1、课题：圆锥曲线的综合问题【要点回顾】1直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量 y(或 x)得关于变量 x(或 y)的方程： ax2 bx c0(或 ay2 by c0)若 a0，可考虑一元二次方程的判别式 ，有： 0直线与圆锥曲线相交； 0直线与圆锥曲线相切； b0)的一个顶点为 A(2,0)，离心率为 .直线x2a2 y2b2 22y k(x1)与椭圆 C 交于不同的两点 M， N.(1)求椭圆 C 的方程；(2)当 AMN 的面积为 时，求 k 的值103自主解答 (1)由题意得Error!解得 b ，所以椭圆 C 的方程为 1.2
2、x24 y22(2)由Error! 得(12 k2)x24 k2x2 k240.设点 M， N 的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，则y1 k(x11)， y2 k(x21)， x1 x2 ， x1x2 ，4k21 2k2 2k2 41 2k2所以| MN| x2 x1 2 y2 y1 2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2.2 1 k2 4 6k21 2k2又因为点 A(2,0)到直线 y k(x1)的距离 d ，|k|1 k2所以 AMN 的面积为 S |MN| d .由 ，解得 k1.12 |k|4 6k21 2k2 |k|4 6k21 2k2 103【由题悟法】研究直
3、线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解【试一试】1(2012信阳模拟)设抛物线 y28 x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是( )A. B2,2 C1,1 D4,412， 12解析：选 C 易知抛物线 y28 x 的准线 x2 与 x 轴的交点为 Q(2,0)，于是，可设过点 Q(2,0)的直线 l 的方程为 y k(x2)(由题可知 k 是存在的)，联立Error! k2x2(4 k28) x4 k20.当 k0 时，易知符
4、合题意；当 k0 时，其判别式为 (4 k28) 216 k464 k2640，可解得1 k1.【最值与范围问题】例 2 (2012浙江高考)如图，椭圆 C： 1( a b0)的离心率为 ，其左焦点到点 P(2,1)x2a2 y2b2 12的距离为 .不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A， B 两点，且线段 AB 被直线 OP 平分10(1)求椭圆 C 的方程；(2)求 ABP 面积取最大值时直线 l 的方程自主解答 (1)设椭圆左焦点为 F( c,0)，则由题意得Error!得 Error!所以椭圆方程为 1.x24 y23(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，线段 A
5、B 的中点为 M.当直线 AB 与 x 轴垂直时，直线 AB 的方程为 x0，与不过原点的条件不符，舍去故可设直线 AB 的方程为 y kx m(m0)，由Error! 消去 y，整理得(34 k2)x28 kmx4 m2120， 则 64 k2m24(34 k2)(4m212)0，Error!所以线段 AB 的中点为 M .(4km3 4k2， 3m3 4k2)因为 M 在直线 OP： y x 上，所以 .12 3m3 4k2 2km3 4k2得 m0(舍去)或 k .32此时方程为 3x23 mx m230，则 3(12 m2)0，Error!所以| AB| |x1 x2| ，1 k239
6、6 12 m2设点 P 到直线 AB 的距离为 d，则d .|8 2m|32 22 2|m 4|13设 ABP 的面积为 S，则S |AB|d .12 36 m 4 2 12 m2其中 m(2 ，0)(0,2 )3 3令 u(m)(12 m2)(m4) 2， m2 ，2 ，3 3u( m)4( m4)( m22 m6)4( m4)( m1 )(m1 )7 7所以当且仅当 m1 时， u(m)取到最大值7故当且仅当 m1 时， S 取到最大值7综上，所求直线 l 的方程为 3x2 y2 20.7【由题悟法】1解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法(1)若题目的条件和结论能明
7、显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；(2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法2在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围【试一试】2(2012东莞模拟)已知抛物线 y22 px(p0)上存在关于直线
8、x y1 对称的相异两点，则实数p 的取值范围为( )A. B.(23， 0) (0， 23)C. D.(32， 0) (0， 32)解析：选 B 设抛物线上关于直线 x y1 对称的两点是 M(x1， y1)、 N(x2， y2)，设直线 MN 的方程为y x b.将 y x b 代入抛物线方程，得 x2(2 b2 p)x b20，则 x1 x22 p2 b， y1 y2( x1 x2)2 b2 p，则 MN 的中点 P 的坐标为( p b， p)因为点 P 在直线 x y1 上，所以 2p b1，即b2 p1.又 (2 b2 p)24 b24 p28 bp0，将 b2 p1 代入得 4p2
9、8 p(2p1)0，即3p22 p0，解得 0 p .23【定点定值问题】例 3 (2012辽宁高考)如图，椭圆 C0： 1( ab0， a， b 为常数)，x2a2 y2b2动圆 C1： x2 y2 t ， bt1a.点 A1， A2分别为 C0的左，右顶点， C1与 C0相交于 A， B， C， D 四点21(1)求直线 AA1与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程；(2)设动圆 C2： x2 y2 t 与 C0相交于 A， B， C， D四点，其中 bt2a， t1 t2.若矩形 ABCD2与矩形 A B C D的面积相等，证明： t t 为定值21 2自主解答 (1)设 A(x1， y1
10、)， B(x1， y1)，又知 A1( a,0)， A2(a,0)，则直线 A1A 的方程为 y(x a)，y1x1 a直线 A2B 的方程为 y (x a) y1x1 a由得 y2 (x2 a2) y21x21 a2由点 A(x1， y1)在椭圆 C0上，故 1.x21a2 y21b2从而 y b2 ，代入得 1( x a， y0)21 (1x21a2) x2a2 y2b2(2)证明：设 A( x2， y2)，由矩形 ABCD 与矩形 A B C D的面积相等，得4|x1|y1|4| x2|y2|，故 x y x y .2121 22因为点 A， A均在椭圆上，所以b2x b2x .21(1
11、x21a2) 2(1 x2a2)由 t1 t2，知 x1 x2，所以 x x a2，从而 y y b2，21 2 21 2因此 t t a2 b2为定值21 2【由题悟法】1求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出表达式，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值2定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为 y kx b，然后利用条件建立 b、 k 等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况【试一试】3(2012山东省实验中学模拟)已知抛物线 y22 px(p0)及定点 A
12、(a， b)， B( a,0)，ab0， b22 pa， M 是抛物线上的点设直线 AM， BM 与抛物线的另一个交点分别为 M1， M2，当 M 变动时，直线 M1M2恒过一个定点，此定点坐标为_解析：设 M ， M1 ， M2 ，由点 A， M， M1共线可知 ，得 y1(y202p， y0) (y212p， y1) (y22p， y2) y0 by202p a y1 y0y212p y202p，同理由点 B， M， M2共线得 y2 .设( x， y)是直线 M1M2上的点，则 ，即by0 2pay0 b 2pay0 y2 y1y22p y212p y2 yy22p xy1y2 y(y1 y2)2 px，又 y1 ， y2 ，by0 2pay0 b 2pay0则(2 px by)y022 pb(a x)y02 pa(by2 pa)0.当 x a， y 时上式恒成立，即定点为 .2pab (a， 2pab)答案： (a，2pab)
