1、数值分析第二次 SY1107214 王宽第 1 页一、 题目分析使用带双步位移的 QR 分解法求矩阵 的全部特使用带双步位移的 QR 分解10ijAa法求矩阵的全部特征值，并对其中的每一个实特征值求相应的特征向量。已知：(i,j=1,2,10)sin(0.5.2)(1co1ijijija二、 算法设计1. 按照题目给出的矩阵定义对矩阵 A 赋初值：对应的函数为 initA()；2. 为了减少求特征值和特征向量过程中的计算量，在对矩阵进行 QR 分解前先进行拟上三角化：对应的函数为 nssj()； 3. 对拟上三角化后的矩阵 A 使用带双步位移的 QR 分解法逐次迭代（最大迭代次数L=500）
2、，逐个求出其特征值，对应的函数为 tezhengzhi()；这个过程中包含着两个子程序：QR() 和 qmk()，分别用来对矩阵 Mk 进行 QR 分解并得到 Ak+1 和计算 mk 的值；4. 使用带原点平移的反幂法求出其对应的特征向量，对应的函数为：fmifa()，这个过程中求解线性方程时用到列主元的高斯消元法，对应的函数为：gauss(double );根据数值分析课本的相关知识，步骤 3 中带双步位移的 QR 分解法的流程图如下：数值分析第二次 SY1107214 王宽第 2 页本次作业开始结束拟上三角化得到 A （ n - 1 ）A 1 = A （ n - 1 ）k = 1 m =
3、n | | #includedouble A1010,rr1010,qq1010,rq1010,uk1010;double xy10,x10=0; /反幂法中double tzr10=0,tzi10=0; /定义矩阵的特征值数组 ,r 实部、i 虚部/对矩阵 A 进行初始化，赋值void initA()int i,j;for(i = 1; i = 0) return 1;else return -1;/计算 A 的特征值的函数（课本 P63 11 步）int tezhengzhi()int k=1,m=9,n=9;int flag=0;double ms ,mt,mk1010;/step5do
4、uble detdk,fb,temp,s1_r,s1_i,s2_r,s2_i; void qmk(double mk1010,int m,double ms,double mt); /声明求 mk 的函数void QR (double mk1010,int m) ; /声明对 mk 进行 qr 分解的函数while (1)if (-1e-12v1)?v1:v2); double max(double v1,double v2,double v3)double temp;temp= (v1v2)?v1:v2); return (tempv3)?temp:v3);/构造函数 translation
5、 用于进行原点平移void translation (double x) int i=0,j=0;for(i=0;i=0;k-) f= 0;for (j=k+1;j= fabs(beita2)*exp(-12);for (m=0;m10;m+) xym=ym; / 主程序void main()int i,j;initA();nssj() ;数值分析第二次 SY1107214 王宽第 12 页printf(“经过上三角化后的矩阵为： nn “);for (i=0;i10;i+)for (j=0;j10;j+)printf(“%.12e “,Aij);printf(“nn“); /求矩阵特征值te
6、zhengzhi();printf(“矩阵 A 各个特征值的实部及虚部为：nn“);for (i=0;i10;i+)printf(“第%d 个特征值为：（%.12e ，%.12ei）nn“,i+1,tzri,tzii); printf(“nn “);printf(“经带双步位移的 QR 分解后的矩阵为：n “);for (i=0;i10;i+)for (j=0;j10;j+)if (-1.0e-12Aij printf(“%.12e “,Aij);printf(“nnn“); initA();printf(“特征向量如下：nn“);for (i=0;i10;i+)if (tzii != 0)
7、continue ;else initA() ;translation (tzri) ;fmifa();printf(“特征值 %.12e 对应的特征向量为： （“,tzri);for (j=0;j9;j+)数值分析第二次 SY1107214 王宽第 13 页 if (-1.0e-12xyj printf(“%.12e “,xyj+tzri);if (j= 9) if (-1.0e-12xyj printf(“%.12e“,xyj+tzr9);printf(“）nn “);四、 输出结果1. 经过上三角化后的矩阵即:-8.827516758830e-001 -9.933136491826e-0
8、02 -1.103349285994e+000 -7.600443585637e-001 1.549101079914e-001 -1.946591862872e+000 -8.782436382927e-002 -9.255889387184e-001 6.032599440534e-001 1.518860956469e-001-2.347878362416e+000 2.372370104937e+000 1.819290822208e+000 3.237804101546e-001 2.205798440320e-001 2.102692662546e+000 1.8161380860
9、98e-001 1.278839089990e+000 -6.380578124405e-001 -数值分析第二次 SY1107214 王宽第 14 页4.154075603804e-0010.000000000000e+000 1.728274599968e+000 -1.171467642785e+000 -1.243839262699e+000 -6.399758341743e-001 -2.002833079037e+000 2.924947206124e-001 -6.412830068395e-001 9.783997621285e-002 2.557763574160e-0010
10、.000000000000e+000 0.000000000000e+000 -1.291669534130e+000 -1.111603513396e+000 1.171346824096e+000 -1.307356030021e+000 1.803699177750e-001 -4.246385358369e-001 7.988955239304e-002 1.608819928069e-0010.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 1.560126298527e+000 8.125049397515e-00
11、1 4.421756832923e-001 -3.588616128137e-002 4.691742313671e-001 -2.736595050092e-001 -7.359334657750e-0020.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 -7.707773755194e-001 -1.583051425742e+000 -3.042843176799e-001 2.528712446035e-001 -6.709925401449e-001 2.5446199290
12、82e-0010.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 -7.463453456938e-001 -2.708365157019e-002 -9.486521893682e-001 1.195871081495e-001 1.929265617952e-0020.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000
13、000e+000 0.000000000000e+000 -7.701801374364e-001 -4.697623990618e-001 4.988259468008e-001 1.137691603776e-0010.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 7.013167092107e-001 1.582180688475e-001 3.86259461
