1、1中考必做的 36 道压轴题及变式训练第一题夯实双基“步步高”，强化条件是“路标”例 1(北京，23,7 分)在平面直角坐标系 O 中，抛物线xy（ ）与 轴交于点 A，其对称轴与 轴交于点 B22mxy0x（1）求点 A， B 的坐标；（2）设直线 与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线 的解析式；l l（3）若该抛物线在 这一段位于直线 的上方，并且在 这一段位12xl 32x于直线 AB 的下方，求该抛物线的解析式解 （1 ）当 x 0 时， y 2 . A（ 0， 2）抛物线 对 称 轴为 x ，1m B（ 1， 0）（2） 易得 A 点关 于对 称轴 的 对称点 为 A（ 2
2、， 2）则直线 l 经过 A 、 B .没直线 的解 析式 为 y kx b则 解得2,0.kb2,.直 线 的解 析式 为 y2 x 2（3） 抛 物线 对称 轴为 x 1抛物体 在2 x3 这一段 与在 1x 0 这一 段关于 对称 轴对 称，结合图 象可 以观 察到 抛物线在 2x 1这一段 位于 直线 l 的上 方， 在 1 x0 这一 段位 于直 线 l 的下方抛 物 线与 直线 l 的交 点横 坐标为 1 ；2当 x 1 时， y2 x( 1) 2 4则抛物 线过 点（ 1，4 ）当 x 1 时， m2 m 24 ， m 2抛 物 线解 析为 y2 x2 4 x2 . 连接（江苏南
3、京，26 ，9 分）已知二次函数 y a（ x m） 2 a（ x m）（ a、 m 为常数，且 a0）.（1）求证：不论 a 与 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为 C.与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 D.当 ABC 的面积等于 1 时，求 a 的值；当 ABC 的面积与 ABD 的面积相等时，求 m 的值.【答案】（1）证明： y a（ x m） 2 a（ x m） ax2（2 am a） x am2 am.因为当 a0时，（2 am a） 24 a（ am2 am） a20.所以，方程 ax2（2 am a） x am2 am
4、0 有两个不相等的实数根.所以，不论 a 与 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点. 3 分（2）解： y a（ x m） 2 a（ x m） a（ x ） 2 ，14a所以，点 C 的坐标为（ ， ）.14当 y0 时， a（ x m） 2 a（ x m）0.解得 x1 m， x2 m1.所以 AB1.当 ABC 的面积等于 1 时， 1 1.4所以 1（ ）1 ，或 1 1.214a2a所以 a8 ，或 a8.当 x0 时， y am2 am.所以点 D 的坐标为（0， am2 am）.当ABC 的面积与 ABD的面积相等时，31 1214a21am21（ ）= 1（ am2
5、am），或 1 = 1（ am2 am）.214a所以 m ，或 m ，或 m .9 分21变式: （北京，23 ，7 分）已知二次函数 在 和 时的函23(1)()2ytxtx02x数值相等。（1） 求二次函数的解析式；（2） 若一次函数 的图象与二次函数的图象都经过点 ，求 和 的值；6ykx(3)Am，k（3） 设二次函数的图象与 轴交于点 （点 在点 的左侧），将二次函数的图象BC，在点 间的部分（含点 和点 ）向左平移 个单位后得到的图象记为 ，同时将BC，B(0)nG（2）中得到的直线 向上平移 个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图6ykx象有公共点时， 的取值范围。Gn【答
6、案】（1）方法一：二次函数 在 和23(1)()2ytxtx0时的函数值相等2x .334(1)()tt .2这个二次函数的解析式是 213yx方法二：由题意可知：二次函数图象的对称轴为 1x则 ()12t .3t这个二次函数的解析式是.213yx（2）二次函数的图象过 点.(,)Am .213()6m4又 一次函数 的图象经过点6ykxA 3k 4（3）令 2130yx解得： 1由题意知，点 B、C 间的部分图象的解析式为 ，（ ）.1(3)2yx13x则向左平移后得到图象 G 的解析式为： ，（n）.13nxn此时平移后的一次函数的解析式为 .46yx若平移后的直线 与平移后的抛物线 相切
