1、平面向量的数量积,方与圆数学辅导2012.4.5,平面向量的数量积要点梳理 1.平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量 叫做a与b的数量积（或内积），记作 .规定：零向量与任一向量的数量积为 .两个非零向量a与b垂直的充要条件是 ，两非零向量a与b平行的充要条件是 .,|a|b|cos,ab=|a|b|cos,0,ab=0,ab=|a|b|,基础知识 自主学习,2.平面向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的投影的乘积. 3.平面向量数量积的重要性质（1）ea=ae= ；（2）非零向量a，b，ab ；（3）当a与b同向时，ab= ；当a与b反向时，
2、ab= ,aa= ，|a|= ;（4）cos = ；（5）|ab| |a|b|.,|b|cos,|a|cos ,ab=0,|a|b|,-|a|b|,a2,4.平面向量数量积满足的运算律（1）ab= （交换律）；（2）（ a）b= = （ 为实数）；（3）（a+b）c= .,ba,ab,a b,ac+bc,5.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 ab= ，由此得到（1）若a=（x，y）,则|a|2= 或|a| .（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点间的距离|AB|=|AB|= .（3）设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a
3、b.,x1x2+y1y2,x2+y2,x1x2+y1y2=0,基础自测 1.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为（ ）A. B. C. D.解析 设a和b的夹角为，|a|cos =|a|,C,2.若|a|=2cos 15，|b|=4sin 15，a，b的夹角为30，则ab等于 （ ）A. B. C. D.解析,B,ab=|a|b|,3.已知a=(1,-3),b=(4,6)，c=(2,3)，则a（bc）等于 （ ）A.（26，-78） B.（-28，-42）C.-52 D.-78解析 a(bc)=(1,-3)(42+63)=(26,-78).,A,4.向量m=(x-5,1),
4、n=(4,x),mn，则x等于 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4解析 由mn=0，得4(x-5)+x=0，得x=4.,D,5.（2009江西）已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,2),若（a-c）b,则k= .解析 a-c=(3,1)-(k,2)=(3-k,-1),(a-c)b，b=(1,3),(3-k)1-3=0,k=0.,0,题型一 平面向量的数量积 【例1】已知向量a=(cos x,sin x),b=(cos ,-sin )，且x .(1)求ab及|a+b|;(2)若f(x)=ab-|a+b|，求f(x)的最大值和最小值.利用数量积的坐标运算及性质即可求解，在求|a+
5、b|时注意x的取值范围.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解,0,|a+b|=2cos x.,(2)由(1)可得f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1 =2(cos x- )2- . x ， cos x1， 当cos x= 时，f(x)取得最小值为- ； 当cos x=1时，f(x)取得最大值为-1.,探究提高 （1）与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识.（2）求平面向量数量积的步骤：首先求a与b的夹角为,0，180，再分别
6、求|a|，|b|，然后再求数量积即ab=|a|b|cos ，若知道向量的坐标a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.,知能迁移1 （1）已知O是 ABC内部一点， =0， 且BAC=30，则AOB的面积为 （ ）A.2 B.1 C. D.解析 由 =0得O为ABC的重心.SAOB= SABC.又 cos 30=2 ，得 =4.SABC= sin 30=1.SAOB= .,D,（2）（2009重庆）已知|a|=1,|b|=6,a(b-a)=2，则向量a与b的夹角是 （ ）A. B. C. D.解析 a(b-a)=ab-a2=2,ab=2+a2=3cosa，b= a与b
