1、第 1 页（共 28 页）2015 中考数学真题分类汇编：一元二次方程根与系数的关系一选择题（共 10 小题）1（2015金华）一元二次方程 x2+4x3=0 的两根为 x1、x 2，则 x1x2 的值是（ ）A 4 B 4 C 3 D 32（2015枣庄）已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0 的两个实数根分别为x1=2，x 2=4，则 m+n 的值是（ ）A 10 B 10 C 6 D 23（2015黔东南州）设 x1，x 2 是一元二次方程 x22x3=0 的两根，则 x12+x22=（ ）A 6 B 8 C 10 D 124（2015衡阳）若关于 x 的方程 x2+3x+a=
2、0 有一个根为1，则另一个根为（ ）A 2 B 2 C 4 D 35（2015南充）关于 x 的一元二次方程 x2+2mx+2n=0 有两个整数根且乘积为正，关于 y 的一元二次方程 y2+2ny+2m=0 同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：这两个方程的根都负根； （m1） 2+（n1） 22； 12m2n1，其中正确结论的个数是（ ）A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个6（2015广西）已知实数 x1，x 2 满足 x1+x2=7，x 1x2=12，则以 x1，x 2 为根的一元二次方程是（ ）A x27x+12=0 B x2+7x+12=0 C x2+7x12=0 D
3、x27x12=07（2014防城港） x1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 x2mx+m2=0 的两个实数根，是否存在实数 m 使 + =0 成立？则正确的结论是（ ）A m=0 时成立 B m=2 时成立 C m=0 或 2 时成立 D 不存在8（2014呼和浩特）已知函数 y= 的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点 B（b，c +1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2+bx+c=0 的两根 x1，x 2 判断正确的是（ ）A x1+x21，x 1x20第 2 页（共 28 页）B x1+x20，x 1x20C 0x 1+x21，x 1x20D x1+x2
4、与 x1x2 的符号都不确定9（2014烟台）关于 x 的方程 x2ax+2a=0 的两根的平方和是 5，则 a 的值是（ ）A 1 或 5 B 1 C 5 D 110（2014攀枝花）若方程 x2+x1=0 的两实根为 、，那么下列说法不正确的是（ ）A +=1 B =1 C 2+2=3 D + =1二填空题（共 10 小题）11（2015荆州）若 m，n 是方程 x2+x1=0 的两个实数根，则 m2+2m+n 的值为 12（2015日照）如果 m，n 是两个不相等的实数，且满足 m2m=3，n 2n=3，那么代数式 2n2mn+2m+2015= 13（2015内江）已知关于 x 的方程
5、x26x+k=0 的两根分别是 x1，x 2，且满足+ =3，则 k 的值是 14（2015凉山州）已知实数 m，n 满足 3m2+6m5=0，3n 2+6n5=0，且 mn，则 = 15（2015六盘水）已知 x1=3 是关于 x 的一元二次方程 x24x+c=0 的一个根，则方程的另一个根 x2 是 16（2015成都）如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 2 倍，则称这样的方程为“倍根方程” ，以下关于倍根方程的说法，正确的是 （写出所有正确说法的序号）方程 x2x2=0 是倍根方程若（x2）（ mx+n）=0 是倍根方程，则 4m2
6、+5mn+n2=0；第 3 页（共 28 页）若点（p，q）在反比例函数 y= 的图象上，则关于 x 的方程 px2+3x+q=0 的倍根方程；若方程 ax2+bx+c=0 是倍根方程，且相异两点 M（1+t，s），N（4 t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c 上，则方程 ax2+bx+c=0 的一个根为 17（2015西宁）若矩形的长和宽是方程 2x216x+m=0（0 m32）的两根，则矩形的周长为 18（2015赤峰）若关于 x 的一元二次方程 x2（a+5）x+8 a=0 的两个实数根分别为 2和 b，则 ab= 19（2014雅安）关于 x 的方程 x2（2m 1）x+ m21=0
7、 的两实数根为 x1，x 2，且x12+x22=3，则 m= 20（2014桂林）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2k+1 ）x+k 22=0 的两根为 x1 和x2，且（x 12）（x 1x2）=0，则 k 的值是 三解答题（共 10 小题）21（2014南充）已知关于 x 的一元二次方程 x22 x+m=0 有两个不相等的实数根（1）求实数 m 的最大整数值；（2）在（1）的条下，方程的实数根是 x1，x 2，求代数式 x12+x22x1x2 的值22（2014泸州）已知 x1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 x22（m+1 ）x+m 2+5=0 的两实数根（1）若（x 11）（
