1、1有限单元法复习参考题一、简答题：1、简述应用有限单元法解决具体问题的要点。（1) 将一个表示结构或者连续体的求解域离散为若干个子域（单元） ，并通过他们边界上的结点相互结合为组合体。（2) 用每个单元内所假设的近似函数来分片地表示全求解域内待求的未知场变量。而每个单元内的近似函数由未知场函数（或及其导数，为了叙述方便，后面略去此加注）在单元各个节点上的数值与其对应的插值函数来表达。（3) 通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件）等效的变分原理或者加权余量法，建立求解基本未知量（场函数的结点值）的代数方程或者常微分方程组。2、等效积分形式和等效积分“弱”形式的区别何在？为什么等效积分“弱”形
2、式在数值分析中得到更多的应用？在很多情况下对微分方程的等效积分形式进行分部积分可以得到等效积分的弱形式，如下式 ,其中TTCDE()Fd0（ ） （ u)dC、D、 E、F 是微分算子。像这种通过适当提高对任意函数 和 的连续性 要求，以降低对微分方程场函数 u 的连续性要求所建立的等效积分形式称为微分方程的等效积分“弱”形式。值得指出的是，从形式上看“弱”形式对函数 u 的连续性要求降低了，但对于实际的物理问题却常常较原始的微分方程更逼近真正的解，因为原始微分方程往往对解提出了过分的要求。所以等效积分“弱”形式在数值分析中得到更多的应用。3、什么是 Ritz（里兹）方法？其优缺点是什么？收敛
3、的条件是什么？基于变分原理的近似解法称为 Ritz（里兹） ，解法如下：优缺点：一般来说，使用里兹方法求解，当试探函数族的范围扩大以及待定参数的数目增多时，近似解的精度将会提高。局限性：(1) 在求解域比较复杂的情况下，选取满足边界条件的试探函数，往往会产生难以克服的困难。(2) 为了提高近似解的精度，需要增加待定参数，即增加试探函数的2项数，这就增加了求解的复杂性，而且由于试探函数定义于全域，因此不可能根据问题的要求在求解域的不同部位对试探函数提出不同精度的要求，往往由于局部精度的要求使整个问题求解增加许多困难。收敛的条件：试探函数 ，12nN,.,应 取 自 完 备 函 数 系 列试探函数
4、 连续性要求。应 满 足 m1C4、什么是最小位能原理？该原理在有限单元分析中的作用是什么？对场函数的试探函数有什么要求？如此公式所示 ， 是系统的总位能，它是弹性体变形位能p0p和外力位能之和。该式表明，在所有区域内连续可导的并在边界上满足给定位移条件的可能位移中，真实位移使系统的总位能取驻值。在所有的可能位移中，真实位移使系统总位能取得最小值，因此 所表达的称为p0最小位能原理。利用最小位能原理求得位移近似解的弹性变形能是精确解变性能的下界，即近似的位移场在总体上偏小，也就是说结构的计算模型显得偏于刚硬。要求：最小位能原理的试探函数-位移，应事先满足几何方程和给定的位移的边界条件。5、有限
5、单元法中单元的位移模式为什么通常采用多项式作为近似函数？选择广义坐标有限元位移模式的一般原则是什么?因为多项式运算简便，并且随着项数的增多，可以逼近任何一段光滑的函数曲线，多项式的选择应由低次到高次。一般原则：（1) 广义坐标是由结点场变量确定的，因此它的个数应与结点自由度数相等。（2) 选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备。（3) 多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式以提高单元的精度。6、在有限单元法中，保证有限元解收敛有哪些准则? 六节点三角形单元是收敛的单元吗？为什么？3完备性要求。如果出现在泛函中的场函数的最高阶导数是 m 阶，则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试
