1、 关于圆锥曲线张角为直角的弦所在的直线过定点的证明梁关化，2016，03，09真命题：设点 在圆锥曲线上，且为直角的顶点。0(,)Pxy1） 椭圆 张角为直角的弦所在的直线过定点 ，其中21(0)ab0(,)txy；2t2） 双曲线 张角为直角的弦所在的直线过定点 ，21(0,)xyab0(,)txy其中 ；2t3） 抛物线 张角为直角弦所在的直线过定点 。2(0)ypx0(2,)pxy证明如下：1）如下图654321-1-2-3-4-5-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12B DPA设 ， ，直线 AB 的方程为 （注：这样设是为了免去直线斜率1(,)Axy2(,)Bxk
2、ym不存在的讨论）解方程组： ，消去 x 后并整理得21xyabkm2222() 0akbymkba从而有 （1） ， （2）212y21yakb又 ，1xk2xk故又有 （3） ， （4）1()ym22111()xkymy由 得PAB01020102()()yx展开得 （5）12012()yyxx把（1） （2） （3） （4）代入（5）并按 m 整理得22000()()()()abmkabky分解得 220xkyx 解得 ，或 （舍去，此时点 P 在直线 AB 上，不合题意）02()ab0m故直线 AB 的方程为202()abxkyxky变形为2002()()abx由此可知张角为直角的弦所
3、在的直线过定点2200()(),abxaby2）如下图（证明过程类比椭圆，详解过程略）654321-1-2-3-4-5-6-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12L1BDPA3）如下图654321-1-2-3-4-5-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12BDPA设 ， ，直线 AB 的方程为 （注：这样设是为了免去直线斜率1(,)Axy2(,)Bxkym不存在的讨论）解方程组： ，消去 x 后并整理得2pxkym20p从而有 （1） ， （2）1212y又 ，xkyxk故又有 （3） ， （4）1212()xkym22111()xkymy由 得PAB01020102()()yx展开得 （5）12012()yyxx把（1） （2） （3） （4）代入（5）并按 m 整理得000()(2)()mpxkpky分解得 yx解得 ，或 （舍去，此时点 P 在直线 AB 上，不合题意）0xk0ky故直线 AB 的方程为 2yxp变形为 00(2)()xpk由此可知张角为直角的弦所在的直线过定点 0(,)xy
