1、高中数学讲义1思维的发掘 能力的飞跃典例分析题型一 指数函数的定义与表示【例 1】 求下列函数的定义域(1) (2) (3) (4) 32xy213xy512xy10.7xy【例 2】 求下列函数的定义域、值域 ； ； 1xy3xy210.5xy【例 3】 求下列函数的定义域和值域：1 2xay 31)(xy【例 4】 求下列函数的定义域、值域(1) ； (2) . (3)10.4xy513xy21xy板块二.指数函数高中数学讲义2 思维的发掘 能力的飞跃【例 5】 求下列函数的定义域(1) ; (2) .13xy51yx【例 6】 已知指数函数 且 的图象经过点 ，求 ， ， 的()0,xf
2、a1)a(3,)(0)f1f(3)f值【例 7】 若 ， ，且 ，则 的值为（ ）1a0b2babaA B 或 C D 622题型二 指数函数的图象与性质【例 8】 已知 ，比较下列各组数的大小：1abc ； ； ； _ba1c1_bca_abc【例 9】 比较下列各题中两个值的大小： ， ； ， ； ， 2.51730.180.20.317.19【例 10】 比较下列各题中两个值的大小(1) (2)0.8.73， 0.10.175，(3) (4)2.3.513.4.59高中数学讲义3思维的发掘 能力的飞跃【例 11】 已知下列不等式，比较 m、n 的大小(1) (2)2mn0.2.mn(3)
3、 (4)01a 1a【例 12】 图中的曲线是指数函数 的图象，已知 取 四个值，则相应于曲线xyaa413,05的 依次为_1234,ca c4c3 c2c1P4P3P2 P11Oyx【例 13】 已知 ，函数 ，若实数 满足 ，则 的大小关系512a()xfamn， ()ffnm，为 【例 14】 设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是 42a31b6cabc【例 15】 若对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围1,2x2xmm高中数学讲义4 思维的发掘 能力的飞跃【例 16】 判断函数 的单调性1()3xy【例 17】 函数 （ ）|()xfeA是奇函数，在 上是减函数 B是偶函数，在
4、 上是减函数,0(,0C是奇函数，在 上是增函数 D是偶函数，在 上是增函数) )【例 18】 已知函数 f(x)为偶函数，当 时， ,求当 时， 的0x，12xf0，fx解析式.【例 19】 证明函数 和 的图象关于 y 轴对称。xayx)10(a且题型三 关于指数的复合函数1.二次函数复合型【例 20】 求函数 单调区间，并证明21xy高中数学讲义5思维的发掘 能力的飞跃【例 21】 函数 的单调增区间为 ，值域为 21()3xf【例 22】 函数 ，求 在 上的最小值()42xf()fx0,)【例 23】 求函数 的值域1()423xxfa(R)【例 24】 已知 ，当其值域为 时， 的
5、取值范围是 432xxy1,7x【例 25】 求下列函数的单调区间 （ ，且 ） ；23xya01a已知 ，求函数 最值919x 11()4()52xxy【例 26】 函数 的单调增区间是 281(0)xya【例 27】 设 ，当 时， 的图象在 轴上方，求 的取值()124()xxfaR(,1x()fxxa范围高中数学讲义6 思维的发掘 能力的飞跃【例 28】 如果函数 在区间 上的最大值是 ，求 的值21(0,)xyaa1,14a【例 29】 求函数 的单调区间及其值域1()1(3,2)42xxf【例 30】 已知 ，求函数 的最大值和最小值12x 1()329xfx【例 31】 求函数
6、的最小值，并指出使 取得最小值时 的值42xxfa fxx2.分式函数复合型【例 32】 当 a1 时，证明函数 是奇函数1()xaf高中数学讲义7思维的发掘 能力的飞跃【例 33】 求证下列命题：(1) （a0，a1) 是奇函数；2xf(2) （a0，a1）是偶函数.()xf【例 34】 已知函数 ，21xf(1)判断函数 的奇偶性；(2)求证函数 在 上是增函数.fx，【例 35】 讨论函数 的奇偶性、单调性，并求它的值域21()xf【例 36】 已知 ，判断函数的单调性、奇偶性，并求 的值域10()xf ()fx高中数学讲义8 思维的发掘 能力的飞跃【例 37】 正实数 及函数 满足 ，
7、且 ，求 的最12x，fx14xf12fxf12fx小值【例 38】 设 ， ，若 为奇函数，求 的值aR2()()1xfaR()fxa【例 39】 在计算机的算法语言中有一种函数 叫做取整函数（也称高斯函数） ，它表示 的整x x数部分，即 是不超过 的最大整数例如： ， ， 设函数xx23.12.63，则函数 的值域为 21()xf()yffx题型四 其他综合题目【例 40】 小明即将进入一大学就读，为了要支付 4 年学费，小明欲将一笔钱存入银行，使得每年皆有 40000 元可以支付学费而银行所提供的年利率为 6%，且为连续复利，试求出小明现在必须存入银行的钱的数额【例 41】 求函数 的
8、单调区间23xy高中数学讲义9思维的发掘 能力的飞跃【例 42】 已知函数 ，|2|xy 作出函数的图象； 根据图象指出函数的单调区间； 根据图象指出当 取什么值时，函数有最值x【例 43】 方程 的解的个数为 2x【例 44】 已知函数 ，|12xf若 ，求 的值；()f若 对于 恒成立，求实数 的取值范围20tmft 12t， m【例 45】 函数 的定义域为 M，当 xM 时，求 的最值.2lg34yx 234xxf【例 46】 设 a 是实数， (xR)21fxa(1)试证明对于任意 为增函数；f，(2)试确定 a 值，使 f(x)为奇函数.高中数学讲义10 思维的发掘 能力的飞跃【例
9、 47】 因为复杂的函数，往往是由多个简单函数的加、减、乘、除运算得到，或者是多个函数的复合后得到的，比如下列函数： ，则22xfgxh， ，复合后可得到函数 和 ，像这样，fxg， xxg xff一个函数的函数值作为另一个函数的自变量的取值，得到的函数称为复合函数；也可以由 进行乘法运算得到函数 所以我们在研究较复杂的函数fx， 2xfxg时，常常设法把复杂的函数进行逆向操作，把其拆分转化为简单的函数，借助简单函数的性质进行研究复合函数 的解析式为 ；其定义域为 fhgx可判断 是增函数，那么两个增函数相乘后得到的新函数是否一2xf定是增函数？若是请证明，若不是，请举一个反例；已知函数 ，若 ，则 的取值范围为 xfx12ffx请用函数 中的两个进行复合，得到三22lnxfgxhk， ， ，个函数，使它们分别为偶函数且非奇函数、奇函数且非偶函数、非奇非偶函数【例 48】 已知函数 ，其中 ， 2()()1xafx0a1判断函数 的奇偶性；f判断函数 的单调性，并证明()fx