8、x 21）=28，求 m 的值；（2）已知等腰 ABC 的一边长为 7，若 x1，x 2 恰好是ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长23（2014怀化）设 m 是不小于1 的实数，使得关于 x 的方程 x2+2（m2 ）x+m23m+3=0 有两个不相等的实数根 x1，x 2（1）若 + =1，求 的值；（2）求 + m2 的最大值第 4 页（共 28 页）24（2013孝感）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k +1）x+k 2+2k=0 有两个实数根x1，x 2（1）求实数 k 的取值范围；（2）是否存在实数 k 使得 x1x2x12x220 成立？若存在，请求出 k 的值；若不
9、存在，请说明理由25（2013厦门）若 x1，x 2 是关于 x 的方程 x2+bx+c=0 的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k 是整数），则称方程 x2+bx+c=0 为“ 偶系二次方程”如方程x26x27=0，x 22x8=0，x 2+3x =0，x 2+6x27=0，x 2+4x+4=0，都是“ 偶系二次方程”（1）判断方程 x2+x12=0 是否是 “偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数 b，是否存在实数 c，使得关于 x 的方程 x2+bx+c=0 是“偶系二次方程”，并说明理由26（2013菏泽）已知：关于 x 的一元二次方程 kx2（4 k+1）x +
10、3k+3=0 （k 是整数）（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为 x1，x 2（其中 x1x 2），设 y=x2x12，判断 y 是否为变量 k 的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由27（2012鄂州）关于 x 的一元二次方程 x2（m3 ）xm 2=0（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为 x1，x 2，且|x 1|=|x2|2，求 m 的值及方程的根28（2012怀化）已知 x1，x 2 是一元二次方程（a 6） x2+2ax+a=0 的两个实数根（1）是否存在实数 a，使x 1+x1x2=4+x2 成立？若存
11、在，求出 a 的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x 1+1）（x 2+1）为负整数的实数 a 的整数值29（2012内江）如果方程 x2+px+q=0 的两个根是 x1，x 2，那么 x1+x2=p，x 1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于 x 的方程 x2+mx+n=0，（n0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知 a、b 满足 a215a5=0，b 215b5=0，求 的值；第 5 页（共 28 页）（3）已知 a、b、c 满足 a+b+c=0，abc=16，求正数 c 的最小值30（2011南充）关于 x 的一元二次方程 x
12、2+2x+k+1=0 的实数解是 x1 和 x2（1）求 k 的取值范围；（2）如果 x1+x2x1x21 且 k 为整数，求 k 的值2015 中考数学分化真题分类汇编：一元二次方程根与系数的关系参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题）1（2015金华）一元二次方程 x2+4x3=0 的两根为 x1、x 2，则 x1x2 的值是（ ）A 4 B 4 C 3 D 3考点： 根与系数的关系专题： 计算题分析： 根据根与系数的关系求解解答： 解：x 1x2=3故选 D点评： 本题考查了根与系数的关系：若二次项系数不为 1，则常用以下关系：x 1，x 2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0
13、）的两根时，x 1+x2= ，x 1x2= 2（2015枣庄）已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0 的两个实数根分别为x1=2，x 2=4，则 m+n 的值是（ ）A 10 B 10 C 6 D 2考点： 根与系数的关系分析： 根据根与系数的关系得出2+4= m，24= n，求出即可解答： 解：关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0 的两个实数根分别为 x1=2，x 2=4，2+4= m，24=n，解得：m=2，n= 8，m+n=10 ，故选 A点评： 本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出2+4=m，24=n 是解此题的关键第 6 页（共 28 页）3（2
