1、 1 2013 年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1设非零实数 ， ， 满足 则 的值为（ ）abc2304abc， ， 22abc（A） 2（B） 0（C） 1（D） 1【答案】A【解答】由已知得 ，(234)(23)0abcbcabc故 于是 ，所以 2()0abc21221abc2已知 ， ， 是实常数，关于 的一元二次方程 有两个非零实xx根 ， ，则下列关于 的一元二次方程中，以 ， 为两个实根的是（ ）1x2x21（A） 22()0cbac（B） 22()0cxbacx（C） xx（D）【答案】B【解答】由于 是关于 的一元二次方程，则 因为20abcx0a， ，且 ，所以
2、，且 12x12x120c， ，22211()a221x于是根据方程根与系数的关系，以 ， 为两个实根的一21元二次方程是 ，即20bacxx22()c3如图，在 RtABC 中，已知 O 是斜边 AB 的中点，CDAB，垂足为 D，DEOC，垂足为 E若 AD，DB ，CD 的长（第 3 题） 2 度都是有理数，则线段 OD，OE，DE ，AC 的长度中，不一定是有理数的为（ ）（A）OD （B）OE（C）DE （D）AC【答案】D【解答】因 AD，DB，CD 的长度都是有理数，所以，OAOBOC 是有理数于是，ODOA AD 是有理2AB数由 RtDOE Rt COD ，知 ， 都是有2O
3、DECO理数，而 AC 不一定是有理数ADB4如图，已知ABC 的面积为 24，点 D 在线段 AC 上，点 F 在线段BC 的延长线上，且 ，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分4CF的面积为（ ） （A）3 （B）4（C）6 （D）8【答案】C【解答】因为 DCFE 是平行四边形，所以 DE/CF，且 EF/DC连接 CE，因为 DE/CF，即 DE/BF，所以 SDEB = SDEC ，因此原来阴影部分的面积等于ACE 的面积连接 AF，因为 EF/CD，即 EF/AC，所以 SACE = SACF因为 ，所以 SABC = 4SACF故阴影部分的面积为 64BCF5对于任意实数 x，
4、y ，z，定义运算“*”为：，3235160xy且 ，则 的值为（ ）xyzz0（A） 6079（B） 82967（C） 543967（D） 163897【答案】C【解答】设 ，则20134m（第 3 题答题）（第 4 题答题）（第 4 题） 3 ，201343m 3297459160m于是 2013329 3233945610697二、填空题6设 ，b 是 的小数部分，则 的值为 3a2a3(2)b【答案】 9【解答】由于 ，故 ，因213329a此 33(2)(b7如图，点 D，E 分别是ABC 的边 AC，AB 上的点，直线 BD 与 CE交于点 F，已知CDF，BFE，BCF 的面积分
5、别是 3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 【答案】 20413【解答】如图，连接 AF，则有：，5=3AEFAEFBBCFDDDSSS，34AFAFCBFEEE解得 ， 108AFS961AFDS所以，四边形 AEFD 的面积是 20438已知正整数 a，b，c 满足 ， ，则0bc2380abc的最大值为 abc【答案】 2013【解答】由已知 ， 消去 c，并整理得20abc280ab（第 7 题答题）（第 7 题） 4 由 a 为正整数及 66，可得 1a3286ba26a若 ，则 ，无正整数解；1259若 ，则 ，无正整数解；40若 ，则 ，于是可解得 ， 3a28b1b5（i）若
6、 ，则 ，从而可得 ；16c362013ac（ii）若 ，则 ，从而可得 539综上知 的最大值为 ab2019实数 a，b，c，d 满足：一元二次方程 的两根为 a，b，一元二次方20xcd程 的两根为 c，d，则所有满足条件的数组 为 2x()， ， ，c【答案】 ， （ 为任意实数）(12)， ， ，(0)， ， ，tt【解答】由韦达定理得， ，abcd由上式，可知 bac若 ，则 ， ，进而 0d1db2dac若 ，则 ，有 （ 为任意实数）c()(0)， ， ， ， ， ，ctt经检验，数组 与 （ 为任意实数）满足条件(2)， ， ， ， ， ，t10小明某天在文具店做志愿者卖笔，
7、铅笔每支售 4 元，圆珠笔每支售 7 元开始时他有铅笔和圆珠笔共 350 支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是 2013元则他至少卖出了 支圆珠笔【答案】207【解答】设 x，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则 4720135，xy所以 ，201371(502)4y 5 于是 是整数又 ，14y20134()34503xyy所以 ，故 y 的最小值为 207，此时 112设 的外心，垂心分别为 ，若 共圆，对于所有的ABCOH， BCO， ， ，求 所有可能的度数【解答】分三种情况讨论（i）若 为锐角三角形因为 ，1802BHCABOCA，所以由 ，可得 ，于是 180
8、60A5 分（ii）若 为钝角三角形ABC当 时，因为 ，90 1802180HABOCA，所以由 ，可得 ，于是 。O312010 分当 时，不妨假设 ，因为 ，90A90BBHAA，所以由 ，可得 ，于是 18BHC31806015 分（iii ）若 为直角三角形当 时，因为 为边 的中点， 不可能共圆，90AOBCHO， ， ，所以 不可能等于 ；当 时，不妨假设 ，此时点 B 与 H 重合，于是总有90（第 12 题答题（i）（第 12 题答题（ii） 6 共圆，因此 可以是满足 的所有角BCHO， ， ， A09A综上可得， 所有可能取到的度数为所有锐角及 12020 分13设 ，
9、， 是素数，记 ，当abcxbcaybzac， ，时， ， ， 能否构成三角形的三边长？证明你的结论2,2zyxa【解答】不能依题意，得 111()()()22yzbxzcxy， ，因为 ，所以 2yzza又由于 为整数， 为素数，所以 或 ， 10 分z3a当 时， 进而， ， ，与 ， 是z224()16zxy， 9b10cbc素数矛盾；15 分当 时， ，所以 ， ， 不能构成三角形的三边长203z0abcabc分14如果将正整数 M 放在正整数 m 左侧，所得到的新数可被 7 整除，那么称 M 为 m的“魔术数”（例如，把 86 放在 415 的左侧，得到的数 86415 能被 7 整
10、除，所以称 86 为415 的魔术数）求正整数 n 的最小值，使得存在互不相同的正整数 ，满12naa， ， ，足对任意一个正整数 m，在 中都至少有一个为 m 的魔术数12naa， ， ，【解答】若 n6，取 1，2，7，根据抽屉原理知，必有中的一个正整数 M 是 7 的公共的魔术数，即 7|(12a， ， ， (ij， j)，7|( )则有 7|( )，但 0 6，矛盾0Mi0ji故 n710 分又当 为 1，2，7 时，对任意一个正整数 m，设其为 位数（ 为12naa， ， ， k正整数）则 （ ，7）被 7 除的余数两两不同若不然，存在正整数 ，0kimi， ， i 7 ，满足 7|( ，即 ，从而 7| ，矛(jij)(0)kkji|10()kji()j 7 盾故必存在一个正整数 7 ，使得 7|( ，即 为 m 的魔术数i(1)10)kii所以，n 的最小值为 720 分
