）若 ab，bc，则 ac； （14）若 ab，bc，则ac；2、 （限 12 月 9 日 23）如图，在 54 的矩形（每个小方格都是单位正方形）中，则起点和终点在小方格的顶点处的向量与 平行，AB且模为
3、的向量个数为_ 3、下列命题：（1）若 ，则 ；（2）若两个向量相等ab则它们的起点相同，终点相同；（3） a与 b平行， 与 的方向相同或相反；（4）若，则 是平行四边形；（5）若 是平行四边形，则 ；（6）若ABDC ABCDABDC，则 ；（6）若 ，则 ；其中正确的是_,abca/,c/（二）向量的几何运算 向量的加法：三角形法则（首尾相连，首尾连）和平行四边形法则（共起点，对角线） ，三角形法则适用于作任意两个向量的和向量，而平行四边形法则只适用于不共线的两个向量作和向量；注重加法的连贯性，以及相等向量的相互替换，还要注意其几何意义的应用即在特殊图形（平行四边形、菱形、矩形、正方形、
4、正六边形）中的应用.4、 （提纲 12 月 10 日学习：辨别正误）(1)如果非零向量 a 与 b 共线，那么 a+b 的方向必与 a， b 之一的方向相同(2)ABC 中，必有 0.AB BC CA (3)若 0，则 A，B，C 为一个三角形的三个顶点AB BC CA (4)若 a，b 均为非零向量，则|ab|与|a|b| 一定相等（5）( )( ) AB MB BO BC OM AC （6）若向量 a 与 b 方向相反，且|a| b|0，则向量 ab 的方向( )A与向量 a 方向相同 B与向量 a 方向相反C与向量 b 方向相同 D与向量 b 方向相反9、 （限 12 月 10 日 11
5、）如图，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A. ， B. AB CD BC AD AD OD DA C. D. AO OD AC CD AB BC CD DA 10、 （限 12 月 10 日 19）如图，在正六边形 ABCDEF 中，a， b，用 a 、 b 表示 .FE11、 （限 12 月 10 日 14）已知 O 是ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边的中点，且2 0，那么( ) A. B. 2 C. 3 D2OA OB OC AO OD AO OD AO OD AO OD 12、 （限 12 月 10 日 15）设 P 是ABC 所在平面内的一
6、点， BCP，则（ ）高一数学 第 3 页 （共 26 页） 高一数学 第 4 页 （共 26 页）A. 0PAB B. 0PCA C. 0PBC D. 0PABC向量的减法：三角形法则（共起点，连终点，指被减）13、 （提纲 12 月 11 日例 1）化简：（1） （2）DDM14、平行四边形 ABC中， ， ，用 a、b 表示向量 .aA,ACB（1） 当 a,b 满足什么条件时，a+b ， a-b 互相垂直？（2） 当 a,b 满足什么条件时，|a+b|=| a-b |?（3） a+b， a-b 有可能是相等的向量吗?为什么?15、 化简： _； _；ABCDABDC _()()16、
7、（限 12 月 11 日 9）下列命题中，真命题的个数为(其中 a0，b0) ( )|a |b| a b|a 与 b 方向相同 | a|b| ab|a 与 b 方向相反|a b |ab|a 与 b 有相等的模 |a| b|ab|a 与 b 方向相同A0 B1 C2 D317、 （限 12 月 11 日 16）若|a |b| ab |1，则| ab | .18、 （限 12 月 11 日 14）点 是 内一点，若 ，则 O 是三角形的_OA 0COBA心.19、若 为 的边 的中点， 所在平面内有一点 ，满足 ，DCP0ABCP设 ，则 的值为_. |AP（三）向量的线性运算：向量的加法、减法、
8、数乘运算称为向量的线性运算，运算的结果还是向量；注意向量共线定理的应用，找到向量的数量关系是做题的关键，特别是用已知向量表示未知向量时，一定要往已知向量上靠拢，利用加法和减法进行向量的分解与合成，注意到一些关键性的语言，比如中点，三等分点，中位线，还有特殊的图形：平行四边形、菱形、矩形等。还有可能涉及到给出的向量式子相对繁杂，那么要先化简，进行移项合并，然后再利用向量的几何意义，数形结合做题。三点共线的结论：要证三点 A、B、C 共线 只需证 ABC、 共线 ，且有公共点 B20、 （提纲 12 月 20 日例 2）在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点O，E 是线段 OD 的中点
