1、1课时达标检测（三十六） 直线、平面垂直的判定与性质小题常考题点准解快解 小题常考题点准解快解1(2018广东广州模拟)设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A若 ， m ， n ，则 m nB若 m ， m n， n ，则 C若 m n， m ， n ，则 D若 ， m ， n ，则 m n解析：选 B 若 ， m ， n ，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 A 错误； m ， m n， n ，又 n ， ，故 B 正确；若 m n， m ， n ，则 与 的位置关系不确定，故 C 错误；若 ， m ， n ，则 m n 或 m， n 异面，故
2、D 错误故选 B.2(2018湖南一中月考)下列说法错误的是( )A两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直C如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直D如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行解析：选 D 如果两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线可以平行、相交、异面3.如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中， BAC90， BC1 AC，则 C1在底面 ABC 上的射影 H 必在( )A直线 AB 上B直线 BC 上C直线 AC 上D ABC 内部解析：选 A 连接 AC1(图略)，由 AC AB
3、， AC BC1，得 AC平面 ABC1. AC平面ABC，平面 ABC1平面 ABC. C1在平面 ABC 上的射影 H 必在两平面的交线 AB 上4(2018河北唐山模拟)如图，在正方形 ABCD 中， E、 F 分别是 BC、 CD 的中点， G是 EF 的中点，现在沿 AE、 AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B、 C、 D 三点重合，重合后的点记为 H，那么，在这个空间图形中必有( )2A AG平面 EFH B AH平面 EFHC HF平面 AEF D HG平面 AEF解析：选 B 根据折叠前、后 AH HE， AH HF 不变， AH平面 EFH，B 正确；过A 只
4、有一条直线与平面 EFH 垂直，A 不正确； AG EF， EF GH， AG GH G， EF平面 HAG，又 EF平面 AEF， 平面 HAG AEF，过点 H 作直线垂直于平面 AEF，一定在平面HAG 内，C 不正确；由条件证不出 HG平面 AEF，D 不正确故选 B.5.如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱长为2， AC BC1， ACB90， D 是 A1B1的中点， F 是 BB1上的动点，AB1， DF 交于点 E.要使 AB1平面 C1DF，则线段 B1F 的长为( )A. B112C. D232解析：选 A 设 B1F x，因为 AB1平面 C1DF， DF平面 C
5、1DF，所以 AB1 DF.由已知可得 A1B1 ，设 Rt AA1B1斜边 AB1上的高为 h，则 DE h.212又 2 h ，所以 h ， DE .2 22 2 2233 33在 Rt DB1E 中， B1E .(22)2 (33)2 66由面积相等得 x，得 x .66 x2 (22)2 22 126.如图，已知 BAC90， PC平面 ABC，则在 ABC， PAC 的边所在的直线中，与 PC 垂直的直线是_；与 AP 垂直的直线是_解析： PC平面 ABC， PC 垂直于直线 AB， BC， AC. AB AC， AB PC， AC PC C， AB平面 PAC，又 AP平面 PA
6、C， AB AP，与 AP 垂直的直线是 AB.3答案： AB， BC， AC AB7.如图所示，在四棱锥 PABCD 中， PA底面 ABCD，且底面各边都相等， M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：如图，连接 AC， BD，则 AC BD， PA底面 ABCD， PA BD.又 PA AC A， BD平面 PAC， BD PC，当 DM PC(或 BM PC)时，即有 PC平面 MBD.而 PC平面 PCD，平面 MBD平面 PCD.答案： DM PC(或 BM PC 等)8.(2018福建泉州模拟)如图，一张
7、A4 纸的长、宽分别为2 a，2 a， A， B， C， D 分别是其四条边的中点现将其沿图中虚线2折起，使得 P1， P2， P3， P4四点重合为一点 P，从而得到一个多面体下列关于该多面体的命题，正确的是_(写出所有正确命题的序号)该多面体是三棱锥；平面 BAD平面 BCD；平面 BAC平面 ACD；该多面体外接球的表面积为 5 a2.解析：由题意得该多面体是一个三棱锥，故正确； AP BP， AP CP， BP CP P， AP平面 BCD，又 AP平面 ABD，平面 BAD平面BCD，故正确；同理可证平面 BAC平面 ACD，故正确；该多面体的外接球半径R a，所以该多面体外接球的表