7、的夹角为 .,C,题型二 利用平面向量的数量积解决垂直问题 【例2】已知向量a=(cos(-),sin(-),b=（1）求证：ab；（2）若存在不等于0的实数k和t，使x=a+(t2+3)b,y=-ka+tb，满足xy，试求此时 的最小值.（1）可通过求ab=0证明ab.（2）由xy得xy=0，即求出关于k,t的一个方程，从而求出 的代数表达式，消去一个量k，得出关于t的函数，从而求出最小值.,思维启迪,(1)证明 ab=cos(-)cos( -)+sin(-) sin( -)=sin cos -sin cos=0. ab. （2）解 由xy得xy=0, 即a+（t2+3）b（-ka+tb）=
8、0， -ka2+（t3+3t）b2+t-k（t 2+3）ab=0， -k|a|2+（t3+3t）|b|2=0. 又|a|2=1，|b|2=1， -k+t3+3t=0，k=t3+3t. 故当t= 时， 有最小值 .,探究提高 （1）两个非零向量互相垂直的充要条件是它们的数量积为零.因此，可以将证两向量的垂直问题，转化为证明两个向量的数量积为零.（2）向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此，我们可以利用向量的坐标研究有关长度、角度和垂直问题.,知能迁移2 已知平面向量a=（- , ）,b=(- , -1).(1)证明：ab;(2
9、)若存在不同时为零的实数k、t,使x=a+(t2- 2)b,y=-ka+t2b,且xy，试把k表示为t的函数.(1)证明 ab= ( ,-1)ab.,(2)解 xy,xy=0, 即a+(t2-2)b（-ka+t2b）=0. 展开得-ka2+t2-k(t2-2)ab+t2(t2-2)b2=0, ab=0,a2=|a|2=1,b2=|b|2=4, -k+4t2（t2-2）=0,k=f(t)=4t2 (t2-2).,题型三 向量的夹角及向量模的问题 【例3】 （12分）已知|a|=1，ab= ，（a-b）（a+b）=求：（1）a与b的夹角；（2）a-b与a+b的夹角的余弦值. 解题示范 解 （1）（
10、a-b）（a+b）= ，|a|2-|b|2= ，又|a|=1，|b|= 3分设a与b的夹角为，则cos = 0 180,=45. 6分,5分,（2）（a-b）2=a2-2ab+b2|a-b|= 8分 （a+b）2=a2+2ab+b2=1+2 |a+b|= , 设a-b与a+b的夹角为 ， 10分 则cos = 12分,探究提高 （1）求向量的夹角利用公式cosa，b= .需分别求向量的数量积和向量的模.（2）利用数量积求向量的模，可考虑以下方法.|a|2=a2=aa;|ab|2=a22ab+b2;若a=(x,y)，则|a|= .,知能迁移3 已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120.(
11、1)计算：|a+b|;|4a-2b|;(2)当k为何值时，(a+2b)(ka-b)？解 由已知，ab=48(- )=-16.（1）|a+b|2=a2+2ab+b2=16+2(-16)+64=48,|a+b|=4 .,|4a-2b|2=16a2-16ab+4b2 =1616-16(-16)+464=3162, |4a-2b|=16 . （2）若(a+2b)(ka-b),则(a+2b)(ka-b)=0, ka2+（2k-1）ab-2b2=0. 16k-16（2k-1）-264=0，k=-7.,方法与技巧 1.数量积ab中间的符号“”不能省略，也不能用“”来替代. 2.要熟练类似（ a+b)(sa+
12、tb)= sa2+( t+s)ab+tb2的运算律（ 、s、tR）. 3.求向量模的常用方法：利用公式|a|2=a2,将模的运算转化为向量的数量积的运算. 4.一般地，（ab）c(bc)a即乘法的结合律不成立.因ab是一个数量，所以(ab)c表示一个与c共线的向量，同理右边（bc）a表示一个与a共线的向量,而a与c不一定共线,故一般情况下(ab)c(bc)a.,思想方法 感悟总结,失误与防范 1.零向量:(1)0与实数0的区别，不可写错：0a=00,a+(-a)=00,a0=00;(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系. 2.ab=0不能推出a=
