1、 广义逆矩阵的求法探讨 the seeking of the dharma and research into generalized inverse matrix 专 业: 数学与应用数学 作 者: 指导老师: 学校 二一 摘 要 本文介绍了广义逆矩阵的定义，讨论了由 Moore-Penrose 方程所定义的各种广义 逆的性质，在广义逆矩阵的初等变换法和满秩分解法的基础上，研究了几种特殊的广义 逆矩阵的计算方法. 关键词: 广义逆矩阵；满秩分解；消元；初等变换法 I II Abstract This article discusses the system of generalized In
2、verse matrices defined, discussed by the Moore-Penrose equation is defined by the nature of the various Generalized inverse, generalized inverse matrix elementary transformation and full rank decomposition, studied several particular generalized inverse matrix calculatio. Keywords: Generalized inver
3、se matrix; full rank decomposition; elimination; elementary transformation 目录 摘 要 . 错误！未定义书签。 Abstract 错误！未定义书签。 0 引言 . 1 1 广义逆矩阵的概念与定理 . 8 2 广义逆矩阵的计算方法 . 8 2.1 广义逆矩阵 的奇异值分解法 . 8 + A 2.2 广义逆矩阵 的最大值秩分解法 . 9 + A 2.2极限法求广义逆矩阵 9 + A 2.3广义逆矩阵A 的满秩分解法 . 11 2.4 初等变换法求广义逆矩阵 . 15 参考文献 21 0 引言 矩阵逆的概念只对非奇异方阵才有
4、意义. 但是，在实际问题中，我们碰到的矩阵并 不都是方阵，即使是方阵，也不都是非奇异的。 因此，有必要推广逆矩阵的概念.为此， 本文给出了广义逆矩阵的定义，并利用广义逆的性质，给出其计算方法。 1 广义逆矩阵的概念与定理 定义 1.1 设A是 的矩阵，若n mn m 的矩阵G满足如下四个 方程的全部 或者一部分，则称 为 Penrose G A的广义逆矩阵，简称广义逆. AGA A (1.1) GAG G (1.2) () H GA GA (1.3) (1.4) () H AG AG 则称 是 的 G A Moore Penrose 逆，记为A . 如果某个 只满足（1.1）式，G为 的1广义
5、逆，记为G G A A1；如果另一个 G 满足（1.1） ， （1.2）式，则称 为 的1,2广义逆，记为 G A G A1，2；如果 1， 2，3，4，则 是 G A G Moore rose Pen 逆等.下面介绍常用的5种 A1,A1, 2，A1, 3,A1,4,A1,2,3,4 每一种广义逆矩阵又都包含着一类矩阵，分述如下： （1） A1中任意一个确定的广义逆，称作减号广义逆，或g逆，记为A ； （2） A1,2中任意一个确定的广义逆，称作自反减号逆，记为 r A ； （3） A1,3中任意一个确定的广义逆，称作最小范数广义逆，记为 m A ； （4） A1,4中任意一个确定的广义逆，
6、称作最小二乘广义逆，记为 l A ； （5） A1,2,3,4：唯一一个，称作加号逆，或Moore Penrose ，记为 + A . 定义1.2 设 是 的矩阵（ A mn mn , 当 时，可以讨论 ） ，若有一个nm mn T A 第 1页,共 21页 的矩阵（记为 ）存在，使下式成立，则称 A A 为 的减号广义逆或者 逆： A g AA A A (1.5) 当 存在时，显然 满足上式，可见减号广义逆 A A A 是普通广义逆矩阵 的推广； 另外，由 得 A AA A A A () ) TT T AA A A A ，即( T A T A 2 r . T A A ) T 1可见，当 为
7、的一个减号广义逆时， 就是 的一个减号广义逆. A ( A 定义1.3 设 的特征值为 A mn H r CA ， 12 n 0 rr 则称 ii i 1 , 2 r （， ， ） 为矩阵 的正奇异值，简称奇异值. A 定义 1.4 设 矩阵 mn 11 12 21 22 12 mm m n aa aa A aa 1 2 n n a a a n ， 如果 时存在 ；或者当m 时，存在有 m n rankA m rankA n ，称这两种长方阵 为最大秩方阵（满秩方阵） ，前者又称行最大秩矩阵（行满秩矩阵） ，后者又称为列最大 秩矩阵（列满秩矩阵）. 定义 1.5 设 是 矩阵, 若有 A mn
