1、1课时达标检测（三十八） 圆的方程小题对点练点点落实对点练(一) 圆的方程1已知圆 C的圆心是直线 x y10 与 x轴的交点，且圆 C与直线 x y30 相切，则圆 C的方程是( )A( x1) 2 y22 B( x1) 2 y28C( x1) 2 y22 D( x1) 2 y28解析：选 A 直线 x y10 与 x轴的交点为(1,0)根据题意，圆 C的圆心坐标为(1,0)因为圆与直线 x y30 相切，所以半径为圆心到切线的距离，即 r d ，| 1 0 3|12 12 2则圆的方程为( x1) 2 y22.故选 A.2(2018河北唐山模拟)圆 E经过三点 A(0,1)， B(2,0)
2、， C(0，1)，且圆心在 x轴的正半轴上，则圆 E的标准方程为( )A. 2 y2(x32) 254B. 2 y2(x34) 2516C. 2 y2(x34) 2516D. 2 y2(x34) 254解析：选 C 根据题意，设圆 E的圆心坐标为( a,0)(a0)，半径为 r，即圆的标准方程为( x a)2 y2 r2，则有Error! 解得 a ， r2 ，34 2516则圆 E的标准方程为 2 y2 .故选 C.(x34) 25163(2018河北邯郸联考)以( a,1)为圆心，且与两条直线 2x y40 与2x y60 同时相切的圆的标准方程为( )A( x1) 2( y1) 25B(
3、 x1) 2( y1) 25C( x1) 2 y25D x2( y1) 25解析：选 A 因为两平行直线 2x y40 与 2x y60 的距离为 d 2| 6 4|52.故所求圆的半径为 r ，所以圆心( a,1)到直线 2x y40 的距离为 ，5 5 5|2a 3|5即 a1 或 a4.又因为圆心( a,1)到直线 2x y60 的距离也为 r ，所以 a1.因5此所求圆的标准方程为( x1) 2( y1) 25.故选 A.4已知直线 l： x my40，若曲线 x2 y26 x2 y10 上存在两点 P， Q关于直线 l对称，则 m的值为( )A2 B2 C1 D1解析：选 D 因为曲
4、线 x2 y26 x2 y10 表示的是圆，其标准方程为( x3)2( y1) 29，若圆( x3) 2( y1) 29 上存在两点 P， Q关于直线 l对称，则直线l： x my40 过圆心(3,1)，所以3 m40，解得 m1.5已知 ABC的三个顶点的坐标分别为 A(2,3)， B(2，1)， C(6，1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为_解析：依题意，直线 AC的方程为 ，化为一般式方程为 x2 y40.点y 13 1 x 6 2 6O到直线 x2 y40 的距离 d 1.又因为| 4|5 455|OA| ，| OB| ，| OC| 2 2 32 13 2 2
5、1 2 5 62 1 2，所以原点为圆心的圆若与 ABC有唯一的公共点，则公共点为(0，1)或(6，1)，37故圆的半径为 1或 ，则圆的方程为 x2 y21 或 x2 y237.37答案： x2 y21 或 x2 y2376(2016天津高考)已知圆 C的圆心在 x轴的正半轴上，点 M(0， )在圆 C上，且5圆心到直线 2x y0 的距离为 ，则圆 C的方程为_455解析：因为圆 C的圆心在 x轴的正半轴上，设 C(a,0)，且 a0，所以圆心到直线2x y0 的距离 d ，解得 a2，2a5 455所以圆 C的半径 r| CM| 3，4 5所以圆 C的方程为( x2) 2 y29.答案：
6、( x2) 2 y29对点练(二) 与圆的方程有关的综合问题1(2018湖南长沙模拟)圆 x2 y22 x2 y10 上的点到直线 x y2 距离的最大值是( )A1 B2 2C1 D2222 23解析：选 A 将圆的方程化为( x1) 2( y1) 21，圆心坐标为(1,1)，半径为 1，则圆心到直线 x y2 的距离 d ，故圆上的点到直线 x y2 距离的最大值|1 1 2|2 2为 d1 1.22(2018广东七校联考)圆 x2 y22 x6 y10 关于直线 ax by30( a0， b0)对称，则 的最小值是( )1a 3bA2 B. 3203C4 D.163解析：选 D 由圆 x
7、2 y22 x6 y10 知其标准方程为( x1) 2( y3) 29，圆x2 y22 x6 y10 关于直线 ax by30( a0， b0)对称，该直线经过圆心(1,3)，即 a3 b30， a3 b3( a0， b0)， (a3 b) 1a 3b 13 (1a 3b) 13(1 3ab 3ba 9) ，当且仅当 ，即 a b 时取等号，故选 D.13(10 2 3ab3ba) 163 3ba 3ab 343(2018安徽安庆模拟)自圆 C：( x3) 2( y4) 24 外一点 P(x， y)引该圆的一条切线，切点为 Q， PQ的长度等于点 P到原点 O的距离，则点 P的轨迹方程为( )
