1、构造函数法证明不等式的八种方法1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：1、移项法构造函数【例 1】 已知函数 ，求证：当 时，恒有xxf)1ln() 1x1分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数，从其导数入手即可证明。)ln()xxg【解】 1f当 时， ，即 在 上为增函数010)(f
2、)(xf)0,1(当 时， ，即 在 上为减函数xx故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间()f ),1(),(于是函数 在 上的最大值为 ，因此，当 时，x),0(maxff 1x，即 （右面得证） ，0)(ff 0ln(x)ln现证左面，令 ， 1)lxg 22)1()(1( xxg则当 ，0),0(;(,)01( x时当时即 在 上为减函数，在 上为增函数，gx故函数 在 上的最小值为 ，)(x),)()(ming 当 时， ，即10(g01lx ，综上可知，当 )ln(x xx)ln(,1有时【警示启迪】如果 是函数 在区间上的最大（小）值，则有 （或()fa()f f(fa） ，那
3、么要证不等式，只要求函数的最大值不超过 就可得证f 02、作差法构造函数证明【例 2】已知函数 求证：在区间 上，函数 的图象在函数.ln21)(xxf),1()(xf的图象的下方；3g分析：函数 的图象在函数 的图象的下方 问题，)(f)(g)(gf不 等 式即 ，只需证明在区间 上，恒有 成立，设32ln1xx),132ln1xx， ，考虑到)()(fgF),(06(F要证不等式转化变为：当 时， ，这只要证明： 在区间)x )(g是增函数即可。,1【解】设 ，即 ，)()(xfgx xln213)(则 =F12 x)当 时， =1x)(x )12(从而 在 上为增函数，F,061)(Fx
4、当 时 ，即 ，1x0)(xfg)(gf故在区间 上，函数 的图象在函数 的图象的下方。,( 32)(x【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数） ，并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可以设 做一做，深刻体会其中的思)()(gfxF想方法。3、换元法构造函数证明【例 3】 （2007 年，山东卷）证明：对任意的正整数 n，不等式 都成321)1l(n立.分析：本题是山东卷的第（II）问，从所证结构出发，只需令 ，则问题转化为：x当 时，恒有 成立，现构造函数0x32)1ln(xx，求导即可达到证明。)
5、(23h【解】令 ，)l(xx则 在 上恒正，1)(3123)( 2 xh ),0(x所以函数 在 上单调递增， 时，恒有 )(xh),0),0(x，0)(hx即 ，1ln2332)1ln(对任意正整数 n，取 321)l(, nx， 则 有【警示启迪】我们知道，当 在 上单调递增，则 时，()F,abxa有 如果 ，要证明当 时， ，那么，只要令()Fxafx()f ，就可以利用 的单调增性来推导也就是说，在 可导的f()x() ()Fx前提下，只要证明 即可4、从条件特征入手构造函数证明【例 4】若函数 y= 在 R 上可导且满足不等式 x 恒成立，且常数 a， b)(xf )(f)(xf
6、满足 ab，求证： a b )(f【解】由已知 x + 0 构造函数 ，)(f )(xfF则 x + 0， 从而 在 R 上为增函数。F)(f 即 a bba)(b)(ff【警示启迪】由条件移项后 ，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数xf，求导即可完成证明。若题目中的条件改为 ，则)(xF )(xff移项后 ，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。ff5、主元法构造函数例已知函数 xgxxf ln)(,)1ln()(1)求函数 的最大值；(2)设 ,证明 ： .ba0 2ln)()2()(0abba分析：对于（II）绝大部分的学生都会望而生畏.学生的盲点也主要就在对所给函数用不
7、上.如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的.证明如下：证明：对 求导,则 .xgln)(1ln)( xg在 中以 b 为主变元构造函数,)2()(agbag设 ,则 .xxF 2ln)2()( xaxagF当 时， ,因此 在 内为减函数.00)(),0当 时, ,因此 在 上为增函数.axx(xa从而当 时, 有极小值 .)(F)因为 所以 ,即,0)(b0b.0)2()(bagg又设 .则 .2ln)(axxG )ln(
8、lln) xxxG当 时, .因此 在 上为减函数.(,因为 所以 ,即 .,0)(ba0)b 2l)(2()( abgbag6、构造二阶导数函数证明导数的单调性例已知函数 21()xfe(1)若 f(x)在 R 上为增函数,求 a 的取值范围;(2)若 a=1,求证:x0 时,f(x)1+x解：(1)f(x) ae x，（）在上为增函数，f(x)对恒成立，即 - 对恒成立记（） - ，则() - - =(1-x)e-x，当时，（），当时，（）知（）在(-,1)上为增函数,在(1,+ )上为减函数, g(x)在 x=1 时,取得最大值，即 g(x)max=g(1)=1/e, a1/e,即 a
9、的取值范围是1/e, + ) (2)记 F(X)=f(x) (1+x) = )0(12xex则 F(x)=e x-1-x,令 h(x)= F(x)=e x-1-x,则 h(x)=e x-1当 x0 时, h(x)0, h(x)在(0,+ )上为增函数,又 h(x)在 x=0 处连续, h(x)h(0)=0即 F(x)0 ,F(x) 在(0,+ )上为增函数,又 F(x)在 x=0 处连续, F(x)F(0)=0,即 f(x)1+x小结：当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量
10、分离后可以转化为 (或 )恒成立，于是 大于 的最大)xfm(xfm)(xf值（或 小于 的最小值） ，从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题因此，m)(xf利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法7.对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）例：证明当 21)(,0xex时8.构造形似函数例：证明当 abeab证 明,例：已知 m、n 都是正整数，且 证明：,1nmmn)1()(【思维挑战】1、 （2007 年，安徽卷） 设 xaxfaln2l1)(,0求证：当 时，恒有 ，1xln2lx2、 （2007 年，安徽卷）已知定义在正实数集上的函数其中 a0，且 ， ,l3)(
11、,2)(2bgf bl3252求证： xf3、已知函数 ，求证：对任意的正数 、 ，x1)ln() a恒有 .lab4、 （2007 年，陕西卷） 是定义在（0，+）上的非负可导函数，且满足)(f0，对任意正数 a、 b，若 a b，则必有 )(xff（ ）（A） af (b) bf (a) （B） bf (a) af (b)（C） af (a) f (b) （D） bf (b) f (a)【答案咨询】1、提示： ，当 ， 时，不难证明xxf2ln1 10a1ln2x ，即 在 内单调递增，故当 时，0)()(f),0，当 时，恒有ff lln2ax2、提示：设 则baxfxgF32)()(
12、xaxF23)(= ， 当 时， ，a300故 在 上为减函数，在 上为增函数，于是函数 在)(,0),()(上的最小值是 ，故当 时，有,0)agfFx，即xgf xf3、提示：函数 的定义域为 ，)(),1( 22)1()(1(f 当 时， ，即 在 上为减函数01x0xfxf)0,当 时， ，即 在 上为增函数)()(因此在 取得极小值 ，而且是最小值,xf时f于是 ，即xxf 1)ln(0)(从 而 x1)ln(令 于是abxbax1,01则 ab1ln因此 ln4、提示： ， ，故 在（0，+）上xfF)(0)(2 xff xfF)(是减函数，由 有 af (b) bf (a) 故选（A）baff)(
