1、 二分图可匹配集的拟阵性质摘要：二分图是计算机理论中的一种重要模型。提出了二分图可匹配集的概念，介绍了可匹配集的拟阵性质，并基于交替路径、增广路径、对称差等概念对拟阵性质予以证明。 . 关键词：二分图；匹配；可匹配集；拟阵；交替路径；增广路径；对称差 中图分类号：TP301.6 文献标识码： A 文章编号：1009-3044（2015）06-0093-02 Matroid in Bipartite Graphs YU Bin （School of Software Engineering， Tongji University， Shanghai 201804， China） Abstract：
2、 Bipartite graph is one of the most important model in graph theory. Bring forward the concept of matchable set in bipartite graphs， and prove the matroid property on it based on alternating path， augmenting path and symmetric difference. Key words： bipartite graph； match； matchable set； matroid； al
3、ternating path； augmenting path； symmetric difference 1 相关概念与术语 二分图（Bipartite Graph，BG）是图论中的一种特殊模型。令 G=（V，E）是一个无向图。若顶点集 V 可划分为两个互不相交的子集（X，Y），并且图中的每条边 ei=（xp，yq ）所连接的两个顶点 xp 和 yq 分别属于这两个不同的顶点集，即xpX，yqY，则称 G 为一个二分图；对于若干个顶点，如果它们全属于 X 或者全属于 Y，则我们称这若干个顶点位于 G 的同一侧，否则称它们位于 G 的不同侧。若 M 为 E 的一个子集，且 M 中任意两条边都不
4、连接于同一个顶点，则称 M 是 G 的一个匹配（Matching）；若存在边 e=（vx，vy ）M，我们称 vx 与 vy 在M 中匹配；对于 V 中的任意一个顶点 vi，若?ej M 满足 ej 连接于vi，则称 vi 被 M 覆盖。对于若干个位于同一侧的顶点，若存在一个匹配 M使得这些顶点均被其覆盖，则称这些顶点构成的集合 V为 G 的一个可匹配集。规定空集是任意二分图的一个可匹配集。 一条 G 中的 M-交替路径（M-Alternating Path of G）是指这样一条路径，其中的每一条边交替地属于或不属于匹配 M。一条 G 中的 M-增广路径（M-Augmenting Path
5、of G）是指这样一条 G 中的 M-交替路径，其两个端点均是没有被 M 覆盖的顶点。 对称差（Symmetric Difference）是一种二元集合操作。两个集合的对称差是只属于其中一个集合，而不属于另一个集合的元素形成的集合。集合 A 和 B 的对称差通常表示为 AB。根据定义，有 AB=（A-B） （B-A）= （A B）- （AB）。 一个拟阵是满足下列条件的一个序对 M=（S ，L）： 1）S 是一个有穷集合； 2）L 是 S 的一个非空子集簇，即 L 是由 S 的子集作为元素构成的集合，且非空； 3 ）如果 BL，并且 A 包含于 B，则有 A 属于L。如果 L 满足此性质，则称
6、之为遗传性； 4）如果AL ，BL 并且|B|A|，则有一定存在一个 xB-A ，使得集合 A并上x之后形成的集合仍属于 L，该性质称为交换性。 2 二分图可匹配集的拟阵性质描述与证明 对于一个序对MG=（ SG，LG），其中 SG 是某二分图 G 一侧的所有顶点形成的集合，即 SG=X 或 SG=Y，LG 是以所有该侧的可匹配集为元素构成的集合，我们证明 MG 是一个拟阵。 根据可匹配集的定义，MG 满足拟阵的 1）2）两个条件。由于匹配的子集依然是匹配，所以可匹配集的子集依然是可匹配集。MG 满足拟阵的条件 3）。 我们现在证明条件 4）。记 X1，X2 是 G 的两个可匹配集且|X1|X
7、2|， M1 与 M2 分别是覆盖了 X1 与 X2 的两个匹配。根据文献1，我们有如下引理。 引理 1. 令 M、N 是无向图G=（V，E）的两个匹配。G=（V，M N）仅包含以下几类连通分量： 1）孤立的点 2）包含偶数条边的环，环中的每条边交替地属于 M-N 及 N-M 3）路径，路径中的每条边交替地属于 M-N 及 N-M 证明：由于 M 与 N 均是 G 的匹配，因此 V 中的每个顶点至多与 N-M 中的一条边相连，同时至多与 M-N 中的一条边相连。 由于|X1|X2| ，可知 G=（V，MN）中必然包含至少一个连通分量，其是一条 G 中的 M2-增广路径。记 G=（V， E）为其中一个连通分量，可得 M2E为 G中的一个匹配，其覆盖了 X2 中所有的顶点，且覆盖了 X1-X2 中的某一个顶点。所以可得存在一个 xX1-X2，使得 X2x是一个可匹配集，即 X2x LG。 根据上述内容，我们得出如下定理。 定理 1. 序对 MG=（SG，LG）是一个拟阵。其中 SG 是某二分图 G 一侧的所有顶点形成的集合，LG 是以所有该侧的可匹配集为元素构成的集合。 3 结束语 作为贪心算法的理论基础，拟阵在计算机算法研究中有着重要的意义。证明二分图可匹配集的拟阵性质，有助于利用贪心算法解决其上的动态匹配问题2-3。
