1、习题 11 1. 设 A=(, 5)(5, +), B=10, 3), 写出 AB, AB, AB 及 A(AB)的表达式 . 解 AB=(, 3)(5, +), AB=10, 5), AB=(, 10)(5, +), A(AB)=10, 5). 2. 设 A、 B是任意两个集合 , 证明对偶律 : (AB)C=AC BC . 证明 因为 x(AB)CxAB xA或 xB xAC或 xBC xAC BC, 所以 (AB)C=AC BC . 3. 设映射 f : X Y, AX, BX . 证明 (1)f(AB)=f(A)f(B); (2)f(AB)f(A)f(B). 证明 因为 yf(AB)x
2、AB, 使 f(x)=y (因为 xA 或 xB) yf(A)或 yf(B) y f(A)f(B), 所以 f(AB)=f(A)f(B). (2)因为 yf(AB) xAB, 使 f(x)=y(因为 xA 且 xB) yf(A)且 yf(B) y f(A)f(B), 所以 f(AB)f(A)f(B). 4. 设映射 f : XY, 若存在一个映射 g: YX, 使 , , 其中 IXIfg =DYIgf =DX、 IY分别是 X、Y上的恒等映射 , 即对于每一个 xX, 有 IX x=x; 对于每一个 yY, 有 IY y=y. 证明 : f是双射 , 且 g是 f的逆映射 : g=f1. 证
3、明 因为对于任意的 yY, 有 x=g(y)X, 且 f(x)=fg(y)=Iyy=y, 即 Y中任意元素都是 X中某元素的像 , 所以 f为 X到 Y的满射 . 又因为对于任意的 x1x2, 必有 f(x1)f(x2), 否则若 f(x1)=f(x2) g f(x1)=gf(x2) x1=x2. 因此 f 既是单射 , 又是满射 , 即 f 是双射 . 对于映射 g: YX, 因为对每个 yY, 有 g(y)=xX, 且满足 f(x)=fg(y)=Iyy=y, 按逆映射的定义 , g是 f的逆映射 . 5. 设映射 f : XY, AX . 证明 : (1)f1(f(A)A; (2)当 f是
4、单射时 , 有 f1(f(A)=A . 证明 (1)因为x A f(x)=yf(A) f 1(y)=xf1(f(A), 所以 f1(f(A)A. (2)由(1) 知f1(f(A)A. 另一方面, 对于任意的x f1(f(A)存在y f(A), 使f1(y)=xf(x)=y . 因为 yf(A)且f 是单射, 所以x A. 这就证明了f1(f(A)A. 因此f1(f(A)=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1) 23 += xy ; 解 由 3x+20 得32x . 函数的定义域为 ) ,32 + . (2)211xy= ; 解 由 1x20 得x 1. 函数的定义域为(, 1 )(1,
5、 1)(1, +). (3)211xxy = ; 解 由x 0 且 1x20 得函数的定义域D =1, 0)(0, 1. (4)241xy= ; 解 由 4x20 得 |x|0 得函数的定义域 D=(1, +). (10)xey1= . 解 由 x0 得函数的定义域 D=(, 0)(0, +). 7. 下列各题中, 函数 f(x)和 g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x; (2) f(x)=x, g(x)=2x ; (3)334)( xxxf = ,31)( = xxxg . (4)f(x)=1, g(x)=sec2xtan2x . 解 (1)不同.