6、探函数至少是 m 次完全多项式。协调性要求。如果出现在泛函中的最高阶导数是 m 阶，则试探函数在单元交界面上必须具有 连续性，即在相邻单元的交界面上函数应有直至 m-1 阶m-1C的连续导数。不是收敛单元，因为不满足完备性要求和协调性要求。7、何谓位移元？为什么位移元解具有下限性？请给出力学上的解释。位移元：以位移为基本未知量，并基于最小位能原理建立的有限元称之为位移元。位移元解具有下限性可以解释如下：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以结点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的形变进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此连续
7、体的整体刚度随之增加，离散后的 较实际K的 K 为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。8、什么是拉格朗日单元和 Serendipity 单元？比较这两种单元的各自特点。拉格朗日单元特点：（1）插值函数构造方便；（2）内部结点较多，单元的次数越高相应自由度越高；（3）单元阶次增高，非完全高次项增加。Serendipity 单元作用是：不改变精度的条件下，减少内部结点，即对 Lagrange 单元简化 。9、什么是阶谱单元？如何在有限单元法中采用阶谱单元？相对于通用的标准单元有何好处？阶谱单元：特点：（1）插值函数（阶谱函数）不再具有“0-1 特性” 。（2）高阶单元的单元特性矩阵可承袭低
8、阶单元的单元特性矩阵。在用于自适应分析中可以节省编程的工作量。10、什么是等参变换？在有限单元法中，等参数单元的主要优点是什么?等参变换是指单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结点参数及相同的插值函数进行变换。优点是借助于等参元可以对于一般的任意几何形状的工程问题方便地进行有限元离散。 等参元的插值函数是用自然坐标给出的，等参元的一切计算（如单元刚度矩阵、单元载荷列阵等）都是在自然坐标系中规格化的 母单元内进行，相关运算大大简化。 不管各个积分形式的矩阵的被积函数如何复杂，都可以采用标准化的数值积分方法计算，从而使工程问题的有限元分析纳入了统一的 通用化程序。11、等参元计算中数值积分
9、阶次的选择应遵循哪些原则？如何检查所采用的积分方案是否满足所述的原则？1.保证积分的精度。2.保证结构总刚度矩阵 k 是非奇异的。对于一个给定形式的单元,如果采用精确积分,则插值函数中所有项次在 1J=常数的条件下能被精确积分,并能保证刚度矩阵的非奇异性。如果采用减缩积分,因为插值函数中只有完全多项式的项次能被精确积分,因此需要进行4刚度矩阵非奇异必要条件的检查。若能通过检查,则可以考虑采用减缩积分方案,以减少计算工作量,并可能对计算结果有所改进。12、简述有限元网格划分的基本原则。网格疏密的布置，不连续处的网格自然划分，不同密度划分网格过渡13、什么是自适应分析方法？用什么方法进行自适应的重
10、分析？自适应有限元技术是一种根据中间计算结果自动控制计算过程的求解偏微分方程的方法。它主要利用中间计算结果自动计算所需的网格，选取最佳离散方式，从而逐步对误差做适当调节以达到所需精度。h 型改进，p 型改进14、为什么双线性四边形单元用于弯曲应力分析时表现出较差的性能？不能有重节点不能出现内角大于 180 o 的情况内角最好介于 30 o -150 o 之间（有限变形的情况）15、什么是罚函数法？罚函数法求解近不可压缩弹性力学问题时的有限元方程系数矩阵应具有什么性质？如何保证它具有这样的性质？k1 非奇异，k2 奇异，k1+ak2 非奇异二、计算分析题：1、 试写出下述定解问题的等效积分形式和
11、等效积分弱形式，并说明构造“弱”形式的意义。 onyxuiyx ),(),( ),(-22（提示：利用 Green 公式： ， vdxyudSuvd)(为 ）n的 单 位 外 法 向52、已知： , 其中 L)x(0 )()(2 xQdA，边界条件为： ； 。L)(/ 0/1)(xQ0)(10Lxd假设近似函数为 ，试用配点法，子域法和3210xaxax伽辽金法求解。63、某问题的微分方程是 ，边界条件为in 02Qcyx，21n oq其中，c 和 Q 仅是坐标的函数，证明此方程的微分算子是自伴随的，并建立相应的自然变分原理。74、弹性薄板的控制方程为： ，建立周边固支时的自Dqywxw424
