1、 香 港 樹 仁 學 院經 濟 學 系Working Paper Series 再論多個事件博弈問題的理論和應用潘志昌二零零三年九月Economics DepartmentHong Kong Shue Yan College2Working Paper SeriesSeptember 2003All Rights ReservedISBN: 962-8719-31-9Copyright 2003 by Hong Kong Shue Yan CollegeInformation on the Working Paper Series can be found on the last page.
2、Please address any comments and further inquiries to:Dr. Shu-kam LeeWorking Paper CoordinatorDepartment of EconomicsHong Kong Shue Yan College10 Wai Tsui CrescentBraemar Hill RoadNorth Point Hong Kong Fax: 28068044Tel: 25707110Email: skleehksyc.edu3再論多個事件博弈問題的理論和應用潘志昌一. 導言讀完林公豫先生的多個事件博弈問題的理論和應用大文後，很
3、欣賞他花費在導出了計算賽局中多個事件最適投注額算式的心思和努力。林先生沒有掌握到博弈理論的基礎概念是該文章的最大瑕疵。再者，由於不是對賽局中所有事件都下注，當然會衍生出例如怎樣去選擇或放棄賽局中某些投注事件的客觀準則，和如何估計所選定的一籃子投注事件之贏局期望值等問題；可惜，文章內卻沒有詳細論証。雖然如此，這篇文章仍然是具啟發性的。參加博弈賽局，目的是跟對手一較高低；而較量高低的結果一般是勝敗或贏輸。人們之所以要較量高低或喜歡較量高低，究其原因，除了要顯示自己有過人之處這種不切實際的念頭，不外乎是出於娛樂動機或經濟動機，或該兩個動機不同程度的混合。當然，對耽溺者而言，就另作別論。既然人們對博弈
4、賽局是有需求，除了部份可以隨時隨地組織成局之外，那些規模較大，參與人數較多的賽局，自然會有營辦者會基於與眾同樂、慈善或謀利等動機出來組織；本文就是討論這類型的賽局。博弈理論是研究兩人(或以上)互相會因對方決策而影響個別損益的決策問題，這正是博弈賽局的投注者與營辦者要面對的問題。本文首先討論林先生導出之數學模型 1的創意，然後依據這些公式作為分析多個事件博弈問題的基礎，進而探討賽局的博弈行為，最後嘗試討論營辦者就勝出事件賠率的設定是否公平公道的問題。二. 投注額計算公式首先我們借用林先生文章中的例二作為實例討論，但不同之處是全個賽局只有 9 個事件；用林先生的符號是 n=N，不是 n1，該賽局不
5、是公平博弈。甚至那被錯覺認為賠率為 2 的087.1235C125jj骰子大小博彩，因出現三個骰子點子相同時賠率為零，因此 ， C1，該賽局亦不是公平博弈。香港馬會 2003 年 89.6-61j月推出之規範化足球博彩，以總入球賠率為例，計算出來的 C 值 7 是介於 1.352 與1.360 之間，平均是 1.356；因 C1，足球博彩不是公平博弈。屬於浮動博彩類的賽馬博彩，由賽事開始接受投注起，參考賠率會跟隨各出賽馬匹(即事件) 之投注額的不同增幅而變動，直至賽事截止投注時所公佈的賠率才是實際賠率。經過抽樣計算三天共 29 場的跑馬賽事，發覺由實際賠率算出的 C 值 8是介於1.215 與
6、 1.265 之間，平均是 1.237；因 C1，賽馬博彩不是公平博弈。2. 公道博弈賽局問題的探討在賽局之中，當某一事件出現概率的倒數等於其賠率，由於所有事件的概率加總等於1，所有事件賠率的倒數加總亦等於一；因此，賽局中所有事件賠率倒數的總和等於1 (C=1)，可以作為決定博弈賽局是否公平的指標。上節論及的各項博弈賽局都不是公平賽局，即是說利益總是歸於營辦者。上文已提及，在現實世界 是沒有營辦者會願意向投注者提供無利可圖甚至招致虧損的賽局；因此，我們不應該著眼於博弈賽局是否公平，而是要看是否公道。博弈賽局是否公道，我們可以令 =C-1 (C 是賽局中各事件賠率倒數的總和)，利用 的實際值與其
7、均衡值 的距離作為衡量的準則：實際 值 是透過營辦者所設定的賠率再依據式(5)計算出來的；而 是由那反映營辦者提供賽局之成本、打算謀取之利潤以及在市場上營辦者之總數的賽局供給曲線(或供給量)，那反映投注者由於參與賽局所獲取之滿足感淨值以及在市場上之投注者總數的賽局徒需求曲線，這兩條以 為縱軸投注者數目為橫軸的曲線相交點位置所決定。在一般情況下，若營辦者的成本愈高，在市場上營辦者之總數愈少，投注者將會獲取的滿足感淨值愈大，和在市場上之投注者總數愈多，則 會愈低；反之則反。可惜由於資料搜集的困難和變數的量度問題，要計算出 值似乎是一件徒勞無功的事情。既然定量分析不可行，我們只可用定性分析方法，透過
8、觀察各博彩賽局及其參與者的性質和特徵，再參考其它國家同類型賽局的賠率安排，從而那類賽局是比較公道。雖7 有關之各場賠率及 C 值計算，請參閱附錄三。8 有關之各場賠率及 C 值計算，請參閱附錄四。10然均衡 值只是一個理論概念，但畢竟實際 值的計算己經向我們提供了一個衡量博弈賽局是否公道的指標。例如上述的香港賽馬會組織跑馬賽局所涉及的費用，肯定高過香港馬會足球博彩有限公司組織足球博彩賽局，但足球博彩賽局的平均 值 (1-1.356 = 0.356) 竟會高過跑馬賽事賽局的平均 值 (1-1.237 = 0.237) ；由此可以推斷，就投注者而言，香港的跑馬博彩和規範性足球博彩的賠率，前者較為公
9、道。五. 結論投注者們輸贏的總差額，一方面是營辦者的收入(大概包括營辦賽局的固定和運作成本，法定捐贈，稅捐, 以及利潤 )，另一方面是投注者因參加賽局而獲得滿足感所要付出的代價。本文的主旨就是要探討投注者跟營辦者在有利益衝突的情勢下，策略最佳選擇的數學理論。根據以上分析，我們可以推斷，對投注者而言，他們可以説贏局的機會很高，但不可以説有必贏的賽局。有些投注者，在不計較其支付給營辦者的代價是否公道，亦不考慮是否在賽局中感覺是娛樂，只憑一己對運氣和直覺的信心以及博彩的經驗，以贏取彩金為目標而下注；結果，參與賽局之時間愈長，則輸去的金錢必會愈多。不像上文所述在賽局中所有事件均投注的方法下，賽局的結果(收益或虧損) 是肯定的；當投注者在賽局中只投注某一或者某些事件，賽局的結果便會變為不肯定。這種會導致贏取或輸去某金額的賭博行為，除了數學以外，還涉及諸如倫理學，心理學，社會學，和經濟學等範疇，應該是一項很有意思的研究課題。
