1、,神奇的,怪圈,数学上流传着这样一个故事：有人曾提出，先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。这个纸圈应该怎样粘？,跟我学魔术：,2、将纸带一头不变，另一头拧180度，两头粘贴 。,1、将纸带两头粘贴 。,猜猜看：“怪圈”有几条边几个面？,2条边2个面,1条边1个面,给纸带起个名字吧！,德国数学家麦比乌斯,麦比乌斯带的发现 对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科学家进行了认真研究，结果都没有成功。后来，德国的数学家麦比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、试验，也毫无结果。 有一天
2、，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到野外去散步。新鲜的空气，清凉的风，使他顿时感到轻松舒适，但他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿。,一片片肥大的玉米叶子，在他眼里变成了“绿色的纸条儿”，他不由自主地蹲下去，摆弄着、观察着。叶子弯曲着耸拉下来，有许多扭成半圆形的，他随便撕下一片，顺着叶子自然扭的方向对接成一个圆圈儿，他惊喜地发现，这“绿色的圆圈儿”就是他梦寐以求的那种圆圈。 麦比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转180，再将一端的正面和背面粘在一起，这样就做成了只有一个面的纸圈儿。 圆圈做成后，麦比乌斯捉了一只小甲虫，放在上面让它爬。结果，小甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。麦比乌
3、斯激动地说：“公正的小甲虫，你无可辩驳地证明了这个圈儿只有一个面。” 麦比乌斯圈就这样被发现了。,实践：,体会怪圈的神秘,从12处剪开！,继续见证奇迹：,1、将一个麦比乌斯带沿中间线剪开得一新环带，将新环带又按中间线剪开;2、将这种操作至少进行六次，3、记录每次剪开所得新环带的个数、长度、扭转半圈数和连接情况，然后分析记录的结果，找出规律.,给我们的哲学启示-宇宙的奥秘,两张叠在一起的长方形纸带制成的麦比乌斯带,（1）将两张叠在一起的长方形纸带同时扭转半圈，把相应的端头粘合在一起； （2）把食指放在两层带之间移动； （3）把双层带拉开成单层带，比较双、单层带的长度与扭转半圈数； （4）将单层带
4、恢复为双层带，同时沿它的中间线剪开。,再次见证奇迹,还有更神奇的！,从13处剪开 ！,从14处剪开 ！,从1n处剪开 ！,表1 麦比乌斯带从边缘 处剪开 记录情况,2,1,为原带 长2倍,2,3,2,大：倍 小：相等,大： 小：,连接,2,都为原带 长倍,连接,研究报告提纲,分为奇、偶数两种情况分析： 1、用n表示剪得的新环带个数； 2、新环带与原带长的数量关系； 3、新环带扭转的半圈数； 4、新环带之间的位置关系。,课题延伸,1、 麦比乌斯带的意义麦比乌斯带乍看起来似乎不过是新奇的玩具而已，但它的涵义却是很深刻的麦比乌斯1858年就发现了它，可有关论文在巴黎研究院的卷宗里埋藏了7年之久186
5、5年发表出来后以它奇妙的单侧性吸引无数学者步人了拓扑的殿堂，对至今才仅有一百多年历史的扮扑学科的诞生和发展起了不可估量的作用,你能从生活中的找到麦比乌斯圈吗？,传送带（避免了传送带单面受损的情况，使得其寿命延长了整整一倍 ）、磁带（容量增倍）、立交桥（减少交通拥堵）,垃圾回收标志,Power Architecture 标志,麦比乌斯带循环往复的几何特征，蕴含着永恒、无限的意义，因此常被用于各类标志设计。微处理器厂商Power Architecture的商标就是一条麦比乌斯带，甚至垃圾回收标志也是一条麦比乌斯带。,机械传动中使用的平面皮带若以麦比乌斯带的方式制作，损耗就较平均，从而可延长使用寿命