9、，AE 的延长线与 CD 交于点 F.若ABa， Db，利用 a， b 表示向量 .（提示：利用相似找出相似AF 比）21、 （提纲 12 月 20 日变式 1）设 M 是ABC 的重心，则 =（ ） AMA B C D AC AB2 AB + AC2 AC AB3AB + AC322、 （提纲 12 月 20 日变式 2）在平行四边形 ABCD 中， e 1， e 2， ， AB AC NC 14AC BM ，则 _(用 e1，e 2 表示)12MC MN 23、 （提纲 12 月 13 日例 1）如图，以向量 a， b 为邻边OA OB 作平行四边形 OADB， ， ，用 a，b 表示 ，
10、BM 13BC CN 13CD OM ， .ON MN 24、 （提纲 12 月 15 日）已知 , , ,点 在线段 AB 上，且AABC,设 ,则 的值为（ ）30ACmOnBRmnA. B. C. D. 13325、 （第三次调研考试 20）如下图所示，四边形 ABCD 是一个梯形，O 为 AC、BD 的交点，AD=4，BC=6 ，AB=2，设与 同向的BC单位向量为 ,与 同向的单位向量为 ,以 ， 为基底表示下aba列向量： ， ， ， ， .ACDBOA26、已知 中，点 在 边上，且 ， ，则 的值 DB2 Asrsr是_ _ _.27、已知 分别是 的边 上的中线,且 ,则 可
11、用向量,EC,aEbBC表示为_. ,ab28、在ABC 中， c， b，若点 D 满足 2 ，则 ( ) AB AC BD DC AD 高一数学 第 5 页 （共 26 页） 高一数学 第 6 页 （共 26 页）A. b c B. c b C. b c D. b c23 13 53 23 23 13 13 2329、已知ABC 和点 M 满足 0，若存在实数 m，使得 m 成立，MA MB MC AB AC AM 则 m .（注意到重心的表示形式以及重心结论的应用）30、在ABC 所在的平面上有一点 P，满足 ，则PBC 与ABC 的面积之PA PB PC AB 比是_ （化繁为简，利用图
12、形的相似比做题）（四）向量基本定理和夹角问题：基底要求不共线。关注向量的夹角是共起点的角才是夹角，注意其范围是 ，不要在求出角后给其加周期！在计算向量数量积时要特别关注0,夹角问题。31、 （提纲 12 月 15 日例 1）设 e1、e 2 是不共线的两个向量，给出下列四组向量：e 1 与 e1e 2； 0 与 e12e 2；e 12e 2 与 4e22e 1；e 1e 2 与 e1e 2其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的序号是 32、 （第三次调研考试 15）设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，下列向量组：与 ； 与 ； 与 ； 与 ，其中可以ADBCADOB作为这个平行四
13、边形所在平面表示它的所有向量的基底的是_.33、 （第三次调研考试 17）如图，平面内有三个向量 A、 B、 C,其中 OA与 B的夹角为 120， OA 与 C的夹角为 30,且| O| |1，| O| 32，若 C + （ ， R）,则 + 的值为 . 34、 （第三次调研考试 16）己知 | a |= 1,| b |= 2, a 与 b 的夹角为 120, a+b+c=0,则 a 与 c 的夹角为_ . 35、已知|a|=1,|b|=2,c=a+b,c a,则 a 与 b 的夹角大小为（ ）A. B. C. D. 3015601236、设非零向量 a、b 满足|a|= |b|=|a+b|
