1、第 1 页(共 10 页)一、填空题(每小题 3 分,共 30 分)1、设 为 3 个事件,则这三个事件中不多于两个发生可表示为 .,ABC2、已知 , , ,则 = ? .0.8P.60.7PABPAB3、设随机变量 的概率密度为Xxxf，21)(则 1/pi .A4、若离散型随机变量 的分布律为1234kXxpa则 5/12 .5、设 且 相互独立, 则 -6 , 25 .(0,1)(3,)NYXY32,ZXY()EZ()DZ6、若随机变量 ,则 0.5 .X0P7、随机变量 的概率密度为0122xf其 它则 0.875 .1.5PX8、设 与 是相互独立的随机变量,其概率密度分别为Y,
2、0(),Xxfx其 它 ,0()yYef则 的联合概率密度 = ., ,x9、设随机变量 是容量为 的样本方差,则 服从自由度为 n-1 2(,)NSn2(1)nS的X2 分布.10、设总体 ,根据来自 的容量为 16 的样本,测得样本均值为 10.05,则2,0.4XXx的置信水平为 0.95 的置信区间为 (已知 ). 1.96)0.75解答：1、 或 2、 3、ABCABCABC14、 5、-6,25 6、0.5 7、0.8752第 2 页(共 10 页)8、 9、 10、,01,(,)yexyfx其 它 21,n10.34,.69二、(本题 12 分) 两台机床加工同类型的零件,第一台
3、出现废品的概率为 0.03,第二台出现废品的概率为 0.02,加工出来的零件放在一起,且各占一半.求(1)从中任意取一件零件为合格品的概率;(2)若取出的零件已知为废品,它是第二台机床加工的概率.三、(本题 12 分) 设随机变量 的概率密度为X6(101(),xxf， 其 它求 的概率密度。2YX解答二、设(本题 12 分) 两台机床加工同类型的零件,第一台出现废品的概率为 0.03,第二台出现废品的概率为 0.02,加工出来的零件放在一起,且各占一半.求(1)从中任意取一件零件为合格品的概率;(2)若取出的零件已知为废品,它是第二台机床加工的概率.解 设 表示取出的产品为第 台机床生产(
4、), 表示取出的零件为废品,则iAi1,2iB由已知有2 分1212(),(|)0.3,(|)0.PAPBAPBA(1)由全概率公式得第 3 页(共 10 页)5 分11221()(|)(|)0.3.20.PBAPAB故任意取出的一件零件为合格品的概率为7 分()1()0.95PB(2)由贝叶斯公式得12 分222 10.()( .45PAB三、(本题 12 分) 设随机变量 的概率密度为X6(101(),xxf， 其 它求 的概率密度.2YX解 函数 在 内的值域为 且 , 2 分()1ygx0,1,3()0gx其反函数, 4 分1()2hy1(2hy于是随机变量 的概率密度为Y8 分(),
5、13()0Yfhyyf其 他6()(),yhy其 他12 分23(4),13=0yy其 他第 4 页(共 10 页)四、(本题 12 分) 设二维随机变量 联合概率密度为)(Y,X= ),(yxf(23),0,0xyce， 其 它(1) 确定常数 .(2) 求边缘概率密度 及 ,并问 与 是否独立,为什么?)(xfX)(yfYXY(3) 求 .201(,P解答 (1)由密度函数的性质有故 . 3 分(23)0(,) 16xycfxydced 6c(2)如果 ,则 ;()(,)0Xff如果 ,则 0x(23)20()(,)6xyxXfxfydede故 的边缘密度数为X5 分2,0()xXef如果
6、 ,则 ;0y()(,)Yfyfxyd如果 ,则 (23)30()(,)6xyyYffede故 的边缘密度数为X第 5 页(共 10 页)7 分3,0()yYef由于 ,故 与 相互独立 9 分(,)()XYfxyfy(3) 210(01,)=(,)Pfxyd21(23)06xye12 分26()五、(本题 12 分) 设随机变量 的分布律为X102.25.1kXp求: (1) ; (2) .E2D解 (1) .3 分22222()10510108X.6 分86(2) .9 分44444E22DX24()E20.812 分5六、(本题 12 分) 设随机变量 的密度函数为X第 6 页(共 10
7、 页)=)(,xf其011x,其中 为未知参数, 是 的简单随机样本, 是 的样本nX,.,21 nx,.,21X观察值,求参数 的极大似然估计值.解 似然函数. 4 分11()(),(0)nniiiiLfxx取对数 6 分1lnl()ln(01)iiiLx令 得 10 分 1lln0iidx 1lniix所以 的极大似然估计值为 12 分1lniix七、(本题 10 分) 某厂生产的某种电子元件的寿命 其中 都是未知2(,)XN2,第 7 页(共 10 页)的参数,现在观测 25 个样本,得样本观察值 计算得 .试1,nx 2183,50xs问该厂的这种电子元件的平均使用寿命在显著水平 下是