6、,1979年，美国著名轮胎公司百路驰创造性地把传送带制成麦比乌斯圈形状，这样一来，整条传送带环面各处均匀地承受磨损，避免了普通传送带单面受损的情况，使得其寿命延长了整整一倍。,打印机的色带就是莫比乌斯带，这样就不会只磨损一面，延长使用寿命。,麦比乌斯爬梯,在美国匹兹堡著名肯尼森林游乐园里，就有一部“加强版”的云霄飞车它的轨道是一个麦比乌斯带。乘客在轨道的两面上飞驰。,以2007年世界夏季特奥会会标“眼神”为主题的纪念雕塑,中国科技馆的“三叶扭结”就是莫比乌斯带。,2010上海世博会湖南馆,哈萨克斯坦新标志性建筑：全新国家图书馆,和麦比乌斯带相似的三维封闭形克莱因瓶：克莱因瓶是德国数学家克莱因1
7、882年发现的， 它是麦比乌斯带的三维情况。从拓扑学的观点看，它 实际上是两条麦比乌斯带沿边缘粘合而成的，说得直 观些，它就是将圆柱面两端的 圆周扭转180粘合而成的， 这是一个闭曲面，也是单侧的， 没有里面和外面之分，在拓扑 学中，它差不多与麦比乌斯带 齐名,在 1882年，著名数学家菲利克斯克莱因 (Felix Klein) 发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。这是一个象球面那样封闭的（也就是说没有边）曲面，但是它却只有一个面。在图片上我们看到，克莱因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有瓶底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶
8、底圈相连的话，我们就会得到一个轮胎面(即环面)。,克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面，如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中我们只好将就点，只好把它表现得似乎和自己相交一样。事实上克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底连起来的，并不穿过瓶壁。,克莱因瓶从上往下的投影即为太极图。,太极图抽象地表达了存在于一切事物之中的绝对性质阴与阳和它们的统一，这就是古老的中国理念“道” 和“易”。“知其白，守其黑，为天下式，常德不忒，复归于无极。”(老子：第二十八章) 太极图和老子的这段话的对应性令人惊叹，这不是图形和语言的牵强附会，而是理念的一致。,虽知道洁白，却安守於昏黑，便能做天
9、下的模式。能做天下的模式，永恒的德性不相差失，德性回复到不可穷尽的真道,艺术大师莫里茨柯内里斯埃舍尔,埃舍尔出生于1898年的荷兰北部。早于1916年，他已经熟识油耗浮雕印刷术。1917年，他在画家史蒂格文的印刷公司制作蚀刻版画。1919年，在贺林的建筑装饰艺术学院修读建筑学。当时得到美术老师萨繆尔马斯基塔的熏陶，对装饰设计艺术产生浓厚兴趣，尤其是木刻版画。,埃舍尔 作,埃舍尔的视幻作品,埃舍尔的视幻作品,埃舍尔 作,埃舍尔 作,1954年的“国际数学协会”在阿姆斯特丹专门为他举办了个人画展，这是现代艺术史上罕见的。90年代后期，人们发现，埃舍尔30年前作品中的视觉模拟和今天的虚拟三维视像与数
10、字方法是如此相像，而他的各种图像美学也几乎是今天电脑图像视觉的翻版，充满电子时代和中世纪智性的混合气息。因此，有人说，埃舍尔的艺术是真正超越时代，深入自我理性的现代艺术。也有人把他称为三维空间图画的鼻祖。,1948年 石版画 画手,上和下,双倍小行星,凹与凸,瀑布,单纯从科学、心理学或者美学的角度，都无法对他的作品作出公正的评价。正如魔镜埃舍尔的不可能世界的中文译者、北京大学哲学系田松说：“埃舍尔其实是一位思想家，只不过他的作品不是付诸语言，而是形诸绘画。他的每一幅作品，都是他思想探索的一个总结和记录。”,苏格兰西南的“无尽遐想”花园,苏格兰西南部，有一个花园叫做“Garden of Cosmic Speculation”，里面的景观设计全部按照各种数学与科学图形进行设计规划，如分形，螺旋，黑洞。,本课到此结束 再见,