14、015黔东南州）设 x1，x 2 是一元二次方程 x22x3=0 的两根，则 x12+x22=（ ）A 6 B 8 C 10 D 12考点： 根与系数的关系分析： 根据根与系数的关系得到 x1+x2=2，x 1x2=3，再变形 x12+x22 得到（x 1+x2）22x1x2，然后利用代入计算即可解答： 解：一元二次方程 x22x3=0 的两根是 x1、x 2，x 1+x2=2，x 1x2=3，x 12+x22=（x 1+x2） 22x1x2=222（3）=10 故选 C点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程的两根为 x1，x 2，则 x1+x2=
15、 ，x 1x2= 4（2015衡阳）若关于 x 的方程 x2+3x+a=0 有一个根为1，则另一个根为（ ）A 2 B 2 C 4 D 3考点： 根与系数的关系分析： 根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出 a 的值和另一根解答： 解：设一元二次方程的另一根为 x1，则根据一元二次方程根与系数的关系，得1+x 1=3，解得：x 1=2故选 A点评： 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程 ax2+bx+c=0 的两根为x1，x 2，则 x1+x2= ，x 1x2= 5（2015南充）关于 x 的一元二次方程 x2+2mx+2n=0 有两个整数根且乘积为正，关于 y 的
16、一元二次方程 y2+2ny+2m=0 同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：第 7 页（共 28 页）这两个方程的根都负根； （m1） 2+（n1） 22； 12m2n1，其中正确结论的个数是（ ）A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个考点： 根与系数的关系；根的判别式专题： 计算题分析： 根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数； 根据根的判别式，以及题意可以得出 m22n0 以及 n22m0，进而得解；可以采用举例反证的方法解决，据此即可得解解答： 解：两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x1x2=2n0 ， y1y2=2m0，y1+y2=2n0 ，x
17、1+x2=2m0 ，这两个方程的根都为负根，正确；由根判别式有：=b24ac=4m28n0，=b 24ac=4n28m0，4m28n=m22n0，4n 28m=n22m0，m22m+1+n22n+1=m22n+n22m+22，（m1） 2+（n1） 22，正确； y1+y2=2n，y 1y2=2m，2m 2n=y1+y2+y1y2，y 1 与 y2 都是负整数，不妨令 y1=3，y 2=5，则：2m2n=8+15=7，不在 1 与 1 之间，错误，其中正确的结论的个数是 2，故选 C点评： 本题主要考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的根的判别式，还考查了举例反证法，有一定的难度，注意总结6
18、（2015广西）已知实数 x1，x 2 满足 x1+x2=7，x 1x2=12，则以 x1，x 2 为根的一元二次方程是（ ）A x27x+12=0 B x2+7x+12=0 C x2+7x12=0 D x27x12=0第 8 页（共 28 页）考点： 根与系数的关系分析： 根据以 x1，x 2 为根的一元二次方程是 x2（x 1+x2）x+x 1，x 2=0，列出方程进行判断即可解答： 解：以 x1，x 2 为根的一元二次方程 x27x+12=0，故选：A点评： 本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握以 x1，x 2 为根的一元二次方程是 x2（x 1+x2）x +x1，x 2=0 是
19、具体点关键7（2014防城港） x1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 x2mx+m2=0 的两个实数根，是否存在实数 m 使 + =0 成立？则正确的结论是（ ）A m=0 时成立 B m=2 时成立 C m=0 或 2 时成立 D 不存在考点： 根与系数的关系分析： 先由一元二次方程根与系数的关系得出，x 1+x2=m，x 1x2=m2假设存在实数m 使 + =0 成立，则 =0，求出 m=0，再用判别式进行检验即可解答： 解：x 1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 x2mx+m2=0 的两个实数根，x 1+x2=m，x 1x2=m2假设存在实数 m 使 + =0 成立，则 =0，
