1、124高等数学研究 V0110，No4STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS Jul。2007浅谈常微分方程中的换元思想吴景珠 (周口师范学院数学系 河南周口466001)摘 要 在解决数学问题时，换元思想是转化能力的一种体现，它渗透到数学领域的各个方面，在培养学生解决数学问题能力方面有着非常重要的意义通过常微分方程参数解的推导以及Riccati方程求解过程，可以充分展示和体会到换元思想方法的妙用关键词 换元思想高等数学；常微分方程 中图分类号 01411不论在自然科学领域，还是社会科学领域，都存在着大量问题需要人们解决解决问题的方法很多通过合理假设，抓住问题的主要矛盾，
2、将实际问题转化为数学化，从而可利用数学方法解决数学问题自身也不例外，换元法就是解决数学问题经常采用的有效方法之一其基本思想是通过变量代换，化繁为简，化难为易，实现从未知向已知转化，从而达到解决问题的目的所谓换元是指引入一个或几个新变量代替原式中的某些量，使得原式中仅含有这些新变量，然后对新变量求出结果，通过回代求出原变量的结果换元思想不论在初等数学领域还是在高等数学领域都有着广泛的应用，这里不再一一列举，文献E1，2，3分别给出了换元思想在初等数学领域、高等数学领域中的部分应用这种换元思想在常微分方程中也有着充分体现在常微分方程这门学科的发展历程中，Bernoulli家族首次将换元思想引入该学
3、科，给出了换元方法但是在教学过程中，如何让学生深入理会这一思想，掌握这一方法是每位教师值得思考的一个问题对于数学这一学科，在我们的教学过程中，不仅仅让学生学到必需的知识，更重要的是使学生理解数学的思想，从而培养他们发现问题、解决问题的能力，进而达到创新的目的关于一阶齐次微分方程或者可以化为齐次微分方程的求解问题以及Bernoulli方程的求解问题在大部分常微分方程的教材中都能见到，这里不再赘述本文主要讨论常微分方程的参数解、Riccati方程的求解问题，让学生从中体会换元思想方法的妙用1一阶隐式微分方程的求解问题定义14 形如F(x，y，y7)=0 (1)的方程，称之为一阶隐式微分方程 ，这类
4、方程的求解采用的是换元思想并于方程(1)的通解可以分两种情形考虑11 假如能从(1)中解出Y7，就得到一个或几个显式方程Y=(z，y)，i=1，2，扎如果能利用初等积分方法解出这些显式方程的解，那么也就得到了方程(1)解例如方程()一(z+y)2+xy=0，可以化为7()(芝一y)一o 万方数据万方数据第10卷第4期 吴景珠：浅谈常微分方程中的换元思想 125从而得到两个容易求解的方程：一一0； 业dxy一。 12 如果不能从方程(1)中解出y7，仍可以利用换元思想求解以下两种类型的方程类型1 形如F(x，Y7)=0或F(y，Y7)一0，特点是方程中不含Y或z；类型2 形如Yf(x，y7)或z
5、=f(Y，y7)，特点是可以解出y或z首先，考虑类型l中的方程F(x，Y)一0 (2)具体作法是将方程(2)化成参数形式萨：；) 其中t是参数由于dy=y7dx，即dy=9()()出，对其两端积分可得y19()()出+c于是fz=妒()，jy=-如)以舢计f就是方程(1)的参数形式的通解对于方程F(y，y7)有相同的讨论；这里不再赘述例1 求方程zFF芦一Y7的通解解 令Y7=tan t，有z=sint，于是原方程的参数形式为，X 2 slnj Y7一tan z由此可得dy 2 tantcostdt=sin tdt对上式积分，有y=costIC从而原方程的参数形式通解为，z 2 sIn1Y=一
6、cost+f下面，考虑类型2中的方程Yf(x，Y7) (4)令zz，Y7一P，有Yf(x，p)，于是方程(4)就化为了下述的参数形式fz 2 zj y7=P， (5)【y=f(x，乡)由于dy=3，7dx，将(5)式代入，得r。(、ztp)dx七f poz，p)dppdx或 万方数据万方数据126 高等数学研究 2007年7月厂7。(z，户)+，7，(z，户)品dpP (6)显然这是一个关于自变量为z，未知函数为p的方程如果能求得通解P=p(x，c)并将它代入到(5)的第三个方程中，即得(6)的通解yf(x，p(x，c)如果只能求得(6)的通积分G(x，P，c)一0，则它与(5)的第三个方程联
7、立，fG(x，P，c)一0，1 Y=f(x，夕)，为(4)的参数形式解注1 在上述求解过程中，当从方程(6)中解出P=p(x，c)时，只要将其代入(5)的第三式，就得到(1)的通解了，而无须将P认为y 7，再积分来求y这是因为用参数法求解方程(4)的本质意义在于：当从(4)中不能解出Y=y(z)时，通过参数法，把求解方程(1)化为一个以X为自变量，以PY7为未知函数的方程(5)，一旦从(5)中解得P=p(x，c)，那么它当然满足(5)中的第三式，即有Yf(x，p(x，c)，而这相当于在(4)中先把y7解出，又由于方程(4)形式的特殊性，使得yf(x，p(x，c)成为了原方程(4)的通解注2 关