6、因为定义域不同. (2)不同. 因为对应法则不同, x 0, 1x20. 因为当 x1x2. 因为 f(x)在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以 f(x2)f(x1), 这就证明了对于 x1, x2(l, 0), 有f (x1)0); (4)f(x+a)+f(xa)(a0). 解 (1)由 0x21 得|x |1, 所以函数f (x2)的定义域为 1, 1. (2)由 0sin x1 得 2nx(2n+1) (n=0, 1, 2 ), 所以函数 f(sin x)的定义域为 2n, (2n+1) (n=0, 1, 2 ) . (3)由 0x+a1 得 ax1a, 所以函数 f(x+a)的
7、定义域为 a, 1a. (4)由 0x+a1 且 0xa1 得 : 当210 a 时, 无解. 因此当210 a 时函数无意义. 18. 设=0, 040cot0 hhSD确定 , 定义域为D40cot00ShN时, xnnxlimn与其极限之差的绝对值小于正数 , 当 =0.001 时, 求出数 N. 解 . 0lim =nnxnnnxn1|2cos|0| =. 0, 要使| xn0|n . 取 1=N , 则 nN, 有 |xn0|n , 即1n . 证明 因为 0, 1=N , 当 nN 时, 有 n . 证明 因为 0, 41=N , 当 nN 时, 有 . 证明 因为 0, 2aN
8、= , 当 nN 时, 有 n . 证明 因为 0, 1lg1+=N , 当 nN 时, 有 |0.99 91|0, NN, 当 nN 时 , 有 , 从而 aunn=lim 0, NN, 当 nN 时, 有0lim =nnyMynN 时, 有 =0, K1, 当 2k2K1时, 有| x2ka |2K2+1 时, 有 | x2k+1a |N, 就有 |xna |0, 31= , 当 00, 51= , 当 00, = , 当 00, 21= , 当 x . 证明 因为 0, 321=X , 当| x|X 时, 有 x . 证明 因为 0, 21=X , 当 xX 时, 有 X 时, | y1
9、|x , 397=X . 5. 证明函数 f(x)=|x| 当 x0 时极限为零. 6. 求 ,)(xxxf = xxx|)( = 当 x0 时的左右极限, 并说明它们在 x0 时的极限是否存在. 证明 因为 11limlim)(lim000= xxx xxxf , 11limlim)(lim000=+ xxx xxxf , , )(lim)(lim00xfxfxx+=所以极限 存在. )(lim0xfx因为 1lim|lim)(lim000= xxxxxxxx , 1lim|lim)(lim000=+ xxxxxxxx , , )(lim)(lim00xxxx+所以极限 不存在. )(lim
10、0xx7. 证明 : 若 x+及 x时, 函数 f(x)的极限都存在且都等于 A, 则 . Axfx=)(lim证明 因为 , , 所以 0, Axfx=)(lim Axfx=+)(limX10, 使当 x0, 使当 xX2时, 有 |f(x)A|X时, 有 |f(x)A|0, 0, 使当 00, 10, 使当x010, 使当x00 及M0, 使当 |x|X 时, |f(x)|0, 当 |x|X 时, 有 |f(x)A|0 及 M0, 使当 |x|X 时, |f(x)|0, = , 当 00, = , 当 0104？ 证明 分析 2|11221| +=+=xxxxy , 要使 |y|M, 只须
11、 Mx2|1, 即21|+0, 21+=M , 使当 0+21, 所以当 x0 时, 函数xxy21+= 是无穷大. 取M =104, 则21014+= . 当2101|0|04+104. 4. 求下列极限并说明理由: (1)xxn12lim+; (2)xxx11lim20. 解 (1)因为xxx 1212+=+, 而当 x 时x1是无穷小, 所以 212lim =+xxn. (2)因为 xxx+=1112(x1), 而当 x0 时 x 为无穷小, 所以 111lim20=xxx. 5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表: 6. 函数 y=xcos x 在( , +)内是否有界？这个函数是
12、否为当 x+ 时的无穷大？为什么？ 解 函数 y=xcos x 在( , +)内无界 . 这是因为 M0, 在( , +)内总能找到这样的 x, 使得 |y(x)|M. 例如 y(2k)=2k cos2k=2k (k=0, 1, 2, ), 当 k 充分大时, 就有 | y(2k)|M. 当 x+ 时, 函数 y=xcos x 不是无穷大. 这是因为 M0, 找不到这样一个时刻 N, 使对一切大于 N 的 x, 都有 |y(x)|M. 例如 0)22cos()22()22( =+=+ kkky (k=0, 1, 2, ), 对任何大的 N, 当 k 充分大时, 总有 Nkx +=22 , 但|
13、 y(x)|=00, 在(0, 1 中总可以找到点xk, 使y (xk)M. 例如当 221+=kxk(k=0, 1, 2, ) 时, 有 22)(+= kxyk, 当k 充分大时, y(xk)M. 当x 0+ 时, 函数xxy1sin1= 不是无穷大. 这是因为 M0, 对所有的 0, 总可以找到这样的点xk, 使 00, 所以xn+1xn0, 即数列xn单调增. 因为数列xn单调增加有上界, 所以此数列是有极限的. (4) 11lim0=+nxx ; 证明 当 |x|1 时, 则有 1+x1+|x|(1+|x|)n , 1+x1|x|(1|x|)n , 从而有 |11|1 xxxn+ .