14、,则向量 a 与 a+b 的夹角为 ，a 与 a-b 的夹角为 ，a 与 b-a 的夹角为 ； （五）向量的坐标表示及运算：向量是一个几何图形，把它坐标化之后就让数和形相结合了，注意向量的坐标书写形式与点的坐标书写的不同，以及向量的坐标是终点坐标减起点坐标.37、 （提纲 12 月 17 日例 3）已知 A（-2 ，1） ，B （1，3） ，点 M，P，Q 分别是有向线段 AB的中点和三等分点，且 求点 M，P，Q 的坐标。，B21AP38、(第三次调研考试)设点 是线段 上的一点， 的坐标分别是 .1212, ）， （ 28),1(当点 是线段 的一个四等分点时，求点 的坐标. P1239、
15、若 ，则 _ .(,)ab(,)(,)cc40、已知点 ， ，若 ，则当 _时，点 P 在354AB710C()APBCR第一、三象限的角平分线上 241、设 ，且 ， ，则 C、D 的坐标分别是_. (2,3)1,533（六）向量共线的坐标表示： 0。/ab22()(|)ab12xy42、 （提纲 12 月 12 日例 2）设非零 a、b 是不共线，设 a+b， 2a+8b， 3(a-ABCDb),求证 A、B、D 三点共线；43、 （提纲 12 月 17 日例 1）给定两个向量 =(12),， b(1),，若 a2与 -共线，求 的值. 44、 （提纲 12 月 20 日例 2）设向量 ,
16、4,50,)OAkBOCk求当 为何值时，,C三点共线.45、 （提纲 12 月 20 日例 3）平面内给定三个向量 ，回答下3,21,4,abc列问题：（1）求满足 的实数 m,n；（2）若 ，求 k。abc /ka46、 （提纲 12 月 20 日例 5）设 O 为ABC 内任一点，且满足 2 3 0.若 D，EOA OB OC 分别是 BC，CA 的中点，求证：D，E，O 共线；47、若向量 ，当 _时 与 共线且方向相同.(,1)(4,)axbxab（七）平面向量的数量积：定义式： ，关注向量的夹角！规定：零向量cos与任一向量的数量积是 0。注意数量积是一个实数，不再是一个向量；数量
17、积可以用来求夹角，也可以判断三角形的形状，若 说明夹角 为锐角；若 则 为钝角；若 0ab 0ab则 为直角；注意投影的概念也是一个难点，例如 在 上的投影为 ，它0ab |cos是一个实数，但不一定大于 0;数量积的一个重要应用就是垂直关系的获得，三角形垂心的结论就是利用数量积得出来的，只要出现数量积我们就应当留心，对式子进行化简移项处理，合并之后通常利用几何意义判高一数学 第 7 页 （共 26 页） 高一数学 第 8 页 （共 26 页）断图形的特殊性，特别关注等腰或等边三角形、直角三角形，平行四边形、菱形、矩形等。若 .（ ）0|abab都 是 非 零ba,48、 （提纲 12 月 2
18、0 日例 4）已知| a |=2，| b |=3，且 a 与 b 夹角为 ，试确定 ，使向量 a 06k+k b 与 ka +b 互相垂直？49、 （提纲 12 月 19 日例 4）在ABC 中， =a， =b ，若 ab0,则三角形的形状为ABC_.50、 （提纲 12 月 19 日）若 ，12e,是 夹 角 为 60的 两 个 单 位 向 量 ， 则 21ea的夹角为（ ）A. B. C. D. 213eb3 1205051、 （限时练 12 月 19 日 15)已知平面上三点 A、B 、C 满足 则3,4,BCA的值等于_. ABCA52、 （限时练 12 月 29 日 16）已知向量
19、a(1，2) ，b (2，)，且 a 与 b 夹角为锐角，则实数 的取值范围是 _53、已知|a| 6 ，|b|3，ab12，则向量 a 在向量 b 方向上的投影是 .54、已知单位向量 e1，e 2 的夹角为 60，则|2e 1e 2|_.55、ABC 中， ， ， ，则 _.| AB4| C5| BBCA56、已知 ， 与 的夹角为 ，则 等于_. (,)(0,),2abcakbdcd4k57、已知 ，则 等于_ 5358、已知 是两个非零向量，且 ，则 的夹角为_,与ab59、若四边形 ABCD 满足 则该四边形的形状为 +CD0,ABAC0,-（八）向量中一些常用的结论：（1）一个封闭
