1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学一、填空题1计算： 20lim_31n2设 R， 2(1)i是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 _m3若2xy，则 _xy4已知ABC 的内角 A、B、C 所对应边分别为 a、b、 c，若 22330abc，则角 C 的大小是_ （结果用反三角函数值表示）5设常数 aR，若52ax的二项展开式中 7x项的系数为 10，则 _6方程 13x的实数解为_7在极坐标系中，曲线 cos与 cos1的公共点到极点的距离为_8盒子中装有编号为 1，2，3，4，5，6，7，8，9 的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是_（结果
2、用最简分数表示）9设 AB 是椭圆 的长轴，点 C 在 上，且 4BA，若 AB=4， 2BC，则的两个焦点之间的距离为_10设非零常数 d 是等差数列 12319,xx 的公差，随机变量 等可能地取值12319,xx，则方差 _D11若 2cosins,insi3yyy，则 sin()_xy12设 a为实常数， ()fx是定义在 R 上的奇函数，当 0时，2()97fx，若 1a对一切 0x成立，则 a的取值范围为_13在 Oy平面上，将两个半圆弧2(1)(1)x和 2(3)(3)y、两条直线 和 围成的封闭图形记为 D，如图中阴影部分记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 ，过(0,)|
3、作 的水平截面，所得截面面积为2418，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出 的体积值为_14对区间 I 上有定义的函数 ()gx，记 ()|(),IygxI，已知定义域为0,3的函数 ()yf有反函数 1yf，且 1102(,4)0,ff，若方程 ()0fx有解 ，则 0_二、选择题15设常数 aR，集合 |(1)0,|1AxaBxa，若 ABR，则 的取值范围为（ ）(A) (,2) (B) ,2 (C) (2,) (D) ,16钱大姐常说“便宜没好货” ，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件
4、17在数列 na中， 21n，若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素,ijijij， （ ,;,21ij ）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）(A)18 (B)28 (C)48 (D)6318在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,a；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 12345,d.若mM分别为 ()()ijkrstad的最小值、最大值，其中 1,ijk,rst,则 mM满足（ ）. (A) 0 (B) 0,(C) 0,mM(D) 0,mM三、解答题19.（本题满分 12 分）如图，在长方体 A
5、BCD-A1B1C1D1 中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线 BC1 平行于平面 DA1C，并求直线 BC1 到平面 D1AC 的距离.20 （6 分+8 分）甲厂以 x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求 10） ，每小时可获得利润是 310(5)x元.(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元，求 x 的取值范围；(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.21 （6 分+8 分）已知函数 ()2sin()fx，其中常数 0；（1）若 ()yfx在 ,43上单调递增，求 的取值范围；（2）令 ，将函
6、数 ()yf的图像向左平移 6个单位，再向上平移 1 个单位，得到D1 C1B1A1DCBA函数 ()ygx的图像，区间 ,ab（ ,R且 ab）满足： ()ygx在 ,ab上至少含有 30 个零点，在所有满足上述条件的 中，求 的最小值22 （3 分+5 分+8 分）如图，已知曲线21:xCy，曲线2:|1Cyx，P 是平面上一点，若存在过点 P 的直线与 12,C都有公共点，则称 P 为“C 1C2 型点” (1)在正确证明 的左焦点是“C 1C2 型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证） ；(2)设直线 ykx与 2有公共点，求证 |k，进而证明原点不
7、是“C1C2 型点” ；(3)求证：圆 内的点都不是“C 1C2 型点” 23 （3 分+6 分+9 分）给定常数 0c，定义函数 ()|4|fxcxc，数列12,a满足 *1(),nnafN.（1）若 c，求 2及 3；（2）求证：对任意 *1,nNa， ；（3）是否存在 ，使得 ,a 成等差数列？若存在，求出所有这样的 1a，若不存在，说明理由.参考答案一 填空题1. 13 2. 2 3. 0 4. 1arcos3 5. 2 6. 3log4 7. 152 8. 89. 463 10. 30d 11. 23 12. 87a 13. 216 14. 2二 选择题题号 15 16 17 18代
8、号 B B A D三 解答题19. 【解答】因为 ABCD-A1B1C1D1 为长方体，故 11/,CD，故 ABC1D1 为平行四边形，故 1A，显然 B 不在平面 D1AC 上，于是直线 BC1 平行于平面 DA1C；直线 BC1 到平面 D1AC 的距离即为点 B 到平面 D1AC 的距离设为 h考虑三棱锥 ABCD1 的体积，以 ABC 为底面，可得 11(2)33V而 1ADC中， 15,2AD，故 1ADCS所以， 323Vh，即直线 BC1 到平面 D1AC 的距离为 320 【解答】(1)根据题意， 30(51)0540xx又 1，可解得 (2)设利润为 y元，则 42916(
9、1)9()x故 6x时， max4570元21 【解答】(1)因为 0，根据题意有 32043(2) ()2sin()fx， (sin()12sin()163gxxx1023gk或 7,kZ，即 ()x的零点相离间隔依次为 和 ，故若 y在 ,ab上至少含有 30 个零点，则 ba的最小值为243145323. 【解答】：（ 1）C 1 的左焦点为 (3,0)F，过 F 的直线 3x与 C1 交于(,)2，与 C2 交于 1，故 C1 的左焦点为 “C1-C2 型点” ，且直线可以为 x；（2）直线 yk与 C2 有交点，则(|1)|x，若方程组有解，则必须 |1k；直线 与 C2 有交点，则
10、 22()ykkxx，若方程组有解，则必须 2故直线 至多与曲线 C1 和 C2 中的一条有交点，即原点不是 “C1-C2 型点”。（3）显然过圆 2xy内一点的直线 l若与曲线 C1 有交点，则斜率必存在；根据对称性，不妨设直线 l斜率存在且与曲线 C2 交于点 (,1)0t，则:(1)()(1)0lytkxtytk直线 与圆 2y内部有交点，故 2|t化简得， 2()()tk。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。若直线 l与曲线 C1 有交点，则 2 22()(1)()10ykxtxktxtk22224(1)40()kt ttk化简得， 2(1)k。 。 。 。 。由得， 2 22
11、()()1tk但此时，因为 20,(),t ，即式不成立；当 21k时，式也不成立综上，直线 l若与圆 21xy内有交点，则不可能同时与曲线 C1 和 C2 有交点，即圆 21xy内的点都不是“C 1-C2 型点” 23. 【解答】：（1）因为 0c， 1(2)ac，故2111()|4|afacc，322()|1f ac（2）要证明原命题，只需证明 ()fx对任意 xR都成立，|4|x c即只需证明 | +c若 0，显然有 2|=0成立；若 ，则 4xcx显然成立综上， ()fx恒成立，即对任意的 *nN， 1nac（3）由（2）知，若 na为等差数列，则公差 dc，故 n 无限增大时，总有 0na此时， 1()24)()8n nnfc即 8dc故 2111|aac，即 1|48，当 0时，等式成立，且 2n时， 0n，此时 na为等差数列，满足题意；若 10ac，则 11|4|8acac，此时， 23,8,(2)n 也满足题意；综上，满足题意的 的取值范围是 ,