8、否为0.(小时)?20附表: .10.10.13).49,(2)3.49,(25).48ttt解 总体 ,总体方差未知,检验总体期望值 是否等于 2000.2XN(1) 提出待检假设 1 分0010:2;:2.HH(2) 选取统计量 ,在 成立的条件下 2 分0/TSn1)Tt(n(3) 对于给定的检验水平 ,查表确定临界值.2,/20.1()(4)3.92tnt于是拒绝域为 5 分,3.9,.W(4) 根据样本观察值计算统计量 的观察值:由已知 ,故t 1832,0xs8 分00183201.68/5/xtsn(5)判断 : 由于 ,故接受 H0,即这种电子元件的平均使用寿命为0.1(4)t
9、小时. 10 分20一、填空题(每小题 3 分,共 30 分)1、 或 2、 3、ABCABCABC0.14、 5、-6,25 6、0.5 7、0.8752第 8 页(共 10 页)8、 9、 10、,01,(,)yexyfx其 它 21,n10.34,.69二、设(本题 12 分) 两台机床加工同类型的零件,第一台出现废品的概率为 0.03,第二台出现废品的概率为 0.02,加工出来的零件放在一起,且各占一半.求(1)从中任意取一件零件为合格品的概率;(2)若取出的零件已知为废品,它是第二台机床加工的概率.解 设 表示取出的产品为第 台机床生产( ), 表示取出的零件为废品,则由已知有iAi
10、12iB.2 分121(),|)0.3,(|)0.PPBAPA(1)由全概率公式得.5 分1122()(|)(|).3.20.5B故任意取出的一件零件为合格品的概率为.7 分0.975P(2)由贝叶斯公式得12 分22210.()( .4APB三、(本题 12 分) 设随机变量 的概率密度为X6(1)(0,xxf， 其 它求 的概率密度.2YX解 函数 在 内的值域为 且 ,2 分()yg,1,3()20gx其反函数, .4 分12h1()2hy于是随机变量 的概率密度为Y8 分,3()0ffy其 他6()1(),1hyhy其 他12 分23(4),3=0其 他四、(本题 12 分) 设二维随
11、机变量 联合概率密度为)(Y,X= ,(yxf(23),0xyce， 其 它(1) 确定常数(2) 求边缘概率密度 及 ,并问 与 是否独立,为什么?)(xfX)(yfYY(3) 求 .201(,P解 (1)由密度函数的性质有第 9 页(共 10 页)(23)0(,) 16xycfxydced故 3 分6c(2)如果 ,则;()(,)Xfxfy如果 ,则0(23)20,6xyxffdede故 的边缘密度数为.5 分2,()xXef如果 ,则0y;()(,)0Yffxyd如果 ,则(23)30()(,)6xyyYfyfede故 的边缘密度数为X.7 分3,()yYef由于 ,故 与 相互独立 9
12、 分,()XYxf(3) 210(01=(,)Pfxyd236e12 分6(1)五、(本题 12 分) 设随机变量 的分布律为X10.25.kXp求: (1) ; (2) .E21D解 (1) .3 分22 2().050.18.6 分1.86X(2) 9 分44444. .22D24()EX20.8.12 分5六、(本题 12 分) 设随机变量 的密度函数为第 10 页(共 10 页)= 其中 为未知参数, 是 的简单随机)(,xf其011x, 0nX,.,21样本, 是 的样本观察值,求参数 的极大似然估计值.n,.21X解 似然函数.4 分11()(),(0)nniiiiLfxx取对数.
13、6 分1lnl()ln(1)iiix令 得 10 分1ll0niidL1lniix所以 的极大似然估计值为 .12 分1lniix七、(本题 10 分) 某厂生产的某种电子元件的寿命 其中 都是未知的参数,现2(,)XN2在观测 25 个样本,得样本观察值 计算得 .试问该厂的这种电子元件1,n 18350s的平均使用寿命在显著水平 下是否为 (小时)?0.2附表: 0.10.10.1(23).49,()349,(5)2.4ttt解 总体 ,总体方差未知,检验总体期望值 是否等于 2000.2XN(1) 提出待检假设 .1 分0010:;:.HH(2) 选取统计量 ,在 成立的条件下 2 分/TSn1)Tt(n(3) 对于给定的检验水平 ,查表确定临界值.2,/20.1()(4)39tnt于是拒绝域为 .5 分,(.).W(4) 根据样本观察值计算统计量 的观察值:由已知 ,故t 1832,50xs.8 分008201.68/5/xtsn(5)判断: 由于 ,故接受 H0,即这种电子元件的平均使用寿命为.1(4)t小时. 10 分2
