1、第32卷第1期2010年2月湖州师范学院学报Journal of H uzhou Teachers CollegeV0132 No1Feb，2010卷积性质的代数证明。林让起1，徐瑞标2(1泉州师范学院应用科技学院，福建泉州362311；2武夷学院教育科学系，福建武夷山354300)摘要：应用傅里叶逆变换关于卷积运算、普通乘法运算的同态满射，利用抽象代数中同态的性质去证明卷积的七个基本性质关键词：卷积；同态；傅里叶逆变换；证明中图分类号：017422 文献标识码：A 文章编号：10091734(2010)01一011603O 引言卷积是在信号与线性系统的基础上或背景中出现的信号与线性系统，讨论
2、的是信号经过一个线性系统以后发生的变化，即输入、输出和所经过的所谓系统这三者之间的数学关系所谓线性系统的含义，就是这个所谓的系统带来的输出信号与输入信号的数学关系式之间是线性的运算关系卷积关系最重要的一种情况就是在信号与线性系统或数字信号处理中的卷积定理利用该定理可以将时间域或空间域中的卷积运算等价为频率域的相乘运算，从而利用FFT等快速算法实现有效的计算，节省运算代价卷积是分析线性系统的重要工具，在概率论中可以用来求两个独立随机变量和的分布；在积分变换中可以用来求逆变换卷积是高等数学中一个重要的概念，也是分析数学中一种重要的运算设，(z)，g(z)是R1上的两个广可积函数，作积分：I，(r)
3、g(zr)如，可以证明关于几乎所有的z(一，+)，上述积分是存在的这J样，随着z的不同取值，这个积分就定义了一个新函数(z)，称为函数厂与g的卷积，记为(z)=(厂*g)(z)容易验证(g*，)(z)=(，*g)(z)，并且(厂*g)(z)仍为可积函数卷积与傅里叶变换有着密切的关系利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化由卷积得到的函数厂*g一般要比，和g光滑特别当g为具有紧支集的光滑函数，为局部可积时，它们的卷积，*g也是光滑函数利用这一性质，对于任意的可积函数，都可以简单地构造出一列逼近于，的光滑函数列，这种方法称为函数的光
4、滑化或正则化卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去1 卷积的定义掌握卷积的性质，无疑对卷积的应用有很大帮助课本中都是用卷积的定义与积分的性质来证明卷积的性质的下面我们用代数的方法来证明卷积的性质r定义1(卷积的概念) 若已知函数，。()，2()，则积分I ，。(r)(fr)dr称为厂，()与(f)的卷J一积，记为，l()*厂2()1定义2 一个A到万的映射j5称一个对于代数运算。和5来说A到万的同态映射假如在j5之下，V口，6A，若口一：，6一石，就有n06五百万2j*收稿日期：20091227作者简介：林让起，讲师，从事高校数学基础教学研究万方数据第1期 林让起，等：卷积性质的代数
5、证明注：若乒是A到万的满射，我们称是一个同态满射，且称对于代数运算。和。来说A与A同态引理1 l卷积定理) 设F，(c，)=F()，F：(cc，)=F，z()，则F()*()=F，(珊)，o。F2(cc，)，其中F()=l 厂(f)矿“出为，()的傅里叶变换J一引理2 若对于代数运算。和。说A与A同态，则(1)若。适合结合律，则5适合结合律；(2)若。适合交换律。则6适合交换律引理3 若o，o都是集合A的代数运算，西，百都是集合万的代数运算，并且存在一个A到页的满射手，使得A到万对于代数运算Q，西来说同态，对于代数运算o，百来说同态那么(1)若，适合第一分配律，则西，萄适合第一分配律；(2)若
6、，适合第二分配律，则西，百适合第二分配律注：口(6f)=(口o 6)o(n o c)称第一分配律，(n6)of=(口o f)(60 c)称第二分配律2 卷积性质的代数证明(1)()*()=，2()*()；(2)()*()*()=，()*()*()；(3)，。()*()+()=，()*(z)+，l()*()；(4)()+()*g】()十勘(f)=(z)*91(f)+()*舶(f)+，l()*m()十()*92()证明 令万=，(z)|(f)的傅里叶变换存在)；A=F()I F()为厂(f)的傅里叶变换，()A)取普通的乘法与加法+为A中的代数运算，卷积*与普通加法+为万中的代数运算，傅里叶逆变换