20、图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；60、已知 a1a 2a n0，且 an(3,4)，则 a1a 2 a n1 的坐标为 （2） ，特别地，当 同向或有一个为|bb b、 0|ab；当 反向或有一个为 ；当 、 0|不共线 (这些和实数比较类似). 、 |（3）三角形四心：外心指三角形外接圆的圆心，到三角形的三个顶点距离相等，是三角形各边垂直平分线的交点；内心指三角形内切圆的圆心，到三角形的三条边的距离相等，是三角形各角平分线的交点；重心是三角形各边中线的交点，将中线分为上：下=1：2；垂心是三角形各边高线的交点，在 中， 若 ，则其重心的坐ABC123,AxyBCxy标为 。特别
21、地 为 的重心；123123,xyG0PPAB为 的垂心； 向量 所在PABP ()(0|直线过 的内心(是 的角平分线所在直线) ；CBA是 的内心；|0PABC61、 （提纲 12 月 31 日） （1）若 G 是 所在平面上一点 ,则点 G 是0CBGAB的 重 心;（2）若 是 所在平面上一点， ，则 是 的 外 心;OC|OA（3）若 是 所在平面上一点，若 ，则 是 的 垂 P PPBA心.62、已知点 O 为ABC 外接圆的圆心，且 0，则 ABC 的内角 A 等于( )CA30 B60 C90 D12063、 （提纲 12 月 13 日例 4）如图,点 M 是ABC 的重心,则
22、 为（ ）AMBA0 B4 C4 D4 EF64、若点 O 是ABC 所在平面内的一点，且满足| | 2 |，则ABC 的OB OC OB OC OA 形状为_65、O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三 个点，动点 P 满足 ,0,+) ，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的( )P()(A)重心 (B)垂心 (C)内心 (D)外心66、若ABC 的三边的中点分别为（2，1） 、 （-3 ，4） 、 （-1，-1 ） ，则ABC 的重心的坐标为_（九）向量中的一些常用方法：1、将已知向量坐标化或者拆分向量.67、 （提纲 12 月 31 日例 3）在边长为 2 的菱形 ABCD 中
23、，BAD60，E 为 CD 的中点，则 _. AE BD 68、如图,在矩形 中, 点 为 的中点,点 在C2C， ， EBF高一数学 第 9 页 （共 26 页） 高一数学 第 10 页 （共 26 页）边 上,若 ,求 的值 CD2AFBBFE69、 （提纲 12 月 30 日例 2）在正方形 ABCD 中，E,F 分别是 AB,BC 的中点，求证：.AFE2、向量与函数结合，建立函数表达式，求函数最值。70、在 中，O 为中线 AM 上一个动点，若 AM=2，则 )(OCBA的最小值是_.A. 1 B. 0 C . 2 D .171、已知向量 (2,2) ， (4,1)，在 x 轴上一点
24、 P，使 有最小值，则 P 点的坐标是OA OB AP BP _答案：1、 （6） 、 （10） 、 （11） 、 （14） 2、40 3、注：（3）是错误的，因为零向量与任意向量平行，而零向量方向任意。答案：（4） （5） （6） 4、正确的是（2） 、 （5）5、A 6、B 7、C 8、A 9、C 10、 ，)(2ADbabaC211、A 12、B 13、 （1） （2） 14、 ， ，不abE2 0可能15、 ； ； ； 16、C 17、 18、重心 19、2 20、D03aAF31b21、D 22、 23、 2153eMN ba651OMbaNbaO6123226、0 27、 28、A
25、 29、3 30、2：3 31、 32、 33、6 434、90 。 35、D 36、 ， ， 38、 或 或015 )1,4(P)0,29()4,25(P39、 40、 41、 43、 44、11 或-213ab121(,)7,93245、 47、2 48、 49、钝角三角形 50、C 98,5mn136k61351、-25 53、4 54、 55、9 56、1 57、 58、 3 23059、矩形 60、 (3， 4)； 62、A 63、D 64、直角三角形 65、A66、 2(,)67、1. 解析：以 A 为原点，AB 所在的直线为 x 轴，过 A 且垂直于 AB 的直线为 y 轴建立平面直角坐标系则由 A(0,0)、B(2,0)、E(2 ， )、D(1， )、可得 1.3 3 AE BD 68、 70、C 71、 （ 3，0）2
