1、12018 版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图教师用书 文 新人教版1多面体的结构特征2旋转体的形成几何体 旋转图形 旋转轴圆柱 矩形 任一边所在的直线圆锥 直角三角形 任一直角边所在的直线圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线球 半圆 直径所在的直线3.空间几何体的三视图(1)三视图的名称几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图(2)三视图的画法在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图4空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，
2、其规则是(1)原图形中 x 轴、 y 轴、 z 轴两两垂直，直观图中， x轴， y轴的夹角为 45或 135，z轴与 x轴和 y轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段在直观图中长度变为原来的一半2【知识拓展】1常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形2斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”Error!“三不变”Er
3、ror!【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥( )(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台( )(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同( )(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱( )(6)菱形的直观图仍是菱形( )1(教材改编)下列说法正确的是( )A相等的角在直观图中仍然相等B相等的线段在直观图中仍然相等C正方形的直观图是正方形D若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行答案 D解析
4、由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变2(2016天津)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为( )3答案 B解析 由正视图和俯视图可知该几何体的直观图如图所示，故该几何体的侧视图为选项 B.3(教材改编)如图，直观图所表示的平面图形是( )A正三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D直角三角形答案 D解析 由直观图中， A C y轴， B C x轴，还原后原图 AC y 轴， BC x 轴直观图还原为平面图形是直角三角形故选 D.4(2016广州模拟)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体
5、的体积是_cm3.4答案 98 解析 由三视图可知，该几何体是如图所示长方体去掉一个三棱锥，故几何体的体积是636 35498.13 125一个几何体的三视图如图所示，其中侧视图与俯视图均为半径是 2 的圆，则这个几何体的体积是_答案 8解析 由三视图知该几何体是半径为 2 的球被截去四分之一后剩下的几何体，则该几何体的体积 V 2 3 8.43 34题型一 空间几何体的结构特征例 1 给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；5存在每个面都是直角三角形的四面体；棱台的侧棱延长后交于一点其中正确命题的序号是_
6、答案 解析 不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，如图，正方体ABCD A1B1C1D1中的三棱锥 C1 ABC，四个面都是直角三角形；正确，由棱台的概念可知思维升华 (1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析(1) 以下命题：以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以
7、直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数为( )A0 B1 C2 D3(2)给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的图形是直棱柱；侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱其中不正确的命题为_答案 (1)B (2)解析 (1)命题错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题对；命题错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以，故选 B.(2)对于，平行六面体的两个相对侧面也可能是
8、矩形，故错；对于，对等腰三角形的6腰是否为侧棱未作说明(如图)，故错；对于，若底面不是矩形，则错；由线面垂直的判定，侧棱垂直于底面，故正确综上，命题不正确题型二 简单几何体的三视图命题点 1 已知几何体，识别三视图例 2 沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )答案 B解析 由已知中几何体的直观图，我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故 D 不正确；中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故 C 不正确；而对角线的方向应该从左上到右下，故A 不正确命题点 2 已知三视图，判断几何体的形状例 3 (2016全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中
9、两条互相垂直的半径若该几何体的体积是 ，则它的表面积是( )283A17 B18C20 D28答案 A解析 由该几何体的三视图可知，7这个几何体是把一个球挖掉它的 得到的(如图所示)设该球的半径为 R，则18 R3 ，得 R2.所以它的表面积为 42 2 42 23 2 217.78 43 283 18 14故选 A.命题点 3 已知三视图中的两个视图，判断第三个视图例 4 (2016石家庄质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该棱锥的侧视图可能为( )答案 D解析 由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面 ACD平面 BCD，故选 D.思维升华 三视图问题的常见类型及解题策略(
10、1)由几何体的直观图求三视图注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合(3)由几何体的三视图还原几何体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图(1)(2016 全国丙卷 )如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某8多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A1836 B54185 5C90 D8
