1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国新课标 1理科数学第卷一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1.已知集合 2|30Ax， |2Bx，则 AB（ ）.,1 B., C.1, D.,2.32()1i（ ）.A. i B. i C. 1i . 1i3.设函数 ()fx， g的定义域都为 R，且 ()fx是奇函数， ()gx是偶函数，则下列结论正确的是（ ）. A. ()f是偶函数 B. ()fg是奇函数C. gx是奇函数 D. x是奇函数4.已知 F是双曲线 ： 23(0)xmy的一个焦点，则点 F到 C的一条
2、渐近线的距离为（ ）.A. 3 B. C. .5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ）. 18 . 3 . 58 D. 76.如图，圆 O的半径为 1， A是圆上的定点， P是圆上的动点，角 x的始边为射线 OA，终边为射线 P，过点 P作直线 的垂线，垂足为 M，将点 到直线 O的距离表示为 的函数 ()fx，则 ()yfx在0,上的图像大致为（ ）.7.执行下图的程序框图，若输入的 ,abk分别为 1,2,3，则输出的 M（ ）.A. 203 B. 72 C. 165 D.1588.设 (,)， (0,)，且 sintaco，则
3、（ ）.A.32 B. 32 C. 2 D. 29.不等式组 14xy的解集记为 D.有下面四个命题：1p： (,),2， 2p： (,),2xyDy,3P： 3xyy， 4： 1.其中真命题是（ ）.A. 2p， 3 B. 1p， 2 C. 1p， 4 . 1p， 3P10.已知抛物线 C： 28yx的焦点为 F，准线为 l， P是 l上一点， Q是直线 PF与 C的一个焦点，若4FPQ，则 |F（ ）.A. 72 B. 3 . 52 D.11.已知函数 3()1fxa，若 ()fx存在唯一的零点 0x，且 ，则 a的取值范围为（ ）.2, ., C.,2 .,112.如图，网格纸上小正方形
4、的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）.A.62 B.6 .42 D.4第卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21 ）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题- 第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题 5分.13. 8()xy的展开式中 27xy的系数为 .（用数字填写答案）14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A， B， C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 城市；乙说：我没去过 C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为 .15.已知 A， B， 是
5、圆 O上的三点，若 1()2ABC，则 A与的夹角为 .16.已知 ,abc分别为 ABC的三个内角 ,ABC的对边， 2a，且 ()sin)(sinbABcbC，则 ABC面积的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12 分）已知数列 na的前 项和为 nS， 1a， 0n， 1nnaS，其中 为常数.（）证明： 2n；（）是否存在 ，使得 为等差数列？并说明理由.18.（本小题满分 12 分）从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x
6、和样本方差 2s（同一组数据用该区间的中点值作代表） ；（）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z服从正态分布 2(,)N，其中 近似为样本平均数 x， 2近似为样本方差 2s.（i）利用该正态分布，求 (18712.)PZ；（ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X表示这 100 件产品中质量指标值为于区间187.,2的产品件数，利用（i）的结果，求 E.附： 50.，若 Z 2(,)N，则 ()0.682PZ，()0.954P.19.（本小题满分 12 分）如图三棱锥 1ABC中，侧面 1BC为菱形， 1ABC.（）证明： 1ACB；（）若 ， o60， ABC，