8、 nm 矩阵 满足 G m AG I (或 ), 则称G 为 的右逆(或左逆), 记为 n I GA A 1 R A (或 1 L A ). 定理 1.1 设 是 的矩阵，则 的 A mn A Moore Penrose 逆存在且唯一. 证明 先证 的存在性. 设 A A的奇异值分解 0 00 H r AU V 其中 12 (, r r ) diag ， ， (1 , 2 , i i)r ，是 A的非零奇异值，U 与V 是酉矩阵. 令 第 2页,共 21页 0 00 H r GV U 容易验证 满足四个 方程，因此 G Penrose A 存在. 下面证 的唯一性. 假定Y 也是满足 4 个
9、方程，则 A Penrose HH HHH G GAG GG A GGA Y A GAGAY HHHH HH GAY GAYAY A G A Y Y A Y Y YAY Y 因此 , 说明 GY A 是唯一的，且 1 0 00 H r AV U 若A是非奇异矩阵，容易验证A 满足 4 个 方程，此时 .由此可见 Penrose AA Moore enrose P 逆把逆推广到所有矩阵（甚至零矩阵）. 定理 1.2 设 ， mn AC () rank A r ，存在 阶的可逆矩阵 及 阶可逆矩阵Q，使 m P n 0 00 r E PAQ 则 阶矩阵 使得 的充分必要条件是 nm G AGA A
10、 12 21 22 r EG GQ P GG 其中 分别是 阶任意矩阵. 12 21 22 , GGG () ()() ( rmrnrrnrmr ， ， ) 证明 先证必要性，由条件有 阶及 阶可逆矩阵P ，使 m n Q ， 0 00 r E PAQ 那么 11 0 00 r E AP Q 根据 应满足的 , 有 G AGA A 11 11 11 00 00 00 00 rrr EEE PQ G PQ P 0 Q 第 3页,共 21页 11 00 00 00 00 rr EE QG P 0 r E再令 11 12 11 21 22 GG QG P GG 分块如题设要求，代入上式 11 12
11、21 22 00 00 00 00 rr GG EE GG 0 r E11 00 00 00 r GE 所以 ,于是有 11 r GE 12 11 21 22 r EG QG P GG 得到 12 21 22 r EG GQ P GG 再证充分性，由于 12 11 21 22 0 , 00 r r EG E GQ PAP Q GG 则 12 1111 21 22 00 00 00 rrr EG EE AGA P Q Q PP Q GG 11 0 00 r E PQ A 引理 1.1 对于任意的矩阵A，它的减号逆A 总存在，但不唯一，并且 1 1 1 () , ; (), ; () (), TT
12、 TT TTTT A AA rankA m A AA A rankA n CC CDDD AD CA 当 当 当 是 的满秩分解时；是 的一个减号逆 A 【1，2】 . 引理 1.2 对于任意的矩阵 ，它的极小范数 A m A 总存在，但不唯一，并且 第 4页,共 21页 1 (), ; (), TT m TT AA A rankA m A AA AA 当 在一般情况下；1 () , ; () , TT ml TT A AA rankA m CD AA A 当 在一般情况下；是 的一个极小范数逆 A 【12】 . 引理 1.3 对于任意矩阵 ,它的最小二乘逆 A l A 总存在 ,但不唯一,并
13、且 1 (), (), TT l TT AA A rankA m A AA A 当； 在一般情况下；它是 的一个最小二乘逆 A 【1，2】 . 引理 1.4 对于任意矩阵A,它的加号逆A 总存在，并且唯一. 其中 1 () () TTT ml T A AAA A CCC DD D 或 这里 是 的满秩分解式 AD C A 【1，2，3】 . 定理1.3 是 矩阵 , 若 是行满秩矩阵 ,则总有 A mn A 1 () TT m AAAA A ；A 是列满秩矩阵，则总有 () TT l A AA AA ； min( , ) r m n rank ，则总有 ml A AC D ，其中 是 的满秩分
14、解式. AD C A 定理 1.4 设 (), m i n (,) ij m n A a rank r m n 则可将 做满秩分解（或 的最大秩分 解） A A A CD 其中 是 阶矩阵，且 . C mr rankC rankD r 将一非列或非行满秩的非零矩阵表示为一列满秩和一行满秩的矩阵的积的分解称 为满秩分解. 在各种广义逆的直接计算方法中, 几乎都要对矩阵进行满秩分解, 例如 分解等等. 但当计算某些广义逆时,QU 分解将带来大量非必要的计算, 因而有必 要对满秩分解的方法进行简化, 为此, 我们首先用构造性方法证明下述定理. QU定理 1.5 对任意矩阵 0 mn AC r , 总