7、.46yx1(3)(1)2yxn则 有两个相等的实数根。146(3)(1)2xnn即一元二次方程 有两个相等的实数的根。290x判别式=2(3)4()nn解得： 与 矛盾.0平移后的直线 与平移后的抛物线 不相切.46yxn1(3)(1)2yxn结合图象可知，如果平移后的直线与图象 G 有公共点，则两个临界交点为 和(,0)n.(3,0)n则 ，解得：4(1)6023n，解得： 623n第 2 题 “弓形问题”再相逢，“殊途同归”快突破（例题）（湖南湘潭，26，10 分） 如图，抛物线 的图象与 轴)0(232axayx交于 、 两点，与 轴交于 点，已知 点坐标为 .AByCB0,4（1）求
8、抛物线的解析式；（2）试探究 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点 是线段 下方的抛物线上一点，求 的面积的最大值，并求出此MMC时 点的坐标.5【答案】解：（1）将 B（4， 0）代入 中，得：)0(232axay 21a抛物线的解析式为： 1（2）当 时，解得 ，2312x41x12A点坐标为（1，0），则 OA=1当 x=0 时， 2yC点坐标为（ 0,2），则 OC=2在 RtAOC 与 RtCOB 中， 21OBCARtAOCRtCOBACO=CBOACB=ACO+OCB=CBO+OCB=90那么 ABC 为直角三角形所以 ABC 的外接圆的圆心为 AB 中点，其坐标为（1
9、.5， 0）（3）连接 OM.设 M 点坐标为（ x， ）2312x则 OBCOBCS S= 4212)321(4xx= )x当 x=2 时， MBC 的面积有最大值为 4， M 的坐标为（2，3）变式（安徽芜湖 24）面直角坐标系中， ABOC 如图放置，点A、C 的坐标分别为（0，3）、（-1，0），将此平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90，得到ABOC（1）若抛物线过点 C，A，A，求此抛物线的解析式；6（2） ABOC 和ABOC 重叠部分 OCD的周长；（3）点 M 是第一象限内抛物线上的一动点，问：点 M 在何处时AMA的面积最大？最大面积是多少？并求出此时 M 的坐标第三题“模式
10、识别”记心头，看似“并列”“递进”（例题）23（河南，23 ，11 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 12yx与抛物线 23yaxb交于 A、 B 两点，点 A 在 x轴上，点 B 的纵坐标为 3点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点（ 不与 A、 B 重合），过点 P 作 轴的垂线交直线 AB 与点C，作 PD AB 于点 D（1）求 a、 b 及 sinCP的值；（2）设点 P 的横坐标为 m用含 的代数式表示线段 PD 的长，并求出线段 PD 长的最大值；连接 PB，线段 PC 把 PDB 分成两个三角形，是否存在适合的 值，使这两个三角形的面积之比为 9:10?若存在，直接写出
11、m值；若不存在，说明理由【答案】（1）由 102x，得 2,x (,0)A由 3，得 4, (3)B 2yaxb经过 A两点， 1,2ab2-=+4ba设直线 AB 与 轴交于点 E，则 (0,1)PC 轴， PO.第 23 题图BCDxOPAy7 25sinsiOAACPE（2）由 可知抛物线的解析式为 13yx 21(,3),()2mm22( 4PC在 RtDA中， sinPCAP215()59.m 50当 1时， PD有最大值 5存在满足条件的 值， 329或【提示】分别过点 D、 B 作 DF PC， BG PC，垂足分别为 F、 G在 tRPFA中， 21(8).5Pm又 4,Gm2
12、(8)545PCDBSA当 910PCA时，解得 m；当 25DBSm时，解得 329变式一 27（江苏泰州，27，12 分）已知：二次函数 y=x2 bx3 的图像经过点P（2,5）（1）求 b 的值，并写出当 1 x3时 y 的取值范围；（2）设点 P1（ m,y1）、 P2（ m+1,y2）、 P3(m+2,y3)在这个二次函数的图像上当 m=4 时， y1、 y2、 y3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；当 m 取不小于 5 的任意实数时， y1、 y2、 y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明8理由【答案】解：（1）把点 P 代入二次函数解析式得 5= （2） 22b3