8、A8 x6 y210 B8 x6 y210C6 x8 y210 D6 x8 y210解析：选 D 由题意得，圆心 C的坐标为(3，4)，半径 r2，如图因为| PQ| PO|，且 PQ CQ，所以| PO|2 r2| PC|2，所以x2 y24( x3) 2( y4) 2，即 6x8 y210，所以点 P的轨迹方程为 6x8 y210，故选 D.4已知 A(0,3 )， B ， P为圆 C： x2 y22 x上的任意一点，则 ABP面积的3 (32， 332)最大值为( )A. B. 33 32 3C2 D.23 23解析：选 A 化圆为标准方程得( x1) 2 y21，因为 A(0，3 )，
9、 B ，所以3 (32， 332)|AB| 3，直线 AB的方程为 x y3 ，所以圆心到直线 AB的(32 0)2 (332 33)2 3 34距离 d .又圆 C的半径为 1，所以圆 C上的点到直线 AB的最大距离为|3 33|4 3 1，故 ABP面积的最大值为 Smax ( 1)3 .312 3 33 325已知 A， B是圆 O： x2 y216 上的两点，且| AB|6，若以 AB的长为直径的圆 M恰好经过点 C(1，1)，则圆心 M的轨迹方程是_解析：设圆心 M坐标为( x， y)，则( x1) 2( y1) 2 2，即( x1) 2( y1)(|AB|2 )29.答案：( x1
10、) 2( y1) 296(2018北京东城区调研)当方程 x2 y2 kx2 y k20 所表示的圆的面积取最大值时，直线 y( k1) x2 的倾斜角 _.解析：由题意知，圆的半径 r 1，当半径 r取最大值时，12k2 4 4k2 124 3k2圆的面积最大，此时 k0， r1，所以直线方程为 y x2，则有 tan 1，又 0，)，故 .34答案：347已知平面区域Error!恰好被面积最小的圆 C：( x a)2( y b)2 r2及其内部所覆盖，则圆 C的方程为_解析：由题意知，此平面区域表示的是以 O(0,0)， P(4,0)， Q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的面积
11、最小的圆是其外接圆 OPQ为直角三角形，圆心为斜边 PQ的中点(2,1)，半径 r ，|PQ|2 5因此圆 C的方程为( x2) 2( y1) 25.答案：( x2) 2( y1) 25大题综合练迁移贯通1已知以点 P为圆心的圆经过点 A(1,0)和 B(3,4)，线段 AB的垂直平分线交圆 P于点 C和 D，且| CD|4 .10(1)求直线 CD的方程；(2)求圆 P的方程解：(1)由题意知，直线 AB的斜率 k1，中点坐标为(1,2)则直线 CD的方程为y2( x1)，即 x y30.(2)设圆心 P(a， b)，则由点 P在 CD上得 a b30.5又直径| CD|4 ，| PA|2
12、，10 10( a1) 2 b240.由解得Error!或Error!圆心 P(3,6)或 P(5，2)圆 P的方程为( x3) 2( y6) 240 或( x5) 2( y2) 240.2在平面直角坐标系 xOy中，已知圆心在第二象限，半径为 2 的圆 C与直线 y x2相切于坐标原点 O.(1)求圆 C的方程；(2)试探求 C上是否存在异于原点的点 Q，使 Q到定点 F(4,0) 的距离等于线段 OF的长？若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设圆 C的圆心为 C(a， b)，则圆 C的方程为( x a)2( y b)28.因为直线 y x与圆 C相切于原点 O，所以
13、O点在圆 C上，且 OC垂直于直线 y x，于是有Error! 解得Error! 或Error!由于点 C(a， b)在第二象限，故 a0，所以圆 C的方程为( x2) 2( y2) 28.(2)假设存在点 Q符合要求，设 Q(x， y)，则有Error! 解得 x 或 x0(舍去)45所以存在点 Q ，使 Q到定点 F(4,0)的距离等于线段 OF的长(45， 125)3已知圆 C过点 P(1,1)，且与圆 M：( x2) 2( y2) 2 r2(r0)关于直线x y20 对称(1)求圆 C的方程；(2)设 Q为圆 C上的一个动点，求 的最小值PQ MQ 解：(1)设圆心 C(a， b)，由已知得 M(2，2)，则Error! 解得Error!则圆 C的方程为 x2 y2 r2，将点 P的坐标代入得 r22，故圆 C的方程为 x2 y22.(2)设 Q(x， y)，则 x2 y22， ( x1， y1)( x2， y2)PQ MQ x2 y2 x y4 x y2.令 x cos ， y sin ，2 26所以 x y2 (sin cos )2PQ MQ 22sin 2，( 4)又 min1，sin( 4)所以 的最小值为4.PQ MQ
