1、初二数学联赛班 八年级1思维的发掘 能力的飞跃第 4 讲 比例线段初步知识总结归纳一. 平行线分线段成比例定理： 如下图，如果 ，则 ， ， 1l 2 3lBCEFADABCDEFl3l2l1FEDCBA二. 平行线分线段成比例定理的推论： 如图，在三角形中，如果 ，则DEB AEDB三. 平行的判定定理：如上图，如果有 ，那么 ADEBCBC四. 两个常见模型： 如图，已知直线 ，直线 分别与直线 、 、 相交于 、 、 点，则EF EFADEFGBDGCGFED CBAA DAEGFCEDCBABDAEC初二数学联赛班八年级2 思维的发掘 能力的飞跃典型例题一. 比例式的计算【例 1】 已
2、知 ，求（1） ；（2） 的值35abbab【例 2】 已知 ，则 的值是（ ）13abA B C D329449【例 3】 已知 ，求（1） ；（2） ()73ab： ： ab2b【例 4】 已知 ，那么 _；若 ，那么25xyz32xyz(2)4xy：_(3)(4)：二. 基础训练【例 5】 如图，已知直线 ，直线 、 分别与 、 、 交于 、 、 、 、 、 若abc mnabcACEBDF， ， ，则 _4AC6E3BDF【例 6】 如图， ， ， ，则 _12l 25AFB： ： 41CD： ： AEC：CFDB AEnbamcEFG ADCB 2l1l初二数学联赛班 八年级3思维的
3、发掘 能力的飞跃【例 7】 如图， ，且 ，若 ，求 的长DEBC AE510BAC， E EDCBA【例 8】 证明下列各组问题，并对各组的两个图形进行比较：（1）如图，已知直线 ，直线 分别与直线 、 、 相交于 、 、 点，EFBC EFACDEFG求证： BDGC（2）如图，已知 ， ，求证： DEBC FD 2AFB【例 9】 如图，已知 ，作 交 于 ，交 于 ，连 、 交于点 ABC DE ABDCEDBF求证：（1） ；（2） F1FFEDCBAG FED CBAB DAEGFCFEDCBACBFDEA初二数学联赛班八年级4 思维的发掘 能力的飞跃【例 10】 如图，已知 为
4、的 边上的中线， 为线段 上一点，过点 作 的平ADBC PBDPAD行线交 于 ，交 的延长线于 求证： BQR2QRA【例 11】 如图， ， ，垂足分别为 、 ， 和 相交于点 ，ABDCBBDACBE，垂足为 证明： EFF1AEF FE DCBA【例 12】 如图，在梯形 中， ， ，过对角线交点 作ABCD 129ACD， O交 于 ，求 的长EF ， EF， O FED C BA三. 巩固提高【例 13】 如图，在梯形 中， ， ， ，若 ，ABCDB 396ADBC， ， 4CDEFC且梯形 与梯形 的周长相等，求 的长EFFEFQDPB CAR初二数学联赛班 八年级5思维的发
5、掘 能力的飞跃FEDCBA【例 14】 如图，在 中， 、 为 、 上的点， 、 相交于 ，取 的中点ABC DEACDCEOAB，连结 若 ， 求证： FO1212BOFB【例 15】 如图， 中， 与 交于 点， 为 延长线上一点， 交 于 ，ABCD BOEADOECDF的延长线交 于 ，求证： EOG2AF【例 16】 在四边形 中， 、 相交于 ，直线 ，且与 、 、 、ABCDBOlBD ACB及 的延长线分别相交于点 、 、 、 和 ，求证： MNRSPMPNRSF CBADEGOSRN PCO DBAMlOE DCBAF初二数学联赛班八年级6 思维的发掘 能力的飞跃【例 17】
6、 已知，如图，四边形 ，两组对边延长后交于 、 ，对角线 ， 的延ABCDEFBDEF AC长线交 于 求证： EFGEF G FECDBA【例 18】 已知 是平行四边形 内的任意一点，过点 作 ，分别交 、 于 、OABCDOEFAB DBCE，又过 作 ，分别交 、 于 、 ；连结 ，交 于 ；连结 ，FGH GHGHPG交 于 如果 ，求证：平行四边形 是菱形EQPABCD【例 19】 已知： 为 的中位线上任意一点， 、 的延长线分别交对边 、 于 、PABC BPCACBD，求证：E1DEOGFE DCBAPQH初二数学联赛班 八年级7思维的发掘 能力的飞跃PNME DCBA思维飞
7、跃【例 20】 如图，已知梯形 中， （ ） ， 和 相交于 ，ABCDB ADC BDM，且过 ， 和 交于 ， ，且过 求证：EF MEFNGH N12ADBGH【例 21】 如图， 是 的中线，过 上任意一点 ，作 ，与 和 的延长ADBC DFEGAB CAD线分别交于 和 ， 交 于点 ，求证： GEFHA HDHGFECBAN HMGFECBDA初二数学联赛班八年级8 思维的发掘 能力的飞跃作业1. 已知 ，求（1） ；（2） 238xyzxzy345xyz2. 如下两个图中，已知 ， ，分别证明： EFBC GD AEGBD3. 已知：如图，在梯形 中， ， 是 的中点，分别连接
8、 、ABCD MABAC、 、 ，且 与 交于点 ， 与 交于 BDMEDCF（1）求证： EF（2）若 ， ，求 的长abF FEMD CBA4. 在梯形 中， ， 与 交于 ， ，且 交 、 于 、ABCD ACBDOMNAB ONABMEFGDCBACDGE BAF初二数学联赛班 八年级9思维的发掘 能力的飞跃若 ，求 的值N1M1ABCD5. 如已知 ， ，求证： DEAB 2OCEADBCDOECBA6. 如图，已知 、 是 、 上的点， 、 交于 点，过 点作 交 于 ，DEACBDCEOFCB AF， ，求证： 为 的中点12A12FA7. 设 为 的边 的中点，过 作一条直线，
9、交 、 或其延长线于 、 ，又过 作DABC DABCEFA，交 的延长线于 ，则 G EFGEFEF OECBAD初二数学联赛班八年级10 思维的发掘 能力的飞跃8. 凸四边形 中， ， ， 平行于 交 延长线于点 ， 平行于ABCD90BCD EADCEAF交 延长线于点 ， ，连接 、 证明： FF9. 如图， 在直线 的同侧有三个相邻的等边三角形 、 、 ，且 、 、 都在l ABC DE AFG AB直线 上，设这三个三角形边长分别为 、 、 ，连结 交 于 ，连 交 于 ，求l abcGNCL的长AL10. 如图， 、 、 分别是 中 、 、 的中点，过 任作一直线 、 分别交于DEFABC ABADEF、 ，求证： GHGHFCDBEG ACDOFEBALNFE DClBG A初二数学联赛班 八年级11思维的发掘 能力的飞跃HGF ED CBAP