13、 ，解得 b=2.当 1x3 时 y 的取值范围为4 y0.（2）m=4 时，y 1、y 2、y 3的值分别为 5、12 、21，由于 5+1221，不能成为三角形的三边长当 m 取不小于 5 的任意实数时，y 1、y 2、y 3的值分别为m22m 3、m 24、m 22m3，由于， m22m 3m 24m 22m3，（m2） 280，当 m 不小于 5 时成立，即 y1y 2y 3成立所以当 m 取不小于 5 的任意实数时，y 1、y 2、y 3一定能作为同一个三角形三边的长，变式二（重庆 B 卷，25，10 分）如图，已知抛物线 的图像与 x 轴的一个cbxy2交点为 B（5 ， 0），另
14、一个交点为 A，且与 y 轴交于点 C(0，5).（1）求直线 BC 与抛物线的解析式；（2）若点 M 是抛物线在 x 轴下方图像上的一动点，过点 M 作 MN/y 轴交直线 BC 于点N，求 MN 的最大值；（3）在（ 2）的条件下， MN 取得最大值时，若点 P 是抛物线在 x 轴下方图像上任意一点，以 BC 为边作平行四边形 CBPQ，设平行四边形 CBPQ 的面积为 ， ABN 的面积为 ，1S2S且 ，求点 P 的坐标.216S【答案】解：（1）设直线 BC 的解析式为 ，将 B（5 ，0）， C（0，5）代入有：nmxyyxOCA B9解得： 所以直线 BC 的解析式为50nm51
15、nm5xy再将 B（ 5，0）， C（0，5）代入抛物线 有：cbxy2解得： 所以抛物线的解析式为：2cb56c562xy（2）设 M 的坐标为（ x， ），则 N 的坐标为（ x， ），625MN= )5()(= x52当 时， MN 有最大值为42（3）当 时，解得 ，0562xy1x52故 A（1,0 ）， B（5,0），所以 AB=4由（2）可知， N 的坐标为（ ， ）25 52412S则 ，那么3061 15CBPS在 y 上取点 Q (-1，0)，可得 Q故 QPBC则直线 QP 的解析式为 1xy1PMMyxOCA BNMQ10当 时，解得 ，1562xx21x3所以 P 点
16、坐标为（ 2， ），（ ， ），34第四题“准线”“焦点”频现身，“居高临下”明“结构”（例题）（四川资阳，25，9 分）抛物线 的顶点在直线 上，过点 F214yxm3yx的直线交该抛物线于点 M、 N 两点（点 M 在点 N 的左边）， MA 轴于点(2,)A， NB 轴于点 Bx（1）(3 分)先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含 的代数式表示），再求的值；m（2）(3 分)设点 N 的横坐标为 ，试用含 的代数式表示点 N 的纵坐标，并说明aNF NB；（3）(3 分)若射线 NM 交 轴于点 P，且 PAPB ，求点 M 的坐标x109答案：解（1） 2211()(1)44yxm
17、x顶点坐标为( 2 , )顶点在直线 上，3 2+3= ，得 =21（2）点 N 在抛物线上，点 N 的纵坐标为 24a即点 N( , )1过点 F 作 FC NB 于点 C，在 RtFCN 中， FC= +2， NC=NB-CB= , a214a2NF2C=221()()4a21()()4（第 25 题图）11而 = 2NB21()4a221()(4)4aa ， NF=NBF（3）连结 AF、 BF由 NF=NB，得 NFB=NBF，由（2）的结论知，MF=MA， MAF=MFA,MA 轴， NB 轴， MANB,AMF+BNF=180xMAF 和 NFB 的内角总和为 360,2MAF+2
18、NBF=180， MAF+NBF=90,MAB+NBA=180， FBA+FAB=90又 FAB+MAF=90FBA=MAF=MFA 又 FPA=BPF， PFAPBF， ， = PFBA2PAB109过点 F 作 FG 轴于点 G,在 RtPFG 中， PG= = ， PO=PG+GO=x FG83，143P( , 0) 设直线 PF： ，把点 F（2 , 2）、点 P( , 0)代入 解得 =ykxb143ykxb， = ， 直线 PF：34b72374解方程 ，得 =3 或 =2（不合题意，舍去）12xxx当 =3 时， = ， M（3 , ）y55变式一 25已知抛物线 y=ax2+b
