1、 1一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）1. 已知ABC，若对任意 ， ，则ABC 一定为RtACBtA锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答案】 （ ）2. 设 ，则 的取值范围为2log(1)log2 xxA B C D 【答案】 （ ,1且 1x01x）5. 设 ，则对任意实数 ， 是322()log1fxx,ab0的()0fabA. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件C. 必 要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 （ ）6. 数码 中有奇数个 9 的 2007 位十进制数 的个数为123206,a 12306aA B C D
2、 【答06(8)2061(8)206828案】 （ ）来源:学科网 ZXXK二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分）7. 设 ，则 的值域是 。xxxf 44cossini)()(f8. 若对一切 R，复数 的模不超过 2，则实数 的取值范()2sinzaaa2围为 .9. 已知椭圆 的左右焦点分别为 与 ，点 P 在直线 l：2164xy1F2上. 当 取最大值时，比 的值为 .3820xy12FP2P10. 底面半径为 1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为 cm 的实心铁球，四个球两两相切，1其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3
3、.11. 方程 的实数解的个数为 .20624204205(1)()6xxxx12. 袋内有 8 个白球和 2 个红球，每 次从中随机取出一个球，然后放回 1 个白球，则第 4次恰好取完所有红球的概率为 .三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分）15. 设 . 记 ，2()fxa1()fxf，1()nnfxf,3，. 证明：R (0)2nMaf对 所 有 正 整 数 ，.来源:学科网41 ,22006 年全国高中数学联合竞赛加试试卷（考试时间：上午 10：0012：00）一、以 B0和 B1为焦点的椭圆与 AB0B1的边 ABi交于Ci（ i=0，1） 。在 AB0的延长线上任取点
4、P0，以 B0为圆心，3B0P0为半径作圆弧 P0Q0交 C1B0的延长线于 Q0；以 C1为圆心， C1Q0为半径作圆弧 Q0P1交 B1A的延长线于 P1；以 B1为圆心， B1P1为半径作圆弧 P1Q1交 B1C0的延长线于 Q1；以 C0为圆心，C0Q1为半径作圆弧 Q1P 0，交 AB0的延长线于 P 0。试证：（1）点 P 0与点 P0重合，且圆弧 P0Q0与 P0Q1相内切于 P0；（2）四点 P0、 Q0、 Q1、 P1共圆。来源:学_科_网 Z_X_X_K4一试参考答案一、 选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）1.【答案】 （ C ）【解析】令 ，过 A 作 于 D。
5、由 ，推出 BBCACBt,令 ，代入上式，得 222AttC:2t:，即 , 也即 222cosBBA22sinBA。从而有 。由此可得 。 sinDC3.【答案】 （ C ）【解析】 ； 。要使 ，50xa5x60b6x2,34ABN则 ，即 。所以数对 共有 。 12645b12ba,16530C4.【答案】 （ A ）【解析】建立直角坐标系，以为坐标原点，为 轴，为 轴， 为轴，则 （ ） ， ， ， （ ） 。所以1(,0)Ft1t1(0,)2E(,0)G2(,0)Dt21t， 。因为 ，所以 ，由此推出 2EGDtEF15。又 ， ，210t12(,0)DFt21Ft2215415
6、()tt从而有 。56、 【答案】 （ B ）【解析】出现奇数个 9 的十进制数个数有 。又由120532020566699ACC于 以及 ，从而得206206(91)kkC20620206()()kk。12053205206662061998)A二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分）8.【答案】 。 5,【解析】依题意，得 2z22(cos)(sin)4aa（ ） （对2(cosin)35a 2i351arcsin56任意实数 成立） . 故 的取值范围为 2253a5aa。来源:Z&xx&k.Com5, 9. 【答案】 31【解析】 由平面 几何知，要使 最大，则过 ， P 三点
7、的圆必定和直线 l 相12FP12,F切于 P 点。设直线 l 交 x 轴于 A ，则 ，即(83,0)A，即 （1） ，又由12AF: 122APF圆幂定理， （2） ，而 ， ， A ，从1F1(23,0)2(3,0)(83,0)而有 ， 。代入（1） ， （2）得18243。22 31PFA712. 【答案】0.0434【解析】第 4 次恰好取完所有红球的概率为=0.0434.2 2918918110000三. 解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分）13. 【证明 】 因为 与 的 交点为 .显然有12nxyy204nxy。01xn若 为抛物线 与直线 的一个交点，则 . 记),
8、(0my12kxyxy01mkx，则 ， （13.1）01mmkx1011()mmmkn(2)由于 是整数， 也是整数，所以根据数学归纳1n22200()kxx法，通过（13.1）式可证明对于一切正整数 ， 是正整数. 现在对于任意01mkx正整数 ，取 ，使得 与 的交点为 . m01mkx12yy),(0myx815. 【证明】 （）如果 ，则 ， 。 2a1(0)|2faM（）如果 ，由题意 ， , . 则12412(0)nnfa3, 当 时， （ ）. 事 实上，当 时，0()2nf1n, 设 时成立（ 为某整数） ，则对 ， 1(0)2fa1k2kk9.2211(0)()4kkffa
