1、热点追踪 山东 王娓娓 任秀丽三角形中的范围与最值问题是学生学习解三角形的过程中比较害怕的问题,它不仅要用到三角变换,正、余弦定理,往往还涉及利用基本不等式等求函数值域的方法现就以教学过程中遇到的该类问题与大家共同分享、探讨 边的范围例 ( 年江苏卷)在 A B C中,角A 、 B 、C所对的边分别为a 、 b 、 c , A B C , A B C的平分线交A C于点D ,且B D ,则 a c的最小值为方法 由 a c s i n a s i n c s i n ,得a c a c ,即a c ,所以 a c ( a c ) ( a c ) ca ac ca ac ,当且仅当ca ac ,
2、即a ,c 时等号成立答案为 方法 在 A B D中,由正弦定理,得cs i n A D B A Ds i n , 由余弦定理,得A D c c 在 B C D中,由正弦定理,得as i n B D C C Ds i n , 由余弦定理,得C D a a 因为s i n A D B s i n B D C ,所以由式 、 得A DC D ca ,所以A D C D c ca a c a ,化简,得a c a c 以下同方法 方法从面积关系入手,思路清晰、过程简洁方法虽然相对烦琐,但却是学生容易想到的思路,如果熟知三角形角平分线的性质,只需运用两次余弦定理即可两种方法殊途同归,最终找到a ,c的
3、关系,将所求最值转化为可利用均值不等式的形式 角的范围例 ( 年江苏卷)在锐角 A B C中, s i n A s i n B s i n C ,则t a n A t a n B t a n C的最小值是方法 由s i n A s i n ( B C ) s i n B c o s C c o s B s i n C ,得s i n B c o s C c o s B s i n C s i n B s i n C ,两边同除以c o s B c o s C ,得t a n B t a n C t a n B t a n C 故t a n A t a n B t a n C t a n ( B
4、 C ) t a n B t a n C t a n B t a n C t a n B t a n C t a n B t a n C ( t a n B t a n C ) t a n B t a n C 令t a n B t a n C x ,由 A B C为锐角三角形,可知t a n A t a n B t a n C ,所以 t a n B t a n C ,即x ,所以t a n A t a n B t a n C x x x x ( x ) x ( x ) x ( x ) x ,当且仅当x ,即t a n A , t a n B , t a n C 或t a n B , t a
5、n C 时等号成立方法 由方法 ,得t a n A t a n B t a n C xx x x ( x ) ,当且仅当x ,x ,即t a n A , t a n B , t a n C 或t a n B , t a n C 时等号成立 面积的范围例 在 A B C中, A , B , C所对的边分别为a ,b ,c ,且s i n C c o s B s i n B s i n A ( )求C ; ( )若c ,求 A B C面积的最大值方法 ( )由正弦定理及s i n C c o s B s i n B s i n A ,得c c o s B b a ,所以c o s B a bc ,
6、又c o s B a c b a c ,所以a c b a c a bc ,化简得a b c a b ,所以c o s C , C 热点追踪( )因为S A B C a b s i n C a b ,所以 A B C面积的最大时,即a b取得最大值由余弦定理c a b a b c o s C ,得a b a b 由a b a b ,得 a b a b ,即a b ,当且仅当a b时,取等号所以 A B C面积的最大值为 方法 ( )由射影定理知c c o s B b c o s C a ,对照已知条件知s i n C c o s B s i n B s i n A ,即c c o s B b
7、a ,可得c o s C , C ( )因为S A B C a b s i n C a b ,所以 A B C面积的最大时,即a b取得最大值由正弦定理,得cs i n C s i n R , B A ,故a b R s i n A s i n B s i n A s i n ( A ) s i n A ( c o s A s i n A ) ( s i n A c o s A ) s i n ( A ) 因C ,所以 A , A , A ,所以s i n ( A ) ( , ,所以a b的最大值为 , A B C面积的最大值为 第( )问的方法较为常规,学生容易想到方法利用了射影定理,过程简
8、洁,但对学生的基础要求较高在第( )问计算面积时有三组边角可供选择: S a b s i n C b c s i n A a c s i n B ,通常是“依角而选” ,从而把目标转向求a b的最值要注意到余弦定理本身含有平方和与乘积项,再配上均值不等式或将边化为角的形式,往往可以找到最值通过以上例题,我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、三角函数、基本不等式、二次函数等知识综合考查这类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力,是高考命题的热点理顺这些基本知识、技巧和方法可以提高学生解题的能力希望本文能对学生复习有所帮助(作者单位:山东省淄博市临淄中学) 山东
9、李志边教材是我们学习的主要载体,也是高考命题的重要依据,教材中的例题和习题都具有典型性和代表性,对其进行深入探究可有效提升学生分析问题和解决问题的能力本文以教材中一道向量习题为例,进行探究,以期抛砖引玉例 (人教B版必修 )已知A 、 B是直线l上任意两点, O是l外一点,求证:对直线l上任意一点P ,存在实数t ,使O P ( t ) O A t O B 图证明 如图 ,因为点A 、 B 、P在直线l上,由向量共线定理,可知存在常数t ,使A P t A B 因为A P O P O A , A B O B O A ,所以O P O A t ( O B O A ) ,即O P ( t ) O
10、A t O B 问题得证 逆向探究,形成结论例 已知A 、 B是直线l上任意两点, O是l外一点, P为平面上任意一点,且存在实数t ,使O P ( t ) O A t O B 证明:点P在直线l上证明 由O P ( t ) O A t O B ,得O P O A t ( O B O A ) ,即A P t A B ,所以A 、 B 、 P三点共线,即点P在直线l上结论 由上述例的探究可知,对直线l上的任意一点P ,一定存在唯一的实数t满足O P ( t ) O A t O B ;反之,对于任一个实数t ,在直线l上都存在唯一的一点P与其对应O P ( t ) O A t O B叫直线l的向量参数方程,t为参数 限制条件,变化结论若将例中t的范围限制为 t ,则点P在线段A B上(包括点A 、 B ) 例 M为 A B C的边B C上一点,且A M A C A B ,证明: 证明 如图所示,设B M B C ( ) ,因为B M A M A B , B C A C A B ,所以