19、x+c（a0）顶点为 C（ 1，1 ）且过原点 O过抛物线上一点 P（x，y）向直线 y= 作垂线，垂足为 M，连 FM（如图）4（1）求字母 a，b，c 的值；（2）在直线 x=1 上有一点 F(1， )，求以 PM 为底边的等腰三3412角形 PFM 的 P 点的坐标，并证明此时PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点 P，是否总存在一点 N（1，t），使 PM=PN 恒成立？若存在请求出 t 值，若不存在请说明理由解：（1）抛物线 y=ax2+bx+c（a0 ）顶点为 C（1，1）且过原点 O，可得- =1， =1，c=0，2ba4cba=-1，b=2 ，c=0（2）由（ 1）知抛物
20、线的解析式为 y=-x2+2x，故设 P 点的坐标为（ m，-m 2+2m），则 M 点的坐标（m ， ），54PFM是以 PM 为底边的等腰三角形PF=MF，即（m-1） 2+（-m 2+2m- ） 2=（m-1） 2+（ - ） 234313-m2+2m- = 或-m 2+2m- =- ，341341当-m 2+2m- =时，即-4m 2+8m-5=0=64-80=-160此式无解当-m 2+2m- =- 时，即 m2-2m=-34114m=1+ 或 m=1-、当 m=1+ 时，P 点的坐标为（1+ ， ），M 点的坐标为（1+ ， ）3232143254、当 m=1- 时，P 点的坐标为
21、（ 1- ， ），M 点的坐标为（1- ， ），经过计算可知 PF=PM，MPF为正三角形，P点坐标为：（1+ ， ）或（1- ， ）32143214（3）当 t= 时，即 N 与 F 重合时 PM=PN 恒成立4证明：过 P 作 PH 与直线 x=1 的垂线，垂足为 H，在 RtPNH中，PN2=（x-1） 2+（t-y） 2=x2-2x+1+t2-2ty+y2，14PM2=（ -y） 2=y2- y+ ，54516P 是抛物线上的点，y=-x2+2x；PN2=1-y+t2-2ty+y2=y2- y+ ，5161-y+t2-2ty+y2=y2- y+ ，移项，合并同类项得：- y+2ty+
22、-t2=0，39y（2t- ）+（ -t2）=0 对任意 y 恒成立39162t- =0 且 -t2=0，t= ，故 t= 时，PM=PN 恒成立4存在这样的点变式二（山东潍坊，24，11 分）如图 12，已知抛物线与坐标轴分别交于 A（ ，0）、2B（2， 0）、 C（0， ）三点，过坐标原点 O 的直线 与抛物线交于 M、 N 两1ykx点分别过点 C、 D（0， ）作平行于 x 轴的直线 l1、 l22（1）求抛物线对应二次函数的解析式；（2）求证以 ON 为直径的圆与直线 l1相切；（3）求线段 MN 的长（用 k 表示），并证明 M、 N 两点到直线 l2的距离之和等于线段 MN 的
23、长【答案】解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为 ，2yaxbc由 ，解得 0421abc140ab图 12xyA BCDOMNl1l215所以 214yx（2）设 M（ x1， y1）， N（ x2， y2），因为点 M、 N 在抛物线上，所以 ， ，所以 ；214y2424(1)xy又 = = = ，ON2x2(1)y()所以 ON= ，又因为 y2 ，所以 ON= 2y设 ON 的中点为 E，分别过点 N、 E 向直线 l1作垂线，垂足为 P、 F，则 EF= = ，2OCP2y所以 ON=2EF，即 ON 的中点到直线 l1的距离等于 ON 长度的一半，所以以 ON 为直径的圆与直线
24、 l1相切（3）过点 M 作 MH NP 交 NP 于点 H，则= + ，22NH21()x21()y又 y1=kx1， y2=kx2，所以 = ，22kx所以 ；1()kx又因为点 M、 N 既在 y=kx 的图象上又在抛物线上，所以 ，即 ，214kx240xk所以 x = =2k ，2621所以 = ，21()2()所以 ，6MNk所以 MN= 24(1)延长 NP 交 l2于点 Q，过点 M 作 MS l2于点 S，16则 MS + NQ = = = ，12y21144x21()x又 = ，21x24()68kk所以 MS + NQ = = =MN2(1)即 M、 N 两点到直线 l2