14、因为 , 1|)|1(lim|)|1(lim00=+=xxxx根据夹逼准则, 有 11lim0=+nxx . (5) 11lim0=+ xxx. 证明 因为 xxx1111=mnmnmnxxxxmnxmnx01lim)(sin)sin(lim00. (3)21cos21limsincoscos1limsin)1cos1(sinlimsinsintanlim220203030= xxxxxxxxxxxxxxxx. (4)因为 32221)2(22sintan2)1(costantansin xxxxxxxxx = (x0), 23 232223 23111)1(11 xxxxx+=+ (x0),
15、 xxxxx sin1sin1sin1sin1+=+ (x0), 所以 33121lim)1sin1)(11(tansinlim2303 20=+xxxxxxxxx. 5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) (自反性); (2) 若 , 则 (对称性); (3)若 , , 则 (传递性). 证明 (1) 1lim =, 所以 ; (2) 若 , 则 1lim =, 从而 1lim =. 因此 ; (3) 若 , , 1limlimlim =. 因此 . 习题 18 1. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形: (1) ; =1| 111 )(xxxxf解 (1)已知多项式函数是连
16、续函数, 所以函数 f(x)在0, 1) 和(1, 2 内是连续的. 在 x=1 处, 因为 f(1)=1, , 1lim)(lim211=xxfxx1)2(lim)(lim11=+xxfxx所以 , 从而函数 f(x)在 x=1 处是连续的. 1)(lim1=xfx综上所述，函数 f(x)在0, 2 上是连续函数. (2)只需考察函数在 x=1 和 x=1 处的连续性. 在 x=1 处, 因为 f(1)=1, , , 所以函数在 x=1 处间断, 但右连续. )1(11lim)(lim11=fxfxx)1(1lim)(lim11=+fxxfxx在 x=1 处, 因为 f(1)=1, =f(1
17、), =f(1), 所以函数在 x=1 处连续. 1lim)(lim11=xxfxx11lim)(lim11=+ xxxf综合上述讨论, 函数在( , 1)和( 1, +)内连续, 在 x=1 处间断, 但右连续. 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续: (1)23122+=xxxy , x=1, x=2; (2)xxytan= , x=k, 2+=kx (k=0, 1, 2, ); (3) ,1cos2xy= x=0; (4) , x =1. =1 31 1xxxxy解 (1)1)(2()1)(1(23122+=+=
18、xxxxxxxy . 因为函数在 x=2 和 x=1 处无定义, 所以 x=2 和 x=1 是函数的间断点. 因为 =+=231limlim2222xxxyxx, 所以 x=2 是函数的第二类间断点; 因为 2)2()1(limlim11=+=xxyxx, 所以 x=1 是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在 x=1 处 , 令 y=2, 则函数在 x=1 处成为连续的. (2)函数在点 x=k(kZ)和2+=kx (kZ)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点. 因 =xxkxtanlim(k0), 故 x=k(k0)是第二类间断点; 因为 1tanlim0=xxx, 0tanlim
19、2=+xxkx(kZ), 所以 x=0 和2+=kx (kZ) 是第一类间断点且是可去间断点. 令y |x=0=1, 则函数在x =0 处成为连续的; 令2+=kx 时, y =0, 则函数在2+=kx 处成为连续的. (3)因为函数xy1cos2= 在 x=0 处无定义, 所以 x=0 是函数xy1cos2= 的间断点. 又因为xx1coslim20不存在, 所以 x=0 是函数的第二类间断点. (4)因为 , 所以 x=1是函数的第一类不可去间断点. 0)1(lim)(lim11=xxfxx2)3(lim)(lim11=+xxfxx3. 讨论函数 xxxxfnnn2211lim)(+=的连
20、续性, 若有间断点, 判别其类型. 解 =+=1| 1| 01| 11lim)(22xxxxxxxxxfnnn. 在分段点 x=1 处, 因为 , , 所以 x=1 为函数的第一类不可去间断点. 1)(lim)(lim11=xxfxx1lim)(lim11=+xxfxx在分段点 x=1 处 , 因为 , , 所以 x=1 为函数的第一类不可去间断点. 1lim)(lim11=xxfxx1)(lim)(lim11=+xxfxx4. 证明 : 若函数f (x)在点x0连续且f (x0)0, 则存在x0的某一邻域U (x0), 当x U(x0)时, f (x)0. 证明 不妨设 f(x0)0. 因为