7、乒为A到万的映射(满射)，由卷积定理知A到万对于代数运算，*来说同态，易知对于代数运算，+来说也同态在A中乘法适合交换律与结合律，由引理2知在再卷积运算*适合交换律与结合律，性质1、2得证 ?在A中乘法，+适合第一、二分配律，由引理3知在万中卷积运算*，+适合一、二分配律，性质3、4成立结合傅里叶变换的性质证明下列卷积性质：(5)，(f)*艿()=，()，艿(f)为单位脉冲函数；(6)设Fl(ccJ)=F(f)，F2(cJ)=F(f)，1()*(f)=g()，则(f一口)*(f一6)=g(fn一6)；(7)设Fl(叫)=F(f)，F2()=F()，l(z)*()=g(f)，则(讲)*(越)=r
8、hg(础)，口O证明(5) 由常数1的傅里叶逆变换为艿(f)，F(御)1=F()得，(z)*艿(f)一，()证明(6) 由矿刖F()的傅里叶逆变换为厂(f一口)，厂一F，(叫)P一柚F：(甜)=F咱洲F，(甜)F2(cc)，得厂1(f一口)*(6)=g(一n一6)证明(7) 由丁_打F(詈)的傅里叶逆变换为，(讲)，T_打F(詈)T_打F2(詈)2 T_打T_打I口l 口 n n l口I l l“I I“IFl(旦)疋(盟)，得(耐)*(口)一rh g(甜)口 口 l口l3 应用例：求三角脉冲函数：万方数据118 湖州师范学院学报 第32卷f芋(z+号) 一号号的傅氏变换，其中E，rO3解：根
9、据傅氏变换定义，且注意到三角脉冲函数是偶函数，所以F()=F，(七)=，(z)广缸如=j，(z)c。s(啦)如=吾2f卜芋cz一号岫泌如=号 号一竽-fzc。s瓣如一号fc。s啦dz r J 厶一譬喜(c。s警一1)：骂。inz(警) r叫 刑。 4参考文献：1张元袜积分变换(第4版)M北京：高等教育出版社，2003；39512张禾瑞近世代数基础M北京：高等教育出版社，1993：14223姜红燕卷积公式的推广J高等数学研究，2009(4)：5253The Algebra Proof of the Properties of the ConvoIutionLlN Rangqil，XU Ruibi
10、a02(1Faculty of Applied Science and TechnoIogy，Quaf珥hou Normal College，Quan2hou 3623l 1，China；2Department of Educational Science，Wuyi College。Wuyishan 354300，China)AbstlIact：This paper apphes the Fourier inVerse transform of the convolution operation，ordinary multiplication surjective homomorphisms，
11、and the abstract nature of algebra to prove the seven basic properties of the convolutionKey words：conv6iution；homomorphism surjectiveinverse Fourier Transform；prove万方数据卷积性质的代数证明作者： 林让起， 徐瑞标， LIN Rang-qi， XU Rui-biao作者单位： 林让起,LIN Rang-qi(泉州师范学院,应用科技学院,福建,泉州,362311)， 徐瑞标,XU Rui-biao(武夷学院,教育科学系,福建,武夷山,354300)刊名： 湖州师范学院学报英文刊名： JOURNAL OF HUZHOU TEACHERS COLLEGE年，卷(期)： 2010,32(1)参考文献(3条)1.姜红燕 卷积公式的推广期刊论文-高等数学研究 2009(04)2.张禾瑞 近世代数基础 19933.张元林 积分变换(第4版) 2003本文链接：http:/