20、=0，m=0 当 m=0 时，方程 x2mx+m2=0 即为 x22=0，此时=8 0，m=0 符合题意故选：A点评： 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果 x1，x 2 是方程 x2+px+q=0的两根时，那么 x1+x2=p，x 1x2=q第 9 页（共 28 页）8（2014呼和浩特）已知函数 y= 的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点 B（b，c +1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2+bx+c=0 的两根 x1，x 2 判断正确的是（ ）A x1+x21，x 1x20B x1+x20，x 1x20C 0x 1+x21，x 1x20D x1+x
21、2 与 x1x2 的符号都不确定考点： 根与系数的关系；反比例函数图象上点的坐标特征专题： 计算题分析： 根据点 A（a，c）在第一象限的一支曲线上，得出 a0 ，c 0 ，再点B（b，c+1 ）在该函数图象的另外一支上，得出 b0， c+10，再根据x1x2= ，x 1+x2= ，即可得出答案解答： 解：点 A（a，c）在第一象限的一支曲线上，a0，c0，ac=1，即 a= ，点 B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，即第二象限上，b0，c+10，b（c+1）=1，即 b= ，x 1x2= 0，x 1+x2= = ，0x 1+x21，故选：C 点评： 本题考查了根与系数的关系，掌握根与系
22、数的关系和各个象限点的特点是本题的关键；若 x1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0 ，a，b，c 为常数）的两个实数根，则 x1+x2= ，x 1x2= 9（2014烟台）关于 x 的方程 x2ax+2a=0 的两根的平方和是 5，则 a 的值是（ ）A 1 或 5 B 1 C 5 D 1考点： 根与系数的关系；根的判别式专题： 计算题第 10 页（共 28 页）分析： 设方程的两根为 x1，x 2，根据根与系数的关系得到 x1+x2=a，x 1x2=2a，由于x12+x22=5，变形得到（x 1+x2） 22x1x2=5，则 a24a5=0，然后解方程，满足0
23、的 a 的值为所求解答： 解：设方程的两根为 x1，x 2，则 x1+x2=a，x 1x2=2a，x 12+x22=5，（x 1+x2） 22x1x2=5，a 24a5=0，a 1=5，a 2=1，=a 28a0，a=1故选：D点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程的两根为 x1，x 2，则 x1+x2= ，x 1x2= 也考查了一元二次方程的根的判别式10（2014攀枝花）若方程 x2+x1=0 的两实根为 、，那么下列说法不正确的是（ ）A +=1 B =1 C 2+2=3 D + =1考点： 根与系数的关系专题： 计算题分析： 先根据根与系数
24、的关系得到 +=1，= 1，再利用完全平方公式变形 2+2 得到（+） 22，利用通分变形 + 得到 ，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断解答： 解：根据题意得 +=1，= 1所以 2+2=（+ ） 22=（1 ） 22（ 1）=3；+ = = =1故选：D第 11 页（共 28 页）点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程两个为 x1，x 2，则 x1+x2= ，x 1x2= 二填空题（共 10 小题）11（2015荆州）若 m，n 是方程 x2+x1=0 的两个实数根，则 m2+2m+n 的值为 0 考点： 根与
25、系数的关系；一元二次方程的解专题： 计算题分析： 由题意 m 为已知方程的解，把 x=m 代入方程求出 m2+m 的值，利用根与系数的关系求出 m+n 的值，原式变形后代入计算即可求出值解答： 解：m，n 是方程 x2+x1=0 的两个实数根，m+n=1，m 2+m=1，则原式=（m 2+m）+ （m+ n） =11=0，故答案为：0点评： 此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键12（2015日照）如果 m，n 是两个不相等的实数，且满足 m2m=3，n 2n=3，那么代数式 2n2mn+2m+2015= 2026 考点： 根与系数的关系分析： 由
26、于 m，n 是两个不相等的实数，且满足 m2m=3，n 2n=3，可知 m，n 是x2x3=0 的两个不相等的实数根则根据根与系数的关系可知：m+n=2 ，mn=3 ，又n2=n+3，利用它们可以化简 2n2mn+2m+2015=2（n+3 ）mn+2m+2015=2n+6mn+2m+2015=2（m+n）mn+2021 ，然后就可以求出所求的代数式的值解答： 解：由题意可知：m，n 是两个不相等的实数，且满足 m2m=3，n 2n=3，所以 m，n 是 x2x3=0 的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn= 3，又 n2=n+3，第 12 页（共 28 页）则 2n
