1、三重积分的计算方法三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：如果先做定积分 ，再做二重21zd),yx(f积分 ，就是“投影法” ，也即“先一后二” 。步骤为：找 及在 xoyDd)y,x(F 面投影域 D。多 D 上一点（ x,y） “穿线”确定 z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分） ；进而按二重积分的计算步骤计算投影域 D 上的二重积分，完成“后二”这一步。 d),yx(fdv)z,yx(fD21如果先做二重积分 再做定积分 ，就是“截面法” ，z),(f21cz)(F也即“先二后一” 。步骤为：确定 位于平面 之间，即与，过
2、z 作平行于 xoy 面的平面截 ，截面 。区域 的边界曲面c,z21zDz都是 z 的函数。计算区域 上的二重积分 ，完成了“先二”这zDzd),yx(f一步（二重积分） ；进而计算定积分 ，完成“后一”这一步。21c)(F。当被积函数 f（z ）仅为 z 的函数（与 x,ydz),yx(fdv)z,yx(f21zcD无关） ，且 的面积 容易求出时， “截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域 投影到 xoy 面，得投影区域 D(平面)D 是 X 型或 Y 型，可选择直角坐标系计算（当 的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标
3、系计算）D 是圆域（或其部分） ，且被积函数形如 时，可选择柱面坐标)xy(f,(f2系计算（当 为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3） 是球体或球顶锥体，且被积函数形如 时，可选择球面)zy(f2坐标系计算。1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法” ，要视积分域 及被积函数f(x,y,z)的情况选取。一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；截面法（先二后一）： 是zD在 z 处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。特殊地，对 积分时，f(x,y,z)与 x,y 无关，可直接计算 。因而 中只要DzDS, 且 f(x,y,z)仅含 z 时，选取“截面法”更佳。baz2.对坐标系
4、的选取，当 为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含 z 或 时，可考虑用柱面坐标计)yx(f2算。历年真题1、计算三重积分 ，其中 为平面 与三个坐标面zdxyI 1zyx围成的闭区域。0,yx【解析】“投影法”（1）画出 及在 xoy 面投影域 D. （2） “穿线” yx1z0X 型 D： x1y0 ：z（3） 10x1032210xy01x02 dy)x1(y)(dy)(dzdzdxyI241x23x61d)(61003“截面法”（1）画出 。（2） 过点 z 作垂直于 z 轴的平面截 得 。,0zzD是两直角边为 x,y 的直角三角形，Dz1y,
5、x（3）计算 10D0D10Dzzz dSddxyzdxyI 10321010 41dz)z(d)(z2d)xy(z2、计算 ，其中 是 和 z=1 围成的闭区域。vyx【解析】“投影法”（1）画出 及在 xoy 面投影域 D. 由 消去 z，1zy2x得 即 D： yx21yx2（2） “穿线” ，zX 型 D： 22x1yx1 1zyx1:2（3）计算 x11y1x222222 2 6dy)x1(ydzxddvyx“截面法”（1）画出 。 （2 ） 过点 z 作垂直于 z 轴的平面截 得 ：1,0zzD2yx： zDzr0用柱坐标计算 1z0r2:（3）计算 10D102z10103z32
6、2z 6dz2r2drdxydvyx3、化三重积分 为三次积分，其中 ：z),(fI 所围成的闭区域。22xyxz及【解析】（1）画出 及在 xoy 面上的投影域 D. 由 消去 z，得2xzy1yx2即 D： 1y（2） “穿线” 22xzxX 型 D： 1yx1：22xzyx11（3）计算 1x2ydz),(fddyz),(fI4、计算 ，其中 为 所围成的闭区域。zdv26及【解析】“投影法”（1）画出 及在 xoy 面投影域 D， 用柱坐标计算由 化 的边界曲面方程为：z=6-zsinrycoxr2， z=r(2)解 D： 即2rz6得 r2r0“穿线” r6r2r6zr:(3)计算D
7、r620r620r2 2 2dz1rzddzzdv。 50 39)3r(r)r(“截面法”(1)画出 。如图： 由 围成。rz6z2及(2) ,2,06,z1由 z=r 与 z=2 围成； ， ：1zDr： 12z0r由 z=2 与 z= 围成； ， ：2r66,2zzDz6r：26zr0(3)计算 =dv20D62D1zz1 drdrdv 0623622062D20 392dz)(d)(d)(dzSz15、计算 ，其中 由不等式 ， 所v)yx(Azyxa02确定。【解析】用球坐标计算。由 得 的边界曲面coszinyx的球坐标方程： AaP ，连结 OP= ，其与 z 轴正向的夹角为 ，OP=。P 在 xoy 面的投影为 ，连结 ，其与 x 轴正PO向的夹角为 。 ： ， ，Aa20= 20a2 dsin)i(dv)yx( 20Aa53d1si= )aA(15432)aA(52dsin)aA(52203