15、存在着矩阵 mr r B C 和矩阵 ， 使得 成立. rn r CC AB C 第 5页,共 21页 证明 设 12 , n Aaa a ，则必有一个最大线性无关列 ， ， ，故令 1 j a 2 j a jr a B= ， ， 1 j a 2 j a jr a 于是有非奇异矩阵 ，使 G 1 I GB O , 亦即有 1 1 I BG O (1.6) 成立，其中 为阶数适当的零矩阵，再另置换矩阵 o 1 rk r K j k PI 便有 I M GAP OO , r r nr M 于是由（1）知 1 I M AG OO ， 1 I PG O I M P= 11 BC(1.7) 其中 1 C
16、IM P , 且显然有 mr 1r B C ， rn 1r CC . 类似地可证存在着 和 nr n HC 1 rk r K j k QI ，使有 I O QAH NO , mrr NC 成立，倘令 2 I BQ N (1.8) 1 2 CIO H (1.9) 同样有 . 22 ABC 特别，若 A 为行满秩或者列满秩，则B与 中之一为单位阵，定理依然成立. C 第 6页,共 21页 定理 1.6 对任何 的矩阵 ，都有 mn A () ()() () H HH AA A A AA AA AA H () ()() () HH HH AA AAAA AAAA 性质1.1 (1) 的充分必要条件是
17、 () rank A n n AAE ，此时 1 () H H AA AA , 称为 的一个左逆，记为 A 1 L A . (2) 的充分必要条件是 () rank A m m AAE ，此 时 A = 称为 的一个右 逆，记为 H- 1 () H AA A A 1 R A . 证明 (1)充分性，若 n AAE 则 () () ( ) n n rank E rank A rank A A n 所以 () rank A n 必要性，若 ，则存在 阶及 阶可逆矩阵 ,使 () rank A n m n , PQ 0 n E PAQ 或 11 0 n E AP Q 由定理1.2 可得 , 则有 r
18、1 2 21 22 G GG E AQ P 12 n GQEGP G即 ，于是有 A n AAE 由于 ()( ) H rank AA rank A n 所以 是可逆阵，那么 H AA 1 () HH n AAAAE 所以，可取 11 () H H L A AA AA (2)同理可证性质(2)， H AA 可逆，有 第 7页,共 21页 1 () HH m AAA A E 所以，可取 1H () H R AAAA A - 12 广义逆矩阵的计算方法 2.1广义逆矩阵A + 的奇异值分解法 设矩阵 ，由定理1.1知 mn AC A 存在并且唯一，当 0 A 时，则A有奇异值分解： 1 r s s
19、 , 0 0 mn AU V 其中， ， 为 的奇异值，则 0 r 12 0, 0, , 0 r ss s A A 具有如下形式： . 例1 用奇异值分解求A ，其中 1 1 1 r s 0 0 nm s AV U 11 11 00 A . 解 的奇异值分解为 A 11 0 22 11 -0 22 001 AU D V 20 00 00 11 22 11 - 22 , 所以 第 8页,共 21页 11 22 11 - 22 A 1 0 2 00 00 11 0 22 11 -0 22 001 = 110 1 110 4 . 例2 设 A -1 0 1 = 20- 2 用奇异值分解法求A . H
20、 AA 12 505 101 00 000 202 12 505 解 2 | | ( 10) H EAA 因此 特征值 H AA DE 12 3 10 0 ， 求出对应于 11 1 2 10 0 1 2 的单位特征向量 所以 1 2 11 1 =0 0 1022 1 2 ， 12 00 12 A = 12 1 00 10 12 2.2 广义逆矩阵 的最大秩分解法 A mn 的矩阵 的秩 ， 的最大秩分解为 A r A 第 9页,共 21页 A CD 其中 是 阶矩阵， 是r 阶矩阵，且rank C mr D n C rankD rankA r ，则 11 () H HH ADD DCCC ）