14、4233e-0010.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 4.843807602783e-001 3.992777995177e-0012. 矩阵 A 各个特征值的实部及虚部为：数值分析第二次 SY1107214 王宽第 15 页3. 经带双步位移的 QR 分解后的矩阵为：3.383039617436e+000 8.9
15、48776735202e-001 -8.956760626575e-001 8.465153677934e-002 2.612677876847e-001 1.610398501091e+000 -1.022613073552e+000 9.371886210517e-002 -1.002578700827e+000 -数值分析第二次 SY1107214 王宽第 16 页4.086260812135e-0010.000000000000e+000 -2.118477444213e+000 -2.361527904476e+000 -3.455612566063e-002 -4.73664103
16、1449e-002 1.816397532103e+000 -2.318977562028e-001 -1.435516012783e-001 -6.537076947730e-001 3.227152128950e-0020.000000000000e+000 3.555130807938e-001 -2.528514976210e+000 -6.375262961974e-001 2.023867361503e-002 1.838634248158e+000 1.868763022455e-001 -2.932577853277e-001 1.987065844256e+000 1.004
17、631189744e+0000.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 1.577548557113e+000 -1.396212144889e-002 -6.971943990408e-001 1.555685237633e-001 8.405054265524e-003 -8.154391705514e-002 -1.086119035359e-0010.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 -1.
18、484039822259e+000 -1.005291633153e-001 4.249889459973e-002 2.623603124719e-002 1.040075636749e-001 -1.180720843108e-0010.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 -6.948721401107e-001 -5.289206673609e-001 2.679156722087e-001 -5.962368505233e-00
19、1 -4.911592278103e-0010.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 1.788270336426e-001 -1.266189772470e+000 4.715000043047e-002 2.904780036855e-001 -3.570390801052e-0020.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+0
20、00 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 9.355889078188e-001 1.877411051033e-001 1.360256519262e-0010.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 6.360511809728e-00
21、1 2.737034413363e-0010.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 数值分析第二次 SY1107214 王宽第 17 页0.000000000000e+000 0.000000000000e+000 2.457609935855e-005 5.651649653672e-0024. 特征向量如下：特征值 3.383039617436e+000 对应的特征向量为：（2.38304426
22、9616e+000 4.356301670926e+000 2.966232952005e+000 3.414040144924e+000 3.192820812991e+000 3.460517224709e+000 3.228349157601e+000 3.896462664798e+000 3.720436504998e+000 1.407124666763e-001）特征值 1.577548557113e+000 对应的特征向量为：（5.775526303775e-001 2.527748803591e+000 8.788044927043e-001 1.776934466823e+
23、000 1.562614187082e+000 1.952049971107e+000 2.083198669547e+000 1.094012955120e+000 1.161445426852e+000 -1.757901376022e-001）特征值 -1.484039822259e+000 对应的特征向量为：（-2.484038225520e+000 -5.099127549892e-001 -1.482753404281e+000 -1.485855328801e+000 -1.482839987797e+000 -1.484361479621e+000 -1.48405855905
24、4e+000 -1.484024423030e+000 -1.483903316970e+000 5.643548274400e-002）特征值 9.355889078188e-001 对应的特征向量为：（1.935588258075e+000 1.901412405301e-003 9.266810627717e-001 9.227337801051e-001 1.117265920074e+000 1.152411293463e+000 1.036047182172e+000 8.504471461628e-001 1.918379516879e+000 4.231871259198e-0
25、01）特征值 6.360627875746e-001 对应的特征向量为：（1.636059572970e+000 -2.923128459354e-001 6.320831305311e-001 5.930763385190e-001 6.697581334639e-001 8.041619000235e-001 7.582805783539e-001 4.869294230054e-001 1.670372957726e+000 3.319746006653e-001）特征值 5.650488993501e-002 对应的特征向量为：（1.056412644529e+000 8.987792
26、003496e-001 -2.984952851574e-001 1.924677455004e-002 数值分析第二次 SY1107214 王宽第 18 页1.079212926993e+000 3.452840316522e-001 9.781700222144e-001 3.387720159241e-001 -5.750939079567e-001 7.823951199462e-001）五、 学习体会前期的课程学习中对于这部分用 QR 分解法求取矩阵特征值的算法还有比较多的疑问和怀疑，经过这次作业自己完成了这一算法的程序并且成功的计算出了题目中给定矩阵的特征值及其相应特征向量等等相关量，使我对 QR 分解、高斯消元等算法有了更加清晰的了解，使我了解到在工程实践中如何求取相关量，同时也更加增添了我学习数值分析这门课的兴趣和信心，在今后的学习中我定会继续努力，争取能够早日有更大的进步。