9、（3）当 时，记 ，则对于任意 ， 且14a(0)nf1n4na。对于任意 ，21(0)n nffa, 则 。 所以，21()4nn1na。当 时， ，即11aaa1()24n。因此 。综合（） （） （） ，我们有 。 1(0)2nfM1,M2006 年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案一、 （本题满分 50 分）以 B0和 B1为焦点的椭圆与 AB0B1的边 ABi交于 Ci（ i=0，1） 。在AB0的延长线上任取点 P0，以 B0为圆心， B0P0为半径作圆弧 P0Q0交 C1B0的延长线于 Q0；以C1为圆心， C1Q0为半径作圆弧 Q0P1交 B1A 的延长线 于 P1；以 B1
10、为圆心， B1P1为半径作圆弧P1Q1交 B1C0的延长线于 Q1；以 C0为圆心， C0Q1为半径作圆弧 Q1P 0，交 AB0的延长线于P 0。试证：（1）点 P 0与点 P0重合，且圆弧 P0Q0与 P0Q1相 内切于P0；（2）四点 P0、 Q0、 Q1、 P1共圆 。【解析】证明：（1）显然 B0P0=B0Q0，并由圆弧 P0Q0和Q0P1， Q0P1和 P1Q1， P1Q1和 Q1P 0分别相内切于点Q0、 P1、 Q1，得 C1B0+B0Q0=C1P1， B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1以及C0Q1=C0B0+B0P 0。四式相加，利用 B1C1+C1B0=B1C0+C0B
11、0以及 P 0在 B0P0或其延长线上，有 B0P0=B0P 0。从而可知点 P 0与点 P0重合。由于圆弧 Q1P0的圆心 C0、圆弧 P0Q0的圆心 B0以及 P0在同一直线上，所以圆弧 Q1P0和 P0Q0相内切于点 P0。（2）现在分别过点 P0和 P1引上述相应相切圆弧的公切线P0T 和 P1T 交于点 T。又过点 Q1引相应相切圆弧的公切线 R1S1，分别交 P0T 和 P1T 于点 R1和S1。连接 P0Q1和 P1Q1，得等腰三角形 P0Q1R1和 P1Q1S1。基于此，我 们可由 P0Q1P1= P0Q1R1 P1Q1S1= ( P1P0T Q1P0P1)( P0P1T Q1
12、P1P0)而 P0Q1P1= Q1P0P1+ Q1P1P0，代入上式后，即得，同理可得 。)(2 )(210 R 1S1 TQ1P1 Q0C0B1 B0AC1 P010所以四点 P0、 Q0、 Q1、 P1共圆。二、 （本题满分 50 分）已知无穷数列 an满足a0=x， a1=y， ， n=1、2、。1na（1）对于怎样的实数 x 与 y，总存在正 整数 n0，使当 n0 n 时 an恒为常数？（2）求数列 an的通项公式。（2）由（2.3）和（2.4） ，我们得到 ， n2。 （2.7）112nnnaa记 ，则当 n2 时，1nab 243243232 )()( nnnn bbb由此递推，
13、我们得到 ， n2， （2.8）1)(FFnxy这里 Fn=Fn1+Fn2， n2， F0=F1=1。 （2.9）由（2.9）解得 。)25()(51nn（2.10）上式中的 n 还可以向负向延伸，例如 F1=0， F2=1。这样一来，式（2.8）对所有的 n0 都成立。由（2.8）解得， n0。2112 )()()()( nnnFn yxyxa（2.11）式（2.11）中的 F1、 F2由（2.10）确定。112006 年全国高中数学联赛加试试题的另解2006 年全国高中数学联赛加试第一题以 和 为焦点的椭圆与 的边 交于 。在 的延长线0B101ABi(0,1)iC0AB上任取点 ，以 为
14、圆心， 为半径作圆弧 交 的延长线于 ；以P0P:0QQ为圆心， 为半径作圆弧 交 的延长线于 ；以 为圆心， 为半1C1Q:011P1P径作圆弧 交 的延长线于 ；以 为圆心， 为半径作圆弧 ，交:0BC0C0:0的延长线于 。0AP试证：（1） 点 与点 重合，且圆弧 与 相切于点 ；0:0Q1P0（2） 四点 、 、 、 共圆。 （原题图略）112第（1）问的证明略，下面着重讨论第 2 问的另一种证明方法：构思：证明四点共圆，如果能找（或猜测）到该圆的圆心，转而证明圆心到四点距离相等，也是一个常用的方法，那么圆心究竟在哪里？试验：由题意可以知道： =常数（大于 ） 。01010BCBC1
15、0B利用几何画板制作如图 1 所示的试验场景，其中圆 为四边形 的外接圆。OPQAOC0B1+C0B0 = 5.95318 C1B0+C1B1 = 5.95318 C0B0 = 1.33625 C0B1 = 4.61694 C1B1 = 1.87466 C1B0 = 4.07852 O Q1P1Q0C0C1AB1 B0P0图 1拖动点 ，观察圆心 位置的变化，猜测点 可能是 的内心与 的内A 01BAC10BA心（这两个三角形的内心可能是重合的） 。利用几何画板中的测量工具测得相关角的度数，可以验证这个猜想是正确的！所以我们就有了下面的另解：证明：首先证明 的内心与 的内心重合：01BC10B
16、A假设这两个三角形的内心不重合，并设 为 的内心， 、 、 分别为切O0CMNF点。则可从点 引圆 的切线与圆 切于点 、与线段 交于点 ，而且点 与点1OED0C13 0101BCDB又因为，01010C ，这与点 与点 不重合矛101BDD0C盾，所以假设不成立，因此： 的内心与1A的内心重合。10AC设 、 的内心为 ，如图 3。 B10O来源:学_科_网 Z_X_X_K由于直线 平分 ，又 ，0O10BAC010PQ直线 垂直平分线段 ，P同理：直线 垂直平分线段 ，0B00O直线 垂直平分线段 ， 图 3OC11Q1直线 垂直平分线段 ，PO Q1P1Q0C0C1AB1 B0P014