21、H (2.1) 特别当 时（行满秩阵） rankA m 1 ( HH AAA A ） (2.2) 当 时（列满秩阵） rankA n 1 () H H AA AA (2.3) 例3 求矩阵 1011 0222 1453 A 的 . M P A 逆 解 首先求得 的满秩分解为 A 10 02 14 AB C 1011 0111 ， 故 11 () () H HH ACC CBBB H -1 -1= 10 01 -1 1 11 30 03 2- 4 -4 20 10- 1 024 = 1 18 52- 1 111 412 630 . 2.3极限法求广义逆矩阵A 设 是 阶矩阵，则 A mn 1 0
22、 lim( ) H H A AA EA 1 0 lim ( ) HH A AA E (2.4) 证明 因为 () () () HHHHHHHHHH AAAAAAAAA AAA A 第 10页,共 21 页 由定理1.6 得 11 00 lim( ) lim( ) HHHH AAEA AAEAA A () HH AAAAA AAA A 例4 设 101 202 A 用极限法求 . A 解 因为 505 000 505 H AA 505 00 505 H AA E 1 5051 1 () 01 0 00 (1 0 ) 5051 HH AA EA 2 0 2 12 1 00 10 12 因此 1 0
23、 12 1 lim( ) 0 0 10 12 HH AA AE A 2.4 广义逆矩阵 的满秩分解法 A 对任意 矩阵 ，由定理 1.5 知 mn A AC D ，其中 是 C mr 阶矩阵，D是 阶矩 阵，且 ，再由性质 1.1 可得 rn rankC ankD ankA r r r A DC 第 11 页,共 21页 如果 A 是实矩阵，有 11 1 1 () () TTT RL T A DC DD D CCC 设 为矩阵 的最大秩分解 ,则 的广义逆矩阵的一般形式为 AB C A A 11 RL A CB . A 11010 01111 10110 A ，求其广义逆矩阵 . 例5 设 解
24、 首先对 进行最大秩分解 ,对 作行初等变换如下: A A 11010 01111 10110 11 100 - 22 11 010 22 11 001 22 A 所以A的最大秩分解为 = AB C 110 011 101 11 100 - 22 11 010 22 11 001 22 由定理1.3知 11 RL A CB ，这里B为 3 阶可逆方阵，故 1 111 - 222 111 - 222 111 - 222 L BB C为行满秩矩阵，故可取 第 12页,共 21 页 1 () TT R CCC C = 2 00 3 31 0- 44 13 0- 44 111 - 342 111 -
25、344 从而 11 RL ACB = 211 - 333 111 - 242 111 - 242 111 61 26 151 - 61 26 例6 设矩阵 = 002 110 001 111 A 求 lm A A 及. 解 有满秩分解为 ()2 rank A 002 110 110 001 001 000 111 000 A 行变换 D 110 取 = ，从而C = ，得 001 02 10 01 11 02 10 01 11 AC D 110 001 第 13页,共 21 页 C , 02 10 0100 10 01 0010 =, 01 00 10 20 11 00 0111 P 行变换
26、这里 2 QI 取 2 ,0 CQI 2 01 100000 010010 0- 1 PI , 00 10 0100= - 20 0010 - 11 2 1 1 = , 0 QP I ，取 得 得 D 10 110 100 = 0 0 001 010 01 列变换 ，这里 2 10 10- 110 10 = 01 =00101=00 00 01000 01 DQ P I 在依据性质 1.1 的(1.5)及(1.6)可分别求出 11 2615 1 C() 4121 11 HH lL CC CC 11 1 0 2 1 () 0 2 01 HH mR DDDD D 于是得到 2615 1 0000
27、11 4121 ll AD C 1 00 2 1 00 2 0010 mm AD C 0 0 第 14页,共 21 页 2.4 初等变换法求广义逆矩阵 方法和步骤：经过一系列的初等行或初等列变换总可以将A写成 式的 形式, 这里 分别是 m 和 矩阵，由定理1.2，则 0 00 rr E PQ , PQ n nn A的全部广义逆为 1 0 00 rr E GP P 这里 、 分别是任意的 C D m-r r m-r) n-r rmr ，（ ） 和（ （ ）矩阵。 例7 120 002 240 AA 求 = 的广义逆矩阵 . 解 由上述定理 ,首先要将 A写成P 0 00 rr E Q式的形式.