25、的距离之和等于线段 MN 的长第五题末尾“浮云”遮望眼，“洞幽察微”深指向例题（浙江宁波，26，12 分）如图，二次函数 的图象交 x 轴于2yaxbcA（1 ，0）， B(2，0) ，交 y 轴于 C（0，2 ），过 A， C 画直线(1)求二次函数的解析式；(2)点 P 在 x 轴正半轴上，且 PA =PC，求 OP 的长；(3)点 M 在二次函数图象上，以 M 为圆心的圆与直线 AC 相切，切点为 H若 M 在 y 轴右侧，且 CHM AOC（点 C 与点 A 对应），求点 M 的坐标；若 M 的半径为 ，求点 M 的坐标45【答案】解：(1)设该二次函数的解析式为： (1)2yax将
26、x=0， y=2 代入，得 2= a(0+1)(02)解得 a=1抛物线的解析式为 ，即 (1)2yx2yx第 24 题xyA BCDOMNl1l2EPQFSH17(2)设 OP =x，则 PC=PA =x +1在 RtPOC 中，由勾股定理，得 22(1)x解得 ，即 32xOP(3) CHMAOC， MCH=CAO情形 1：如图，当 H 在点 C 下方时，MCH=CAO， CMx 轴， ， ，2My2x解得 x=0（舍去），或 x=1， M(1，2)情形 2：如图，当 H 在点 C 上方时MCH=CAO，由(2)：得， M为直线 CP 与抛物线的另一交点，设直线 CM的解析式为 y=kx2
27、把 P（ ，0）的坐标代入，得 ，3230k解得 ， 4kyx由 ，23x解得 x=0（舍去），或 x ，73此时 ， 109y10(,)9M18在 x 轴上取一点 D，过点 D 作 DE AC 于点 E，使 DE 45COA=DEA=90， OAC=EAD， ADEAOC， ，ADECO ，解得 AD=2452AD(1，0) 或 D（3，0 ）过点 D 作 DMAC，交抛物线于 M则直线 DM 的解析式为： 或 2yx26yx当 2x 6= x2 x2 时，方程无实数解当 2x+2 x2 x2 时，解得 12717,点 M 的坐标为 M 或 M(,3)17(,3)2变式一 25如图，抛物线
28、y= x2+x+3 与 x 轴相交于点 A、B ，与 y 轴相交于点 C，14顶点为点 D，对称轴 l 与直线 BC 相交于点 E，与 x轴相交于点 F（1）求直线 BC 的解析式；19（2）设点 P 为该抛物线上的一个动点，以点 P 为圆心，r 为半径作P当点 P 运动到点 D 时，若P 与直线 BC 相交，求 r 的取值范围；若 r= ，是否存在点 P 使P 与直线 BC 相切？若存在，请求出点 P 的坐标；若不45存在，请说明理由提示：抛物线 y=ax2+bx+x（a0）的顶点坐标（ ，2ba24c），对称轴 x= ba变式二 22（广东省， 20， 9 分）如图，抛物线 与 x 轴交于
29、 A、 B 两点，213=-9y与 y 轴交于点 C，连接 BC、 AC.(1)求 AB 和 OC 的长；(2)点 E 从点 A 出发，沿 x 轴向点 B 运动( 点 E 与点 A、 B 不重合) ，过点 E 作直线 l 平行于BC，交 AC 于点 D.设 AE 的长为 m， ADE 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，连接 CE，求 CDE 面积的最大值；此时，求出以点 E 为圆心，与 BC相切的圆的面积(结果保留 ).【答案】(1) 当 y=0 时， ，解得 x1= 3， x2=6.AB=|x1 x2|=| 36| =9.21
30、3-90x当 x=0 时， y=9. OC=9.(2)由(1)得 A(3,0)， B(6,0)， C(0,9)，20直线 BC 的解析式为 y= x9，直线 AC 的解析式为 y=3 x9.32AE 的长为 m， E(m 3,0).又 直线 l 平行于直线 BC，直线 l 的解析式为 y= x .2(-)m由 得 ，点 D( , m).39-()2yx9=3-xym93ADE 的面积为： S= AE|D 纵 |= (m 3)| m|= .(0 m9)1212213-(3)CDE 面积为： SACE SADE= ( )= = ，92-+219-(3)+当 m=3 时， CDE 面积的最大值为 .