27、2mn+2m+2015=2（n+3）mn+2m+2015=2n+6mn+2m+2015=2（m +n）mn+2021=21（ 3）+2021=2+3+2021=2026故答案为：2026点评： 本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值13（2015内江）已知关于 x 的方程 x26x+k=0 的两根分别是 x1，x 2，且满足+ =3，则 k 的值是 2 考点： 根与系数的关系分析： 找出一元二次方程的系数 a，b 及 c 的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两
28、根之积代入，即可求出所求式子的值解答： 解：3x 2+2x11=0 的两个解分别为 x1、x 2，x 1+x2=6，x 1x2=k，+ = = =3，解得：k=2，故答案为：2点评： 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键14（2015凉山州）已知实数 m，n 满足 3m2+6m5=0，3n 2+6n5=0，且 mn，则 = 考点： 根与系数的关系分析： 由 mn 时，得到 m，n 是方程 x22x1=0 的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解第 13 页（共 28 页）解答： 解：m n 时，则 m，n 是方程 3x26x5=0 的两个不相等的
29、根，m+n=2，mn = 原式= = = = ，故答案为： 点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：x 1，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x 1+x2= ，x 1x2= 15（2015六盘水）已知 x1=3 是关于 x 的一元二次方程 x24x+c=0 的一个根，则方程的另一个根 x2 是 1 考点： 根与系数的关系分析： 根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根解答： 解：设方程的另一个根是 x2，则：3+x2=4，解得 x=1，故另一个根是 1故答案为 1点评： 本题考查的是一元二次方程的解，根据根与系数的关
30、系，由两根之和可以求出方程的另一个根16（2015成都）如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 2 倍，则称这样的方程为“倍根方程” ，以下关于倍根方程的说法，正确的是 （写出所有正确说法的序号）方程 x2x2=0 是倍根方程若（x2）（ mx+n）=0 是倍根方程，则 4m2+5mn+n2=0；若点（p，q）在反比例函数 y= 的图象上，则关于 x 的方程 px2+3x+q=0 的倍根方程；若方程 ax2+bx+c=0 是倍根方程，且相异两点 M（1+t，s），N（4 t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c 上，则方程 ax2+bx+c=0
31、 的一个根为 第 14 页（共 28 页）考点： 根与系数的关系；根的判别式；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征专题： 新定义分析： 解方程 x2x2=0 得：x 1=2，x 2=1，得到方程 x2x2=0 不是倍根方程，故 错误；由（x2）（mx +n）=0 是倍根方程，且 x1=2，x 2= ，得到 =1，或=4，m+n= 于是得到 4m2+5mn+n2=（4m+1）（m+n）=0，故正确； 由点（p，q）在反比例函数 y= 的图象上，得到 pq=2，解方程 px2+3x+q=0 得：x 1= ，x 2=，故正确；由方程 ax2+bx+c=0 是倍根方程，得到 x1=
32、2x2，由相异两点M（1+t，s），N（4 t，s）都在抛物线 y=ax2+bx+c 上，得到抛物线的对称轴 x= = = ，于是求出 x1= ，故错误解答： 解：解方程 x2x2=0 得：x 1=2，x 2=1，方程 x2x2=0 不是倍根方程，故 错误； （x2）（ mx+n）=0 是倍根方程，且 x1=2，x 2= ， =1，或 =4，m+n=0，4 m+n=0，4m 2+5mn+n2=（4 m+n）（ m+n）=0，故 正确； 点（p，q）在反比例函数 y= 的图象上，pq=2，解方程 px2+3x+q=0 得：x 1= ，x 2= ，x 2=2x1，故正确； 方程 ax2+bx+c=
33、0 是倍根方程，设 x1=2x2，相异两点 M（1+t，s），N（4t，s）都在抛物线 y=ax2+bx+c 上，第 15 页（共 28 页）抛物线的对称轴 x= = = ，x 1+x2=5，x 1+2x1=5，x 1= ，故错误故答案为：点评： 本题考查了根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键17（2015西宁）若矩形的长和宽是方程 2x216x+m=0（0 m32）的两根，则矩形的周长为 16 考点： 根与系数的关系；矩形的性质分析： 设矩形的长和宽分别为 x、y，由矩形的长和宽是方程2x216x+m=