28、 为此 , 将A作初等 变换得 100 100120100 1 0 0010A010001 2 201 001010 001 100 010 000 = 设 , 1 100 010 201 P 2 100 1 00 2 001 P ,1 120 010 001 Q , , 2 100 001 010 Q 则 11 21 12 , AP PQQ Q 1 21 100 1 00 2 201 PP P , 1 12 120 000 010 QQ Q 从而，有 第 15页,共 21 页 11 11 22 121 121 100 10 10210 1 01 00101 0 0 2 010 201 cc
29、Qc P c ddf ddf = 1211 121 2 100 12 2 2 1 00 2 01 201 ddcf ddf c 111211 11 21 22 12 2 4 2 1 2 2 1 2 2 dcfdcf df df cc 例8 设 0130 2415 4571 0 A , 求广义逆 . A 解 = 3 4 0 AI I 0130 100 2415|010 4571 0|001 | 1000|000 0100|000 0010|000 0001|000 1 1000|2 0 2 0100|100 0000|321 | 11 5 10 |000 22 0130|000 0010 000
30、 0001 000 于是 1 20 2 100 321 P , 11 5 10 22 013 0 001 0 000 1 Q . 所以 的减号广义逆为 A 2 IU VW GQ P , 第 16页,共 21 页 其中 . 21 22 2 1 , X UCVCWC 以上介绍了A 的初等变换法，那么我们现在给定一个 矩阵 mn A , 总有 ，有定理 1.3 知当 m rm i, n rankA n m n 1 ) TT A ( A A m AA rankA m 时，有 T ，当 时，有 rankA n l () T A AA AA , 当 mi rankA r n , m n 时，有 ml A
31、AC D ， 其中 是 的满秩分解式. 我们可以看出要求矩阵 的任何一种广义逆矩阵 , 关键是求出一个 AD C A A ml A A 和 .那么下给出了利用初等变换法求出 ml A A 和 的具体方法. 设 , (不必限制 () T rank AA r min , rm n )则存在 阶可逆矩阵 使得 m , PQ 0 () 00 r T E PAAQ D 则 ，令 1 T AA P DQ 1 0 00 r E GQ PQ D P 由于 11 111 3111 () ()( ) () ( ) TT T AA G AA P DQ QDP P DQ P D Q P DQ AA 所以 是 的一个广
32、义逆矩阵( G T AA ) T AA . 据此，我们对下面分块矩阵进行初等变换： 1 1 00 TT T Pr m Qc T TT PA A P PA AQP AA E Ao AA 0 00 0 r T E P AQ = 因此, . 0 00 r T m E AA Q P 同理，对下面的分块矩阵施行初等变换： 1 1 0 0 TT T TT Pr Qc n n PA A P A PA AQP A AA A Eo E Q = 0 00 0 r T E PA Q 第 17页,共 21 页 因此， . 0 00 r T l E AQ P A 这里 、 均指可逆矩阵. P Q A= ，求 11 23
33、 32 A的最小二乘逆 l . A 例9 设 解 因为 ，所以 123 132 T A 14 11 11 14 T AA . 对下列矩阵施行初等行变换有 12 11 14 14 11 | 1 2 3 14 11 | 1 2 3 75 25 10 5 11 14 | 1 3 2 0| 14 14 7 14 | | 10|000 10|000 01|000 01|000 rr 1 12 11 1 rc c 14 14 123 11 11 2 3 10| 1| 14 14 14 14 14 14 14 75 25 10 5 75 25 10 5 0| 0| 14 14 7 14 14 14 7 14
34、 | | 11 10|000 1| 00 14 01|000 01|000 0 2 14 r 75 123 10| 14 14 14 14 1 01| 31 5 1 5 | 11 1| 0 00 14 01|000 所以 123 11 10 1 14 14 14 14 14 1 01 01 31 5 1 5 L A = 1 15 5- 14 -5 4 -1 . 第 18页,共 21 页 例10 设 ，求最小范数逆 14 25 36 A A m . 解 因为 = ，所以 = T A T AA 123 456 51 01 5 10 20 30 15 30 45 , 对下列矩阵施行初等变换有 1 123 00 5 1 51 01 5|100 246|0 0 5 10 20 30 | 0 1 0 1 15 30 45 | 0 0 1 369|00 05 5 | | 123|000 123 |000 246|000 555 246 |000 555 1 123 00 5 21 000| 0 55 31 000| 0 5 55 123 |000 555 246 |000 555