7、求二面角 1ABC的余弦值.20.（本小题满分 12 分）已知点 0,2A，椭圆 E：21(0)xyab的离心率为 32， F是椭圆的右焦点，直线 F的斜率为 3， O为坐标原点.（）求 的方程；（）设过点 A的动直线 l与 E相交于 ,PQ两点，当 OP的面积最大时，求 l的方程.21.（本小题满分 12 分）设函数1()lnxxbefa，曲线 ()yfx在点 1,()f处的切线方程为 (1)2yex.（）求 ,ab；（）证明： ()1fx.请考生从第（22） 、 （23 ） 、 （24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔
8、在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图，四边形 ABCD是 O的内接四边形， AB的延长线与 DC的延长线交于点 E，且 CB（）证明： E；（）设 不是 的直径， 的中点为 M，且 ，证明： A为等边三角形.23.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程已知曲线 C：219xy，直线 l： 2xty（ 为参数）.（）写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程；（）过曲线 上任一点 P作与 l夹角为 o30的直线，交 l于点 A，求 |P的最大值与最小值.24. （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲若 0,ab，且 1ab
9、.（）求 3的最小值；（）是否存在 ,，使得 236？并说明理由.参考答案一、选择题ADCAD CDCBB CB二、填空题13. 20 14. A 15. 2 16. 3三、解答题17.（ 1）证明：由题意得 121nnaS所以 121nnna又因为 0所以 1n所以 2a（2 ）解：假设存在 ，使得 na为等差数列.由（1）知 1213a因为 1所以 23a因为 12所以 所以 4故 2,na所以 1是首项为 1，公差为 4 的等差数列， 2143;na2na是首项为 3，公差为 4 的等差数列， 241.na所以 1,2.na因此存在 ，使得 为等差数列.18.解：（1 ）抽取产品的质量指
10、标值的样本平均数 70.2180.9.20.3x43222231.s0.10.4.083.5（2 ） （1）由（1 ）知， 2,15Z，从而870.201.682PPZ（2 ）由（1 ）知，一件产品的质量指标值位于区间 7,.的概率为 0.682依题意知 ,.682XB，所以 .EX19.解：（1 ）连结 1C，交 于 O，连结 A.因为侧面 1BC为菱形，所以 11BC，且 O为 1BC与B的中点.又 1O，故 1AB（2 ）因为 C且 为 C的中点，所以 AOC又因为 B，所以 OA故 ，从而 ， ， 1两两互相垂直.以 O为坐标原点，的方向为 x轴正方向， B为单位长，建立如图所示空间直
11、角坐标系 Oxyz.因为 160CB，所以 1CBA为等边三角形.又 AC，则3,A， ,， 130,， 30,130,AB， 13,0AB，1,0C设 ,nxyz是平面 1AB的法向量，10AB即30zx所以可取 ,3n设 m是平面 1ABC的法向量，则 10mBCA同理可取 ,3则 1cos,7n所以二面角 1ABC的余弦值为 .20.解：（1 ）设 ,0Fc，由条件知， 23c，得 c又 32a，所以 a， 22b1故 E的方程为 214xy.（2 ）依题意设直线 l： kx将 ykx代入214y得21460当 23k，即 234k时，21,28431kx从而22212413kPQkx又
12、点 O到直线 的距离 2dk，所以 OPQA的面积214321OPQSdA设 43kt，则 0， 24OPQtStA因为 t，当且仅当 t，即 7k时等号成立，且满足 0所以当 OPQA的面积最大时， l的方程为72yx.21.解：（1 ）函数 f的定义域为 0,， 112lnxxxxabfee,由题意可得 2, 1e故 ,.ab（2 ）由（1 ）知， 12lnxxfe从而 f等价于 2lnxe.设函数 lgx，则 lg.所以当 0,e时， 0x;当 1,e时, 0gx.故 gx在 1,单调递减，在 ,单调递增，从而 在 ,的最小值为e.设函数 2xhe，则 1xhe.所以当 0,1时， 0;
13、当 ,时， 0hx.故 x在 0,1单调递增，在 1,单调递减，从而 hx在 0,的最大值为 1he.综上，当 时， gx,即 f.22.（ 1）由题设得， ,ABCD四点共面，所以 DCBE由已知得， E ,所以（2 ）设 N中 点 为 ，连接 M,则由 ,知 MN所以 O在 上，又 AD不是 O的直径， 为 AD中点，故 OAD即 M所以 /BC,故 E.又 CBE，故 由（1）知所以 AD 为等边三角形。23.（ 1）曲线 C 的参数方程为2cos()3inxy为 参 数直线 l的普通方程为 260（2 ）在曲线 C 上任意取一点 (cos,3in)P到 l的距离为5d4cos3in6则 025in)6sin3dPA其中 为锐角。且tan当 i()1时，25PA取 得 最 大 值当 sin()取 得 最 小 值24.（ 1）由12abab得 ，当且仅当 2ab时等号成立。故3324且当且仅当 2时等号成立。由于 46，从而不存在 ,36使 得 。
