1、期中复习一向量有关概念：1向量的概念 2零向量 3单位向量( )；4相等向量 5平行向量（也叫共线向量）零向量和任何向量平行。|AB6相反向量二向量的表示方法：1几何表示法：如 2符号表示法：如 ；3坐标表示法： aa,xy三平面向量的基本定理：如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 、 ，使 a= e1 e2。如12（1）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. B. C. D. （答：B） ；2(0,)(,)e12(,)(5,7)12(3,5)(6,10)e1213(,)(,)4e四实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向
2、量，记作aa五平面向量的数量积：1两个向量的夹角：对于非零向量 ， ，作 ， 称为向量 ， 的夹角b,OABbAOab2平面向量的数量积：如果两个非零向量 ， ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做 与 的数量积|cosab（或内积或点积） ，记作： ，即 。如acosa（1）ABC 中， ， ， ，则 _ （答：9） ；3| AB4| C5| C（2）已知 ， 与 的夹角为 ，则 等于_（答：1） ；1(,)(0,),2abckbdcd4k（3）已知 ，则 等于_ （答： ） ；5a 23（4）已知 是两个非零向量，且 ，则 的夹角为_（答： ）, 与ab03 在 上的投影为 = ，它是一个实数
3、，但不一定大于 0。ba|cosb|a4向量数量积的性质：设两个非零向量 ， ，其夹角为 ，则： ；bab当 ， 同向时， ，特别地， ；当 与 反向时， ；当222,a ab为锐角时， 0，且 不同向， ；当 为钝角时， 0，且 不反向ab a、 b 、非零向量 ， 夹角 的计算公式： ； 。如:（答： 或 且 ） ；cos|a43013（1）已知 ， ，如果 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是_)2,(a)2,3(bab六向量的运算：1几何运算：“平行四边形法则” “三角形法则”2坐标运算：设 ，则： ， 12(,)(,)xy12(x12)y11,axyy若 ，则 12(,),AxyB1A
4、xyab222| |ax若 ，则 。 221|B七向量平行(共线)的条件： 0。如/ab()(|)12xy(1)设 ，则 k _时，A,B,C 共线 （答：2 或 11）(,12)(4,5)(10,)PkPC八向量垂直的充要条件： .如|ab 12(1)已知 ，若 ，则 （答： ） ；(1,2)(3,)OABmOABm32(2)以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB， ，则点 B 的坐标是_ 90(3)已知 向量 ，且 ，则 的坐标是_ （答：(1,3)或（3，1） ） ；（答：(,)nabn）(,)(,)ba、九、向量中一些常用的结论：（1）在 中，ABC若 ，则其重
5、心的坐标为 。123,xyxy123123,xyG 为 的重心，特别地 为 的重心；()3PGPGABC0PABCPABC 为 的垂心；向量 所在直线过 的内心(是 的角平分线所在直线)；()(0|ACB （2）向量 中三终点 共线 存在实数 使得 且 . 、 、 、 、 、 1（二）解三角形：(1)内角和定理：三角形三角和为 ， (2)正弦定理： (R 为三角形外接圆的半径).2sinisinabcABC注意：正弦定理的一些变式： ； ；iiabc,si,sinabBC2cR；2sin,s,2sniaRAbBRC已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.(3)
6、余弦定理： 等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.222co,caAb(4)面积公式： （其中 为三角形内切圆半径）.11sin()aShbrr如：（1） 中，A、B 的对边分别是 ，且 ，那么满足条件的 C a、=60 4,b ABCA、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定 （答：C） ；（2） 中，若 ，判断 的形状 （答：直角三角形） 。CB222sinicossiAB（3）在ABC 中，若 2cosBsinAsinC，则ABC 的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案：C （4）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平
7、面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 075， 3，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 06，AC=0.1km。试探究图中 B，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B，D 的距离（计算结果精确到 0.01km，21.414， 62.449） （二）数列：1.等差数列的有关概念：（1）等差数列的判断方法：定义法 或 。1(nad为 常 数 ） 11(2)nnaa如：设 是等差数列，求证：以 bn= 为通项公式的数列 为等差数列。na aan21*Nnb（2）等差数列的通项： 或 。1()nad()nmd如等差数列 中，
