1、5.4 偶图、匹配及其应用,定义1 若无向图G=的结点集V能够划分为两 个子集V1, V2，满足V1V2，且V1V2V，使得 G中任意一条边的两个端点，一个属于V1，另一个属 于V2，则称G为偶图。记为G=. V1和V2称 为互补结点子集,在偶图G=中，若V1中的每个结点与V2 中的每个结点都有且仅有一条边相关联，则称偶图 G为完全偶图.记为Kn,m, 其中, n|V1|，m|V2|.,上图ad均是偶图，其中图b是完全偶图K2,3，图c 是完全偶图K3,3. 在图a中，G的互补结点子集为 V1=v1,v2,v3，V2=v4,v5,v6,v7； 在图d中，G的互补 结点子集为V1=v1,v2,v
2、3，V2=v4,v5,v6。事实上，图c 和图d是同一个图，它们都是完全偶图K3,3.,定理1 无向图G=为偶图的充分必要条件是G 的所有回路的长度均为偶数。,定义2 给定图G=，设M是E的一个不包含 环的子集，它的任意两条边在G均不相邻，则称M为 G匹配。若匹配M的某条边与顶点v关联，则称v是M饱和 点，否则称v是M非饱和点若G的每个顶点都是M饱和点，则称M为G完美匹 配，称含边数最多的匹配为最大匹配,设M为G的一个匹配，称G中由M中的边与非M中 的边交替组成的路为M交替路.称起点与终点都为非饱和的为M交替路为M可扩 路.,定理1 (Berge,1957) G的匹配M为最大匹配当且仅当 G不包含M可扩路.,设S为图G的一个顶点子集，与S的顶点相邻的所 有顶点的集合，称为S的邻集. 记为N(S),偶图存在匹配的条件：设偶图G=, 1. 存在匹配的必要条件是|V1|V2|. 2. G存在饱和V1的每个点的匹配,当且仅当对V1的任一子集有: |N(S)| S| 3.如果满足条件 1) V1中每个结点至少关联t条边； 2) V2中每个结点至多关联t条边；则G中存在从V1到 V2 的匹配,其中t为正整数(t条件) 4. 若G为每个点的度均为k(k0)的偶图,则G存在完美匹配,
