1、3.1.3 导数的几何意义,1.曲线的切线,如图,曲线C是函数y=f(x) 的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+x,y0+y) 为P邻近一点,PQ为C的割线, PM/x轴,QM/y轴,为PQ的 倾斜角.,P,Q,割线,切线,T,请看当 点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.,我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数平均变化
2、率的极限.,导数的几何意义,函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率.,故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是:,即:,因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x.,求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤:先利用切线斜率 的定义求出切线的斜率,然后 利用点斜式求切线方程.,例2 如图, 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数,的图象. 根据图象, 请描述、比较,曲线 在 附近的变化情况.,解:可用曲线 h(t) 在 t0 , t1 , t2 处的切线刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近的变化情况.,(
3、1)当 t = t0 时, 曲线 h(t) 在 t0 处的切线 l0 平行于 x 轴.故在 t = t0 附近曲线比较平坦, 几乎没有升降.,(2)当 t = t1 时, 曲线 h(t) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 h(t1) 0 .故在t = t1 附近曲线下降,即函数 h(t) 在 t = t1 附近单调递减.,t4,t3,(3)当 t = t2 时, 曲线 h(t) 在 t2处的切线 l2 的斜率 h(t2) 0 .故在 t = t2 附近曲线下降,即函数 h(t) 在t = t2 附近也单调递减.,例2,. 根据图象, 请描述、比较,曲线 在 附近的变化情况.,解:可用曲线 h(
4、t) 在 t0 , t1 , t2 处的切线刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近的变化情况.,(1)当 t = t0 时, 曲线 h(t) 在 t0 处的切线 l0 平行于 x 轴.故在 t = t0 附近曲线比较平坦, 几乎没有升降.,(2)当 t = t1 时, 曲线 h(t) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 h(t1) 0 .故在t = t1 附近曲线下降,即函数 h(t) 在 t = t1 附近单调递减.,(3)当 t = t2 时, 曲线 h(t) 在 t2处的切线 l2 的斜率 h(t2) 0 .故在 t = t2 附近曲线下降,即函数 h(t) 在t = t2 附近也单调递减
5、.,从图可以看出,直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度,这说明 h(t) 曲线在 l1 附近比在 l2 附近下降得缓慢,在不致发生混淆时,导函数也简称导数,什么是导函数?,由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0时,f(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:,如何求函数y=f(x)的导数?,例2:试求过点P(3,5)且与曲线y=x,看一个例子:,(3)函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数在x=x0处的函数值,即 。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。,小结:,(2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数 。,(1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数。,弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系。,(1)求出函数在点x0处的变化率 ,得到曲线在点(x0,f(x0)的切线的斜率。,(2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即,求切线方程的步骤:,小结:,无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求 函数的导数的基本思想,丢掉极限思想就无法理解导 数概念。,