1、汽车刹车距离-数学建模桓台一中 2010 级 31 班曲庆渝辅导老师：崔禹摘要：由于本县近段时间某些司机因判断刹车距离失误而酿成交通悲剧，为使这一现象得到缓解，使交通出行更加安全，本文就通常所说的“2 秒准则”展开讨论，建立数学模型，通过理论来估计实际问题。 （由于“2 秒法则”最初由北美流行而来，故以下部分数据采用美制即英制单位）关键词：2 秒准则；刹车距离；反应距离；制动距离一、问题提出：背景：汽车驾驶员培训过程中的“2 秒准则”是否有道理给出合理性解释：正常驾驶条件下：车速（在原车速基础上）每增加 16 千米/小时，则后车与前车之间的距离就应增加一个车身长度：作用：后车刹车的距离与后车的
2、车速有关，车速快，车子动能大，增加与前车的距离可以保证后车刹车的安全，不致于同前车相撞（尾追） 。具体操作办法：“2 秒准则” 增加一个车长的简便办法即“2 秒准则”即，当前车经过某一标志时，后车司机开始计算 2 秒钟后也到达同一标志，不管车速如何，即可保证后车刹车时不致于撞上前车，即不至于发生“尾追”现象。 （此“2 秒准则”不管车速如何都可这样操作）2问题：“2 秒准则”的合理性的质疑：（1） “2 秒准则”是否合理性假如汽车速度 16 千米/小时，计算 2 秒钟所行走的距离2 秒前车 后车前车后车增加一个车身16 千米/时4.44 米/秒，故“2 秒”走过的路程为：S=4.44 米/秒*
3、2 秒=8.88 米而车身的平均长度为： 4.6 米显然：2 秒准则走过路程 8.88 米4.6 米2 个车身长度。所以“2 秒准则”的合理性受到质疑， 为此要寻求更合理的刹车距离方案：（2）设计出合理的刹车距离方案二、建模机理分析与符号说明刹车机理分析：分析：刹车距离“ ”与时间“ ”的关系：dt刹车距离 = 反应距离 + 制动距离符号说明：反应距离 = 司机决定刹车起到制动器开始起作用，这段时间汽车的行驶的距离1d制动距离 = 以制动器开始起作用到汽车完全停止时刻，这段时间内汽车所行驶的距2离。且：反应距离 ：由反应时间和车速所决定，而反应时间取决司机机灵视野程度：正常司1d机为常数 ，车
4、速在反应时间内也是固定的速度 （未改变）1t v即： v制动距离 ：由制动器作用力 （制动力） 、车重 ，车速 （制动时的初速度）有2dFmv关，身外与道路气候等有关。三、模型假定：常识假定：（1） 人的反应时间为一个常数。（2） 在反应时间内车速不变。（3） 汽车的减速度基本上是一个常数。（4） 路面状况是固定的。（5） 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和；（6） 反应距离 d1 与车速 v 成正比，比例系数为反应时间 t1;（7） 刹车时间用最大制动力 F，F 作的功等于汽车动能的改变，且 F 与车的质量m 成正比。四、建模：构造模型(1)vtd1由假设 7 （物理动
5、能定理）而 F=ma ,则 221mvFd 221vad其中 a 为刹车减速度，是常数，则令 k=1/2a,有（2）2kv则刹车距离与速度的模型为（3）21td其中 （反应时间）根据经验取 0.75 秒 ，利用物理知识来确定常数 k五、模型求解与参数估计：根据常识，橡胶轮胎与沥青路面间动摩擦因数为 =0.71，所以汽车刹车后所受摩擦力：f=mg，故汽车车轮完全抱死后，其减速度 a=f/m=g，代入数值得： a=6.958，所以常数k 的值为 1/2a 即 0.07186.所以可得汽车刹车距离 d 与时间 t 的关系为：d=0.07186v 2+0.75v现用实际数据来检验这个公式车速与刹车距离
6、车 速（英里/小时）车 速（英尺/秒）实际刹车距离(英尺) 计算刹车距离(英尺)刹车时间(秒)20 29.3 42(44) 43.98 1.530 44.0 73.5(78) 82.45 1.840 58.7 116(124) 131.92 2.150 73.3 173(186) 192.37 2.560 88.0 248(268) 263.82 3.070 102.7 343(372) 346.25 3.680 117.3 464(506) 439.68 4.3经检验，公式真实可靠。六、模型应用决策方案由“2 秒准则”应改为“t 秒准则”与车速有关（在车速不超过 120 公里/ 时的情况下）
7、 ，：在不同车速情况下，后车司机从前车司机经过某一标志开始默数（计数）t 秒后到达同一标志时是安全的，为更加准确，对于 t 给出以下表格：车速（千米小时）016 1664 6496 96128计数秒 t： 总结出以下结论：一、考虑到车速范围大致在 1664 千米/时内，因此，由表得 “2 秒准则”一般是有效的。二、考察误差，发现当车速不超过 104.6 千米/ 时，实际值都微小于理论值，但是当车速更快时，实际值就会大于理论值，而且随车速增加误差会越来越大。这说明本模型仅适用于较低的车速范围内，当车速更高时，模型解答就不会令人那么信服。参考文献1赵静，但琦 .数学建模与数学实验. 北京：高等教育出版社；海德堡：施普林格出版社，2000.2Frank R.Giordano,Maurice D.Weir,William P.Fox.数学建模(叶其孝，姜启源等译）.北京：机械工业出版社，2005.3姜启源，谢金星，叶俊 .数学模型. 北京：高等教育出版社，2003.4谢云荪，张志让 .数学实验. 北京：科学出版社，1999.5张德丰.Matlab 数值分析与应用.北京：国防工业出版社，2007.