8、于奇解和包络的判定采用的是所谓的判别曲线方法，其实质上仍然是消去参数得出的，这里不再给出例2 求方程yY”一xy 7+去的通解厶解 令z=z，Y7一P，则原方程的参数形式为r2J Y。2 P， (7) 、，Y=夕2一印+丢一由此得(zp)dx+(2pz)dp一夕如。或(2p1)(塞_1)一0由2pzo，得p=詈代入(7)的第三式，得原程的一个特解了一譬再由塞一1=o，解得夕=X+c，代入(7)的第三式，得原方程的通解y=妻z2+凹+f22 可降阶的高阶方程一些可降阶的高阶方程仍然可以利用换元思想进行求解，下面讨论两类可降阶的高阶方程21 第一种可降阶的高阶方程此类可降阶的高阶方程具有如下形式：
9、 万方数据万方数据第10卷第4期 吴景珠：浅谈常微分方程中的换元思想 127F(x，YD，y蚪“，Y“)=0，(五1)其特点是方程中出现的最低阶的导数为，令zY旺，(8)式就化成F(z，z，z7，zn-)=0，如果由(9)式能求出通解。z=z(x，c1，c，1)则对Y娃一z(x，fl，c，)积分，就可以求出Y22 第二种可降阶的高阶方程此类可降阶的高阶方程具有如下形式：F(y，Y，Y”)=0其特点是不显含自变量X，这时，总可以利用代换Y7=P使方程降低一阶以二阶方程F(y，y7，)=0为例令Y7一P，于是有Y，一业一业业：业 一一dx一一dy。盂2 P焉。代入原方程，就有(8)(9)F(y，M
10、塞)_0这是一个关于未知函数P的一阶方程如果由它可求得Pp(y，f)则有Y=夕一P(Y，c)这是一个变量可分离方程，可求得通积分3 EulerRiccati方程的求解问题定义2t1 形如芝2 p(x)y。+q(z)y+r(z) (10)的方程，称之为EulerRiccati方檀(或简称为4Riccati方程)如果设p(z)=bx4，q(z)=0，r(z)、=一a，其中口，6，口是常数，则方程(10)具有形式+则2=k4 (11)称之为特殊的Riccati方程 一般地，Riccati方程不是平方可积的，甚至特殊的Riccali方程也只有在口一志(忌是整数或o。)时才能平方可积如果当是o时，ai_
11、竺甄，则在(11)式中做代换岁一u十五1，有挈+哞：bxa+2 t 9万方数据万方数据128 高等数学研究 2007年7月令乱=土，则有掣+如升2矿一agc2再令z=z荆，上式化为塞+f可2=f耘2寮可以一直做这种变换，直到化为可分离变量为止 、方程_du“2+训(z) (12)称为典型的Riccati方程如果(10)中的函数r(z)是二次可微的，则利用变换Ya(x)z， z一乱+卢(z)，可以将方程(10)化为典型形式在某些情形下(12)的特解比较容易确定如果我们知道(10)的一个特解，可以利用下述两种换元方式进行求解方法一 令Y=z+Y。ix)，并将其代入(10)得。塞+虫孚=pC。)(z
12、+Yl(z)2+鼋(z)(z+y-(z)+，(z)，或万dzp(x)z2+2p(x)y1(z)+口(z)k上式显然是Bernoulli方程，因此可以求解方法二 令YY1(z)十三，并将其代入(10)得兰+q(x)zp(z)+2yl(z)，上式是一个线性方程，因此可以求解注3 关于一阶齐次微分方程，或者其他可以化为齐次微分方程的方程求解问题以及Bernoulli方程的求解问题在大部分常微分方程的教材中都能见到，这些方程的求解采用的都是换元思想，这里不再赘述注4 在利用换元思想解决数学问题时，应该注意换元的原则是将复杂的问题转化为简单的问题；把不熟悉的化归为熟悉的，同时要注意新变量范围的确定培养学
13、生敏锐的观察能力，是培养学生直觉思维的一种有效途径注5 本文主要讨论换元思想在常微分方程中的部分应用，并未一一列举，旨在通过这些应用从中体会该思想方法的妙用，这样对于培养学生解决数学问题能力方面具有非常重要的意义参考文献13 亢红道，罗开秀中学数学解题对策M昆明：云南大学出版社，2003：1062 何彩香，张嫒祥换元思想在解高数题中的应用J大理学院学报2004(3)：87883 邵铭心谈可换元方程J数学通报，2001(6)43 王高雄，周之铭等常微分方程M北京：高教出版社，2006(第3版)万方数据万方数据浅谈常微分方程中的换元思想作者： 吴景珠作者单位： 周口师范学院数学系,河南周口,466001刊名： 高等数学研究英文刊名： STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS年，卷(期)： 2007，10(4)被引用次数： 0次参考文献(4条)1.亢红道.罗开秀 中学数学解题对策 20032.何彩香.张媛祥 换元思想在解高数题中的应用期刊论文-大理学院学报 2004(03)3.邵铭心 谈可换元方程期刊论文-数学通报 2001(06)4.王高雄.周之铭 常微分方程 2006本文链接：http:/
