1、- 1 -直线方程的一般形式一、教学目标 (一)知识教学点掌握直线方程的一般形式，能用定比分点公式设点后求定比(二)能力训练点通过研究直线的一般方程与直线之间的对应关系，进一步强化学生的对应概念；通过对几个典型例题的研究，培养学生灵活运用知识、简化运算的能力(三)学科渗透点通过对直线方程的几种形式的特点的分析，培养学生看问题一分为二的辩证唯物主义观点 二、教材分析1重点：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，教学中要讲清直线与二元一次方程的对应关系2难点：与重点相同3疑点：直线与二元一次方程是一对多的关系同条直线对应的多个二元一次方程是同
2、解方程三、活动设计分析、启发、讲练结合四、教学过程(一)引入新课- 2 -点斜式、斜截式不能表示与 x 轴垂直的直线；两点式不能表示与坐标轴平行的直线；截距式既不能表示与坐标轴平行的直线，又不能表示过原点的直线与 x 轴垂直的直线可表示成 x=x0，与 x 轴平行的直线可表示成 y=y0。它们都是二元一次方程我们问：直线的方程都可以写成二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线吗？(二)直线方程的一般形式我们知道，在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角 当 90时，直线有斜率，方程可写成下面的形式：y=kx+b当 =90时，它的方程可以写成 x=x0 的形式由于是在坐标平面上讨论问题，上面两
3、种情形得到的方程均可以看成是二元一次方程这样，对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程，就是说，直线的方程都可以写成关于 x、y 的一次方程反过来，对于 x、y 的一次方程的一般形式Ax+By+C=0 (1)其中 A、B 不同时为零(1)当 B0 时，方程(1)可化为这里，我们借用了前一课 y=kx+b 表示直线的结论，不弄清这一点，会感到上面的论证不知所云(2)当 B=0 时，由于 A、B 不同时为零，必有 A0，方程(1)可化为- 3 -它表示一条与 y 轴平行的直线这样，我们又有：关于 x 和 y 的一次方程都表示一条直线我们把方程写为Ax+By+C=0这个方程(其中 A、B 不全为
4、零)叫做直线方程的一般式引导学生思考：直线与二元一次方程的对应是什么样的对应？直线与二元一次方程是一对多的，同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程(三)例题解：直线的点斜式是化成一般式得4x+3y-12=0把常数次移到等号右边，再把方程两边都除以 12，就得到截距式讲解这个例题时，要顺便解决好下面几个问题：(1)直线的点斜式、两点式方程由于给出的点可以是直线上的任意点，因此是不唯一的，一般不作为最后结果保留，须进一步化简；(2)直线方程的一般式也是不唯一的，因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的方程与原方程同解，一般方程可作为最终结果保留，但须化为各系数既无公约数也不是分数；(3)直线方
5、程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的，如无特别要求，可作为最终结果保留例 2 把直线 l 的方程 x-2y+6=0 化成斜截式，求出直线 l 的斜率和在 x 轴与 y 轴上的截距，并画图解：将原方程移项，得 2y=x+6，两边除以 2 得斜截式：- 4 -x=-6根据直线过点 A(-6，0)、B(0，3)，在平面内作出这两点连直线就是所要作的图形(图1-28)本例题由学生完成，老师讲清下面的问题：二元一次方程的图形是直线，一条直线可由其方向和它上面的一点确定，也可由直线上的两点确定，利用前一点作图比较麻烦，通常我们是找出直线在两轴上的截距，然后在两轴上找出相应的点连线例 3 证明：三点 A(
6、1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一条直线上证法一 直线 AB 的方程是：化简得 y=x+2将点 C 的坐标代入上面的方程，等式成立A、B、C 三点共线A、B、C 三点共线- 5 -|AB|+|BC|=|AC|，A、C、C 三点共线讲解本例题可开拓学生思路，培养学生灵活运用知识解决问题的能力例 4 直线 x+2y-10=0 与过 A(1，3)、 B(5，2)的直线相交于 C，此题按常规解题思路可先用两点式求出 AB 的方程，然后解方程组得到点 C 的坐标，再求点 C 分 AB 所成的定比，计算量大了一些如果先用定比分点公式设出点 C 的坐标(即满足点 C 在直线 AB 上)，然后代入
7、已知的直线方程求 ，则计算量要小得多代入 x+2y-10=0 有：解之得 =-3(四)课后小结(1)归纳直线方程的五种形式及其特点(2)例 4 一般化：求过两点的直线与已知直线(或由线)的交点分以这两点为端点的有向线段所成定比时，可用定比分点公式设出交点的坐标，代入已知直线(或曲线)求得- 6 -五、布置作业1(16 练习第 1 题)由下列条件，写出直线的方程，并化成一般式：(2)经过点 B(4，2)，平行于 x 轴；(5)经过两点 P1(3，-2)、P2(5，-4)；(6)x 轴上的截距是-7，倾斜角是 45解：(1)x+2y-4=0； (2)y-2=0； (3)2x+1=0；(4)2x-y
8、-3=0； (5)x+y-1=0； (6)x-y+7=03(习题二第 8 题)一条直线和 y 轴相交于点 P(0，2)，它的倾斜角- 7 -4(习题二第十三题)求过点 P(2，3)，并且在两轴上的截距相等的直线方程5(习题二第 16 题)设点 P(x0，y0)在直线 As+By+C=0 上，求证：这条直线的方程可以写成 A(x-x0)+B(y-y0)=0证明：将点 P(x0，y0)的坐标代入有 C=-Ax0-By0，将 C 代入 Ax+By+C=0 即有 A(x-x0)+B(y-y0)=06过 A(x1，y1)、B(x2，y2)的直线交直线 l：Ax+By+C=0 于 C，六、板书设计- 8 -