8、， ，则通项 ；n03205n首项为-24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数，则公差的取值范围是 ；（3）等差数列的前 和： ， 。1()nnaS1()2S如数列 中， ， ，前 n 项和 ，则 ， ；na*12,N3n152nS1an已知数列 的前 n 项和 ，求数列 的前 项和 .n|aT（4）等差中项：若 成等差数列，则 A 叫做 与 的等差中项，且 。,AbbbA2.等差数列的性质：（1）当公差 时，等差数列的通项公式 是关于 的一次函数，且斜率为公差 ；前0d11()ndnnd和 是关于 的二次函数且常数项为 0.n21 1()()ndSana（2）若公差 ，则为递增等差数列，
9、若公差 ，则为递减等差数列，若公差 ，则为常数列。0d（3）当 时,则有 ，特别地，当 时，则有 .mpqqpnm 2mp2mnpa如等差数列 中， ，则 _ ；n1238,1nSSn(4) 若是等差数列，则 ，也成等差数列 23,nn如等差数列的前 n 项和为 25，前 2n 项和为 100，则它的前 3n 和为 。（5）若等差数列 、 的前 和分别为 、 ，且 ，则 .abnAB()f21()()nnaAfnbB如设 与 是两个等差数列，它们的前 项和分别为 和 ，若 ，那么 _；n nST341nnba等差数列 中， ， ，问此数列前多少项和最大？并求此最大值；na125917S若 是等
10、差数列，首项 ， ，则使前 n 项和 成立的最大正整数 n 是 0,a2304a2034a0nS；3.等比数列的有关概念：（1）等比数列的判断方法：定义法 ，其中 或 。1(nq为 常 数 ） ,0nq1na(2)如一个等比数列 共有 项，奇数项之积为 100，偶数项之积为 120，则 为_；na2数列 中， =4 +1 ( )且 =1，若 ，求证： 是等比数列。nS11annab21nb（2）等比数列的通项： 或 。nm如设等比数列 中， ， ，前 项和 126，求 和公比 . n628nnSq（3）等比数列的前 和：当 时， ；当 时， 。q1Sq1()n1na如等比数列中， 2，S 99
11、=77，求 ；963aa（4）等比中项：若 成等比数列，那么 A 叫做 与 的等比中项。A 2=ab,aAbb4.等比数列的性质：（1）当 时，则有 ，特别地，当 时，则有 .mnpqmnpqmnp2mnpaA如在等比数列 中， ，公比 q 是整数，则 =_；384712,512a10各项均为正数的等比数列 中，若 ，则 。n56931323loglloga(2) 若 是等比数列，则数列 ，也是等比数列。 na232,nnnSS如在等比数列 中， 为其前 n 项和，若 ，则 的值为_ ；n 140,130020S5.数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。如已知数列 试写
12、出其一个通项公式：_；,321967,85413已知 （即 ）求 ，用作差法： 。nS12()naf na1,()2nnSa如已知 的前 项和满足 ，求 ；2log1S数列 满足 ，求n125n n已知 求 ，用作商法： 。12()nafA na(),12)nfa如数列 中， 对所有的 都有 ，则 _ ；n,12321 53a若 求 用累加法：1()fn 1221()()()nnn。a(2)如已知数列 满足 ， ，则 =_ ；n1an1()n已知 求 ，用累乘法： 。1()nfn 121naa ()如已知数列 中， ，前 项和 ，若 ，求21Sn已知递推关系求 ，用构造法（构造等差、等比数列）
13、 。特别地， （1）形如 、na 1nakb（ 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 的等比数列后，再求 。1nakb,k na如已知 ，求 ； 已知 ，求 ；132nna11,32nna（2）形如 的递推数列都可以用倒数法求通项。a如已知 ，求 ； 已知数列满足 =1， ，求 ；11,3nn111nnaan注意：（1）用 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（ ，当 时，S 21） ；Sa（2）一般地当已知条件中含有 与 的混合关系时，常需运用关系式 ，先将已知条件转化为只含na 1nnS或 的关系式，然后再求解。n如数列 满足 ，求 ；11154,3nnaSna6
14、.数列求和的常用方法：（1）公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，如等比数列 的前 项和 S 2 ，则 _ ；n 22321na（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 如求和： 1357()nS（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 和公式的推导方法）.n如 已知 ，则 _；2()1xf11()2(3)4()()234ffff（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常
15、选用错位相减法如 数列 中，成才 p30na（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ； ；1()11()()nknk如求和： ；4732在数列 中， ，且 S ，则 n_ ；na1nn解:在ABC 中，DAC=30, ADC=60DAC=30, 所以 CD=AC=0.1 又BCD=1806060=60，故 CB 是CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BD=BA， 在ABC 中， ,ABCsinBCsinA即 AB=,206315sinAC60因此，BD= 。km3.0263故 B，D 的距离约为 0.33km。