34、0（0m32 ）的两个根，根据一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系得到 x+y=8；xy=，然后利用矩形的性质易求得到它的周长解答： 解：设矩形的长和宽分别为 x、y，根据题意得 x+y=8；所以矩形的周长=2（x +y）=16故答案为：16点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为 x1，x 2，则 x1+x2= ，x 1x2= 也考查了矩形的性质18（2015赤峰）若关于 x 的一元二次方程 x2（a+5）x+8 a=0 的两个实数根分别为 2和 b，则 ab= 4 考点： 根与系数的关系分析： 根据根与系数的关系
35、得到 ，通过解该方程组可以求得 a、b 的值解答： 解：关于 x 的一元二次方程 x2（a+5）x+8a=0 的两个实数根分别是 2、b，由韦达定理，得 ，解得， ab=14=4故答案是：4第 16 页（共 28 页）点评： 本题考查了根与系数的关系x 1，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x 1+x2= ，x 1x2= ，反过来也成立，即 =（x 1+x2）， =x1x219（2014雅安）关于 x 的方程 x2（2m 1）x+ m21=0 的两实数根为 x1，x 2，且x12+x22=3，则 m= 0 考点： 根与系数的关系；根的判别式专题： 计算题分析： 根据
36、方程 x2（2m1）x+m 21=0 的两实数根为 x1，x 2，得出 x1+x2 与 x1x2 的值，再根据 x12+x22=3，即可求出 m 的值解答： 解：方程 x2（2m 1）x+m 21=0 的两实数根为 x1，x 2，x 1+x2=2m1，x 1x2=m21，x 12+x22=（x 1+x2） 22x1x2=（2m 1） 22（m 21）=3，解得：m 1=0，m 2=2，方程有两实数根，=（2m1） 24（m 21）0，即 mm 2=2（不合题意，舍去），m=0 ；故答案为：0点评： 本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键掌握 x1，x 2 是方程 x2+px+q=
37、0 的两根时，x 1+x2=p，x 1x2=q20（2014桂林）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2k+1 ）x+k 22=0 的两根为 x1 和x2，且（x 12）（x 1x2）=0，则 k 的值是 2 或 考点： 根与系数的关系；根的判别式分析： 先由（x 12）（x 1x2）=0，得出 x12=0 或 x1x2=0，再分两种情况进行讨论：如果 x12=0，将 x=2 代入 x2+（2 k+1）x+k 22=0，得 4+2（2 k+1）+k 22=0，解方程求出第 17 页（共 28 页）k=2；如果 x1x2=0，那么将 x1+x2=（2k+1），x 1x2=k22 代入可求出 k
38、 的值，再根据判别式进行检验解答： 解：（x 12）（x 1x2）=0，x 12=0 或 x1x2=0如果 x12=0，那么 x1=2，将 x=2 代入 x2+（2 k+1）x +k22=0，得 4+2（ 2k+1）+k 22=0，整理，得 k2+4k+4=0，解得 k=2；如果 x1x2=0，那么（x 1x2） 2=（x 1+x2） 24x1x2=（2k +1） 24（k 22） =4k+9=0，解得 k= 又=（2k+1） 24（k 22） 0解得：k 所以 k 的值为 2 或 故答案为：2 或 点评： 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判
39、别式进行检验三解答题（共 10 小题）21（2014南充）已知关于 x 的一元二次方程 x22 x+m=0 有两个不相等的实数根（1）求实数 m 的最大整数值；（2）在（1）的条下，方程的实数根是 x1，x 2，求代数式 x12+x22x1x2 的值考点： 根与系数的关系；根的判别式专题： 代数综合题分析： （1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式=b 24ac0，建立关于m 的不等式，求出 m 的取值范围，进而得出 m 的最大整数值；第 18 页（共 28 页）（2）根据（1）可知：m=1，继而可得一元二次方程为 x22 x+1=0，根据根与系数的关系，可得 x1+x2=2 ，x 1
40、x2=1，再将 x12+x22x1x2 变形为（x 1+x2） 23x1x2，则可求得答案解答： 解：一元二次方程 x22 x+m=0 有两个不相等的实数根，=84m0，解得 m2，故整数 m 的最大值为 1；（2）m=1，此一元二次方程为：x 22 x+1=0，x 1+x2=2 ，x 1x2=1，x 12+x22x1x2=（x 1+x2） 23x1x2=83=5点评： 此题考查了一元二次方程根与系数的关系与根的判别式此题难度不大，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根掌握根与系数的关系：x