12、4然变分原理。85、如有一问题的泛函为，LdxqwkdxEIw022)()(9其中， 是常数， 是给定函数， 是未知函数，试导出原问题的微分kIE,qw方程和边界条件。6、考虑如图 1 所示悬臂梁，设其跨长为 ，抗弯刚度为 ，在梁的中部lEI及端点 处受集中荷载 作用。2lxlxP（1）若用 Ritz（里兹）法计算粱的挠度曲线方程，试问：是否可取如下表达式?，其中， 为待定常数。)cos1(lxawa（2）若是可以，试利用最小位能原理求出相应的挠度曲线方程。10图 17、证明三节点三角形单元的形状函数满足， 及 jiyxNijji ,01),( 1mjiN118、设有一弹性平面问题，厚度为 ，
13、弹性模量为 ，泊松比 ，对于如图 2tE0所示的三节点三角形单元，试计算其单元刚度矩阵。图 29、对如图 3 所示四边形单元，试计算其单元刚度矩阵，写出其基本思路即可。图 310、试用“试凑法”构造图 4 各节点形函数，要求写出详细的计算过程。12图 411、利用构造变结点数单元插值函数的方法，构造如图 5 所示 8 结点单元的插值函数。图 512、 （1）图 6 所示为二次四边形单元，试计算 和 在自然坐标为xN/1y/2的点 Q 的数值（因为单元的边是直线，可用 4 个结点定义单)2/,(元的几何形状） 。1314（2）图 7 所示为二次三角形单元，试计算 和 在点xN/4y/4的数值。)
14、0.,51(P图 6 图 71513、对如图 8 所示的四边形单元（见左图）（1）写出将该单元变换到一边长为 2 的正方形单元（见右图）的坐标变换。（2）计算该单元的雅可比（Jacobi）矩阵。要求写出详细计算过程。图 814、有一个三角形单元，受有如图 9 所示的分布载荷，试计算该单元的等效节点载荷列阵。要求写出详细的计算过程。16图 9 图 1015、图 10 为一给定的六节点三角形单元，在 边上作用有线性分布的面载荷jm（ 方向） ，假设单元厚度为 ，试用两种不同的方法求单元等效节点载荷xt列阵。要求写出详细的计算过程。171816、图 11 为一边长为 2 的八节点正方形单元，它的边界
15、平行于整体坐标轴，在边 152 上受有均布表面荷载， ，假设单元厚度为 ，试求单元等效0Pyt节点载荷。要求写出详细的计算过程。图 1117、考虑如图 12 所示受均布载荷作用的悬臂梁，将其剖分成两个单元，单元和节点编号如图所示，设节点位移和节点力分别为 和 ，T),(jvT),(jjMF，已知平面梁单元单元刚度矩阵为3,21j，2234661 lllllEIeK其中， 为长度， 为抗弯刚度，试求节点 2 和节点 3 的位移值，要求写lI出详细计算过程。图 12192018、图 13 所示正方形薄板，边长为 ，厚度为 ，不计体力。设泊松比 ，at 0弹性模量为 ，结点编号及单元划分如图 13
16、所示，试求：E（1）单元和单元 对应的刚度矩阵 和 。要求写出详细的计算过K程。（2）结构的总体刚度矩阵 ，计算各结点位移，并求解其主应力和主方向。要求写出详细的计算过程。图 131. 定义单元数据 iimiimjij imijmijb =y -, C=-x+ -, -i j m bi bj bm ci cj cm 4（1,0）1（0.1）3（0,0 ） 0.5 1 0 -1 0 1 -1单元号 1（0,1） 4（1.1） 2（1,0 ） 0.5 -1 0 1 0 -1 1节点号下面括号内的数值代表该节点的（x,y）坐标值。刚度矩阵子阵表达式为： 2112221141 2rsrsrsrsrsr
17、srsrs rsrsrsrsrsrsrsbcbcbccbEt EtK b （r，s=i,j,m ）得到单元,的刚度矩阵为： 1210010.55.1001.0.55EtK 21得到总体刚度矩阵 1.5010.50.0.55.1 .10.500.5.0.52115. 1.EtK 几何边界条件：u 2=u3=u4=v2=v3=v4总体载荷列阵： 10yP求结点位移 11001.50 4.2 3uuEt PvPvEt 求应力（i,j,m）012ii iiibSEtcijmSS对于单元，i=4,j=1,m=3,10010.55.SEt 22111 0011403.5.5.02xyx PSEt Et 同理求得 22 023xyxP