13、0或b=0,因为ab=0ab. 3.ab=ac(a0)不能推出b=c.即消去律不成立. 4.向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中， 应为120,而不是60.,一、选择题 1.（2009宁夏）已知a=(-3,2),b=(-1,0)，向量 a+b与a-2b垂直，则实数 的值为（ ）A. B. C. D.解析 a=(-3,2),b=(-1,0), a+b=(-3 -1,2 ),a-2b=（-3，2）-2（-1，0）=（-1，2）.由（ a+b）(a-2b),知4 +3 +1=0. =-,A,定时检测,2. 已知向量a,b的夹角为120，|a|=1，|b|=5，则|3a-b|等于 （ ） A.7
14、 B.6 C.5 D.4,解析,A,3.设向量a与b的夹角为，定义a与b的“向量积”：ab是一个向量，它的模|ab|=|a|b|sin ,若a=(- , -1),b=(1, )，则|ab|等于 （ ）A. B.2 C.2 D.4解析 |a|=|b|=2，ab=-2 ，cos =又0，sin =|ab|=22 =2.,B,4. 已知非零向量a,b，若|a|=|b|=1,且ab，又知（2a+3b）(ka-4b)，则实数k的值为（ ）A.-6 B.-3 C.3 D.6解析 由（2a+3b）（ka-4b）=0，得2k-12=0,k=6.,D,5.（2009全国）设非零向量a、b、c满足 |a|=|b|
15、=|c|,a+b=c,则a,b= （ ）A.150 B.120 C.60 D.30解析 a+b=c,|c|2=|a+b|2=a2+2ab+b2.又|a|=|b|=|c|,2ab=-b2,即2|a|b|cosa,b=-|b|2.cosa,b=- ,a,b=120.,B,6.在ABC中，已知a、b、c成等比数列，且a+c=3，cos B= ，则 等于 （ ）A. B. C.3 D.-3解析 由已知b2=ac，a+c=3，cos B= ，得 ，得ac=2.则 =accos =2,B,二、填空题 7.（2009江苏）已知向量a和向量b的夹角为30，|a|=2，|b|= ，则向量a和向量b的数量积ab=
16、 .解析 由题意知ab=|a|b|cos 30=2 =3.,3,8.设向量a,b满足|a-b|=2，|a|=2，且a-b与a的夹角为 ，则|b|= .解析 由已知得即 ab=2.又|a-b|2=4=|a|2+|b|2-2ab，|b|2=4,|b|=2.,2,9.已知向量a=(x,1),b=(2,3x)，则 的取值范围是 .解析 本题考查数量积的坐标运算及均值不等式求最值；原式= ，当x=0时，原式=0，当x0时，原式=,当x0时，0当x0时，0综上所述，取值范围为答案,三、解答题 10.已知点A（1，0），B（0，1），C（2sin ，cos ）.（1）若| |=| |，求tan 的值；（2）
17、若（ ） =1，其中O为坐标原点，求sin 2的值.解 （1）A（1，0）,B（0，1），C（2sin ，cos ）， =（2sin -1，cos ）, =（2sin ，cos -1）.| |=| |，, 化简得2sin =cos . cos 0（若cos =0，则sin =1,上式不成立）. tan = . （2） =（1，0）， =（0，1）， = （2sin ，cos ）， =（1，2）. （ ） =1，2sin +2cos =1. sin +cos = .（sin +cos ）2= . sin 2= .,11.设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹
18、角.解 由|m|=1，|n|=1，夹角为60，得mn= .则有|a|=|2m+n|=|b|=而ab=（2m+n）（2n-3m）=mn-6m2+2n2=- 设a与b的夹角为，则cos = 故a，b夹角为120.,12.在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2sin2 +cos 2C=1.（1）求角C的大小；（2）若向量m=(3a,-b),向量n=（a,- ），mn，（m+n）(-m+n)=-16.求a、b、c的值.解 （1）2sin2 +cos 2C=1，cos 2C=1-2sin2 =cos（A+B）=-cos C.2cos2C+cos C-1=0.cos C= 或-1.C（0，），C= .,（2）mn，3a2- =0，即b2=9a2. 又(m+n)（-m+n）=-16， -8a2- b2=-16，即a2+ =2. 由可得a2=1,b2=9,a=1,b=3. 又c2=a2+b2-2abcos C=7,c= .,返回,