31、此时，点 E(0,0).如图，作 OF BC 于 F， OB=6， OC=9，OF= = = .OBC269183以点 E 为圆心，与 BC 相切的圆的面积为： .21834()=第 6 题 分类讨论“程序化”，“分离抗扰”探本质例题（贵州遵义，27，14 分）已知抛物线 经过 A(3，0), B(4，1)两点，)0(32abxy且与 y 轴交于点 C。（1）求抛物线 的函数关系式及点 C 的坐标；)0(32abx（2）如图（ 1）,连接 AB，在题（1 ）中的抛物线上是否存在点 P，使 PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（
32、2）,连接 AC， E 为线段 AC 上任意一点（不与 A、 C 重合）经过 A、 E、 O 三点的圆交直线 AB 于点 F，当 OEF 的面积取得最小值时，求点 E 的坐标。21【答案】（1） 2(3,0)4,1y=ax+b3=9a+b62b=12(0,3)ABC、 代 入 中解 得 解 析 式 为 令 时 ， 点 坐 标 为（2）若 PAB=90，分别过 P、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 E、F 。图（1）易得APEBAF,且BAF 为等腰直角三角形，APE 为等腰直角三角形。22设 PE=a，则 P 点的坐标为（ a， a3）代入解析式3-a= 解得 a=0，或 a=3（与 A 重合
33、舍去）215P（ 0,3）若 PBA=90，如下图，直线与 x 轴交与点 D, 分别过 P、 B 作 x 轴的垂线，垂足分别为E、 F。由图可得 PED、 BAD 为等腰直角三角形，设 PE=a，则 DE=a， AB= ,所以2AD=2，则 P 点坐标为（ 5 a， a） 代入解析式，解得， a=1，或 a=6 （与 B 重合）是21()()3a所以 P 点坐标（ 1,6）综上所述 P（0,3）或 P（1,6）（3）由题意得， CAO=OAF=45利用同弧所对的圆周角相等， OEF=OAF=45EFO=EAO=45EOF 为等腰直角三角形，S EOF= 。21OE当 OE 最小时，面积最小。即
34、 E 为 AC 中点（ 3,)变式一（山东枣庄，25，10 分）如图，在平面直角坐标系 中，把抛物线 向左xoy2yx平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位，得到抛物线 .所得抛物线与 轴交2()hk于 两点（点 在点 的左边），与 轴交于点 ，顶点为 .AB、 ByCD23（1）写出 的值；hk、（2）判断 的形状，并说明理由；ACD（3）在线段 上是否存在点 ，使 ？若存在，求出点 的坐MAO BC M标；若不存在，说明理由.解：（1） 2()yxhk的顶点坐标为 （，）， . h， =-4（2）由（ 1）得 2(1)4yx.当 0y时， 0 解之，得 123x， . (3)AB， ，
35、，又当 x时， 22(1)4()yx，C 点坐标为 0， -.4 分又抛物线顶点坐标 D， ，作抛物线的对称轴 1x交 轴于点 E， DFy轴于点 易知在 RtAE 中， 2240；在 OC 中， 318；在 tFD 中， 22； 2A ACD是直角三角形 （3）存在作 OMBC 交 AC 于 M， 点即为所求点由（2）知， AOC 为等腰直角三角形， 45BAC， 1832由 MB ，得 xy24即 3329442AM， . 过 点作 GB于点 ，则29481964A， 934OGA.又点 M 在第三象限，所以 . 3-（ ， ）变式二（南充市，21，8 分）如图，等腰梯形 ABCD 中，A
36、DBC,AD=AB=CD=2,C=600,M 是 BC 的中点。（1）求证： MDC是等边三角形；（2）将 MDC绕点 M 旋转，当 MD(即 MD)与 AB 交于一点 E,MC 即 MC)同时与AD 交于一点 F 时，点 E,F 和点 A 构成AEF.试探究AEF 的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出AEF 周长的最小值.DCMFEDCBA【答案】（1）证明：过点 D 作 DPBC,于点 P，过点 A 作 AQBC 于点 Q,C=B=600CP=BQ= AB,CP+BQ=AB 21又ADPQ 是矩形， AD=PQ,故 BC=2AD,由已知，点 M 是 BC 的中点
37、， xyMFE G25BM=CM=AD=AB=CD, 即MDC 中，CM=CD, C=600,故MDC 是等边三角形.（2）解： AEF的周长存在最小值，理由如下：连接 AM,由（1）平行四边形 ABMD 是菱形，MAB, MAD和MCD是等边三角形，BMA=BME+AME=600, EMF=AMF+AME=600BME=AMF）在BME 与AMF 中，BM=AM, EBM=FAM=600BMEAMF(ASA) BE=AF, ME=MF,AE+AF=AE+BE=ABEMF=DMC=600 ,故EMF 是等边三角形，EF=MF. MF的最小值为点 M 到 AD 的距离 ，即 EF 的最小值是 .33AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF,AEF的周长的最小值为 2+ .