41、 1，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x 1+x2=，x 1x2= 22（2014泸州）已知 x1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 x22（m+1 ）x+m 2+5=0 的两实数根（1）若（x 11）（x 21）=28，求 m 的值；（2）已知等腰 ABC 的一边长为 7，若 x1，x 2 恰好是ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长考点： 根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质专题： 代数几何综合题分析： （1）利用（x 11）（x 21）= x1x2（x 1+x2）+1=m 2+52（m+1）+1=28，求得 m的值即可；（2）分 7 为底边
42、和 7 为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长解答： 解：（1）x 1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 x22（m+1）x+m 2+5=0 的两实数根，第 19 页（共 28 页）x 1+x2=2（m+1），x 1x2=m2+5，（x 11）（x 21）=x 1x2（x 1+x2）+1=m 2+52（m+1）+1=28，解得：m=4 或 m=6；当 m=4 时原方程无解，m=6 ；（2） 当 7 为底边时，此时方程 x22（m+1 ）x+m 2+5=0 有两个相等的实数根，=4（m+1 ） 24（m 2+5）=0，解得：m=2，方程变为 x26x+9=0，解得：x 1=x2=3，3+
43、3 7，不能构成三角形；当 7 为腰时，设 x1=7，代入方程得：49 14（m+1）+m 2+5=0，解得：m=10 或 4，当 m=10 时方程变为 x222x+105=0，解得：x=7 或 157+7 15，不能组成三角形；当 m=4 时方程变为 x210x+21=0，解得：x=3 或 7，此时三角形的周长为 7+7+3=17点评： 本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系23（2014怀化）设 m 是不小于1 的实数，使得关于 x 的方程 x2+2（m2 ）x+m23m+3=0 有两个不相等的实数根 x1，x 2（1）若 + =1，
44、求 的值；第 20 页（共 28 页）（2）求 + m2 的最大值考点： 根与系数的关系；根的判别式；二次函数的最值专题： 代数综合题分析： （1）首先根据根的判别式求出 m 的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的 m 的值；（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合 m 的取值范围求出代数式的最大值解答： 解：方程有两个不相等的实数根，=b 24ac=4（m 2） 24（m 23m+3）= 4m+40，m1，结合题意知：1 m1 （1）x 1+x2=2（m2），x 1x2=m23m+3， + = = =1解得：m 1= ，m 2= （不合题意，舍去） = 2（2
45、） + m2= m2=2（m1）m 2=（m+1） 2+3当 m=1 时，最大值为 3点评： 此题考查根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式=b 24ac 来求出 m 的取值范围；解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x 1+x2= ，x 1x2= 24（2013孝感）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k +1）x+k 2+2k=0 有两个实数根x1，x 2第 21 页（共 28 页）（1）求实数 k 的取值范围；（2）是否存在实数 k 使得 x1x2x12x220 成立？若存在，请求出 k 的值；若不存在，请说明理由考点： 根与系数的关系；根的判别式专题： 压轴题分析： （1
46、）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式0，据此列出关于 k 的不等式 （2k+1） 24（k 2+2k）0，通过解该不等式即可求得 k 的取值范围；（2）假设存在实数 k 使得 0 成立利用根与系数的关系可以求得 ，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式 0，通过解不等式可以求得k 的值解答： 解：（1）原方程有两个实数根，（2k+1 ） 24（k 2+2k）0，4k 2+4k+14k28k014 k0，k 当 k 时，原方程有两个实数根（2）假设存在实数 k 使得 0 成立x 1，x 2 是原方程的两根， 由 0，得 03（k 2+2k）（2k +1） 20，整理得： （k1） 20，只有当 k=1 时，上式