21、f (x)在x0连续, 所以 , 由极限的局部保号性定理, 存在x0)()(lim00=xfxfxx0的某一去心邻域 , 使当 x 时f (x)0, 从而当x U(x)(0xUD)(0xUD0)时, f (x)0. 这就是说, 则存在x0的某一邻域U (x0), 当x U(x0)时, f (x)0. 5. 试分别举出具有以下性质的函数 f(x)的例子: (1)x=0, 1, 2, 21 , , n, n1 , 是 f(x)的所有间断点, 且它们都是无穷间断点; (2)f(x)在 R 上处处不连续, 但 |f(x)|在 R 上处处连续; (3)f(x)在 R 上处处有定义, 但仅在一点连续. 解
22、 函数xxxf csc)csc()( += 在点 x=0, 1, 2, 21 , , n, n1 , 处是间断的, 且这些点是函数的无穷间断点. 解(2) 函数 在 R 上处处不连续, 但 |f(x)|=1 在 R 上处处连续. =QQxxxf11)(解(3) 函数 在 R 上处处有定义, 它只在 x=0 处连续 . =QQxxxxxf)(习题 19 1. 求函数633)(223+=xxxxxxf 的连续区间, 并求极限 , 及 . )(lim0xfx)(lim3xfx )(lim2xfx解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223+=+=xxxxxxxxxxxf , 函数在( , +)
23、内除点 x=2 和 x=3 外是连续的, 所以函数 f(x)的连续区间为( , 3)、( 3, 2)、 (2, +). 在函数的连续点 x=0 处, 21)0()(lim0=fxfx. 在函数的间断点 x=2 和 x=3 处, =+=)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim22xxxxxxfxx, 582)1)(1(lim)(lim33=+=xxxxfxx. 2. 设函数f (x)与g (x)在点x0连续, 证明函数 (x)=maxf(x), g(x), (x)=minf(x), g(x) 在点x0也连续. 证明 已知 , . )()(lim00xfxfxx=)()(lim00xgxgx
24、x=可以验证 |)()(|)()(21)( xgxfxgxfx += , |)()(|)()(21)( xgxfxgxfx += . 因此 |)()(|)()(21)(00000xgxfxgxfx += , |)()(|)()(21)(00000xgxfxgxfx += . 因为 |)()(|)()(21lim)(lim00xgxfxgxfxxxxx+= |)(lim)(lim|)(lim)(lim210000xgxfxgxfxxxxxxxx += |)()(|)()(210000xgxfxgxf += =(x0), 所以 (x)在点x0也连续. 同理可证明 (x)在点 x0也连续. 3. 求
25、下列极限: (1) 52lim20+xxx; (2)34)2(sinlim xx; (3) )2cos2ln(lim6xx(4)xxx11lim0+; (5)145lim1xxxx; (6)axaxaxsinsinlim ; (7) )(lim22xxxxx+. 解 (1)因为函数 52)(2+= xxxf 是初等函数, f (x)在点 x=0 有定义 , 所以 55020)0(52lim220=+=+fxxx. (2)因为函数f (x)=(sin 2x)3是初等函数, f (x)在点x =4有定义, 所以 1)42(sin)4()2(sinlim334=fxx. (3)因为函数 f(x)=l
26、n(2cos2x)是初等函数, f (x)在点 x=6有定义, 所以 0)62cos2ln()6()2cos2ln(lim6=fxx. (4)211101111lim)11(lim)11()11)(11(lim11lim0000=+=+=+=+=+xxxxxxxxxxxxxx. (5)45)(1(44lim)45)(1()45)(45(lim145lim111xxxxxxxxxxxxxxxxx+=+=214154454lim1=+=+=xxx. (6)axaxaxaxaxaxax+=2sin2cos2limsinsinlim aaaaxaxaxaxaxcos12cos22sinlim2cosl
27、im =+=+=. (7)()(lim)(lim22222222xxxxxxxxxxxxxxxxxx+=+1)1111(2lim)(2lim22=+=+=+xxxxxxxxx. 4. 求下列极限 : (1)xxe1lim; (2)xxxsinlnlim0; (3)2)11(limxxx+; (4) ; xxx2cot20)tan31(lim +(5)21)63(lim+xxxx; (6)xxxxxx+ 20sin1sin1tan1lim . 解 (1) 1lim01lim1=eeexxxx. (2) 01ln)sinlimln(sinlnlim00=xxxxxx. (3) eexxxxxx=+=+21212)11(lim)11(lim . (4) 33tan3120cot2022)tan31(lim)tan31(lim exxxxxx=+=+. (5)21633621)631()63(+=+xxxxxxx. 因为