8、面积为 5 a2，故正确综上，正确命题的序号为52.答案：大题常考题点稳解全解1.如图，四棱锥 PABCD 中， AP平面PCD， AD BC， AB BC AD， E， F 分别为线段 AD， PC 的中点求12证：4(1)AP平面 BEF；(2)BE平面 PAC.证明：(1)设 AC BE O，连接 OF， EC，如图所示由于 E 为 AD 的中点， AB BC AD， AD BC，12所以 AE BC， AE AB BC，因此四边形 ABCE 为菱形，所以 O 为 AC 的中点又 F 为 PC 的中点，因此在 PAC 中，可得 AP OF.又 OF平面 BEF， AP平面 BEF.所以
9、AP平面 BEF.(2)由题意知 ED BC， ED BC.所以四边形 BCDE 为平行四边形，因此 BE CD.又 AP平面 PCD，所以 AP CD，因此 AP BE.因为四边形 ABCE 为菱形，所以 BE AC.又 AP AC A， AP， AC平面 PAC，所以 BE平面 PAC.2.(2018广州模拟)在三棱锥 P ABC 中， PAB 是等边三角形， APC BPC60.(1)求证： AB PC；(2)若 PB4， BE PC，求三棱锥 B PAE 的体积解：(1)证明：因为 PAB 是等边三角形， APC BPC60，所以 PBC PAC，所以 AC BC.如图，取 AB 的中
10、点 D，连接 PD， CD，则 PD AB， CD AB，因为 PD CD D，所以 AB平面 PDC，因为 PC平面 PDC，所以 AB PC.(2)由(1)知， AB PC，又 BE PC， AB BE B，所以 PC平面 ABE，所以 PC AE.因为 PB4，所以在 Rt PEB 中， BE4sin 602 ， PE4cos 602，在 Rt3PEA 中， AE PEtan 602 ，3所以 AE BE2 ，3所以 S ABE AB 4 .12 BE2 (12AB)2 25所以三棱锥 B PAE 的体积 VB PAE VP ABE S AEBPE 4 2 .13 13 2 8233(2
11、018合肥质检)如图，平面五边形 ABCDE 中， AB CE，且 AE2， AEC60，CD ED ，cos EDC .将 CDE 沿 CE 折起，使点 D 到 P 的位置，且 AP ，得到四棱757 3锥 P ABCE.(1)求证： AP平面 ABCE；(2)记平面 PAB 与平面 PCE 相交于直线 l，求证： AB l.证明：(1)在 CDE 中， CD ED ，cos EDC ，由余弦定理得 CE2.连接757AC(图略)， AE2， AEC60， AC2.又 AP ，在 PAE 中， PA2 AE2 PE2，3即 AP AE.同理， AP AC.而 AC平面 ABCE， AE平面
12、ABCE， AC AE A，故 AP平面 ABCE.(2) AB CE，且 CE平面 PCE， AB平面 PCE， AB平面 PCE.又平面 PAB平面PCE l， AB l.4.(2018山西省重点中学联考)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，且 AB BC， E， F 分别在线段 AB， CD 上， G， H 在线段 PC 上，2EF PA，且 .求证：BEBA DFDC PGPC CHCP 14(1)EH平面 PAD；(2)平面 EFG平面 PAC.证明：(1)如图，在 PD 上取点 M，使得 ，连接 AM， MH，DMDP 14则 ，所以 MH DC， MH CD
13、，DMDP CHCP 14 34又 AE AB，四边形 ABCD 是矩形，34所以 MH AE， MH AE，所以四边形 AEHM 为平行四边形，所以 EH AM，又 AM平面 PAD， EH平面 PAD，所以 EH平面 PAD.(2)取 AB 的中点 N，连接 DN，则 NE DF， NE DF，6则四边形 NEFD 为平行四边形，则 DN EF，在 DAN 和 CDA 中， DAN CDA， ，ANDA 12 DACD则 DAN CDA，则 ADN DCA，则 DN AC，则 EF AC，又 EF PA， AC PA A，所以 EF平面 PAC，又 EF平面 EFG，所以平面 EFG平面
14、PAC.5.(2018福州五校联考)如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面 ABB1A1是矩形， BAC90， AA1 BC， AA1 AC2 AB4，且BC1 A1C.(1)求证：平面 ABC1平面 A1ACC1；(2)设 D 是 A1C1的中点，判断并证明在线段 BB1上是否存在点 E，使得 DE平面 ABC1.若存在，求三棱锥 E ABC1的体积解：(1)在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面 ABB1A1是矩形， AA1 AB，又 AA1 BC， AB BC B， A1A平面 ABC， A1A AC，又A1A AC， A1C AC1.又 BC1 A1C， BC1 AC1 C1， A1C平面 ABC1，又 A1C平面 A1ACC1，平面 ABC1平面 A1ACC1.(2)当 E 为 B1B 的中点时，连接 AE， EC1， DE，如图，取 A1A 的中点F，连接 EF， FD， EF AB， DF AC1，又 EF DF F， AB AC1 A，平面 EFD平面 ABC1，又 DE平面 EFD， DE平面 ABC1.此时 VE ABC1 VC1 ABE 224 .13 12 83