11、1(2)如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图，则该几何体的侧视图为( )答案 (1)B (2)B解析 (1)由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为 3,3， ，几何体的表面积45S3623323 25418 .45 5(2)由直观图、正视图和俯视图可知，该几何体的侧视图应为面 PAD，且 EC 投影在面 PAD 上，故 B 正确题型三 空间几何体的直观图例 5 (1)已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么 ABC 的平面直观图 A B C的面积为( )A. a2 B. a2 C. a2 D. a234 38 68 616(2)如图，矩形 O A B C是水平放置的一个平面图形的直观图，其
12、中 O A6 cm， O C2 cm，则原图形是( )9A正方形B矩形C菱形D一般的平行四边形答案 (1)D (2)C解析 (1)如图所示的实际图形和直观图，由可知， A B AB a， O C OC a，在图中作 C D A B于 D，则12 34C D O C a.所以 S A B C A B C D a a a2.故选 D.22 68 12 12 68 616(2)如图，在原图形 OABC 中，应有 OD2 O D22 4 (cm)， CD C D2 cm.2 2 OC 6(cm)， OA OC，故四边形 OABC 是菱形故选 C.OD2 CD2 42 2 22思维升华 用斜二测画法画直
13、观图的技巧在原图形中与 x 轴或 y 轴平行的线段在直观图中与 x轴或 y轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出如图是水平放置的某个三角形的直观图， D是 A B C中 B C边的中点且 A D y轴， A B， A D， A C三条线段对应原图形中的线段 AB， AD， AC，那么( )A最长的是 AB，最短的是 AC10B最长的是 AC，最短的是 ABC最长的是 AB，最短的是 ADD最长的是 AD，最短的是 AC答案 C解析 A D y轴，根据斜二测画法规则，在原图形中应有 AD
14、 BC，又 AD 为 BC 边上的中线，所以 ABC 为等腰三角形 AD 为 BC 边上的高，则有 AB， AC 相等且最长， AD 最短9空间几何的三视图典例 将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥，得到如图 2 所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )错解展示解析 结合正方体中各顶点投影，侧视图应为一个正方形，中间两条对角线答案 C现场纠错解析 侧视图中能够看到线段 AD1，应画为实线，而看不到 B1C，应画为虚线由于 AD1与B1C 不平行，投影为相交线，故应选 B.答案 B纠错心得 确定几何体的三视图要正确把握投影方向，可结合正方体确定点线的投影位置，要学会区分三视图中的实虚线1.“
15、牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何11体它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)其直观图如图 1，图 2 中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是( )A a， b B a， c C c， b D b， d答案 A解析 当正视图和侧视图完全相同时， “牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选 A.2(2016全国甲卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积
16、为( )A20 B24 C28 D32答案 C解析 由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为 4，圆锥的母线长 l4，所以圆锥的侧面积为 S 锥侧 448，圆柱的侧面积 S 柱侧 23 2 2212124416，所以组合体的表面积 S816428，故选 C.3如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A B C D答案 C解析 由几何体的结构可知，只有圆锥、正四棱锥两个几何体的正视图和侧视图相同，且不与俯视图相同4(2015北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )A1 B. C. D22 3答案 C解析 根据三视图，可知该几何体的直观图为如图所示
17、的四棱锥 V ABCD，其中 VB平面ABCD，且底面 ABCD 是边长为 1 的正方形， VB1.所以四棱锥中最长棱为 VD.连接 BD，易知BD ，在 Rt VBD 中， VD .2 VB2 BD2 35.(2016抚顺模拟)一只蚂蚁从正方体 ABCD A1B1C1D1的顶点 A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点 C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是( )13A B C D答案 D解析 由点 A 经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点 C1位置，共有 6 种展开方式，若把平面 ABB1A1和平面 BCC1B1展开到同一个平面内，在矩形中连接 AC1
18、会经过 BB1的中点，故此时的正视图为.若把平面 ABCD 和平面 CDD1C1展开到同一个平面内，在矩形中连接 AC1会经过 CD 的中点，此时正视图会是.其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现或者已在中，故选 D.6.如图所示，四边形 A B C D是一水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形 A B C D是一直角梯形， A B C D， A D C D，且 B C与 y轴平行，若 A B6， D C4， A D2，则原平面图形的面积为_答案 20 2解析 由题意得，直观图的面积 S 直 (46)210，则原平面图形的面积 S 原 2 S12 2直 20 .2
19、7.如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 P 是上底面 A1B1C1D1内一动点，则三棱锥 P ABC 的正视图与侧视图的面积的比值为_答案 1解析 设正方体的棱长为 a，则三棱锥 P ABC 的正视图与侧视图都是三角形，且面积都是a2，故面积的比值为 1.128.如图所示，点 O 为正方体 ABCD A B C D的中心，点 E 为平面 B BCC的中心，点F 为 B C的中点，则空间四边形 D OEF 在该正方体的各个面上的投影可能是下图中的_(填出所有可能的序号)14答案 解析 空间四边形 D OEF 在平面 DCC D上的投影是，在平面 BCC B上的投影是，在平面 ABC
20、D 上的投影是，故填.9某几何体的三视图如图所示(1)判断该几何体是什么几何体？(2)画出该几何体的直观图解 (1)该几何体是一个正方体切掉两个 圆柱后得到的几何体14(2)直观图如图所示10(2016石家庄模拟)如图的三个图中，上面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图如图所示(单位：cm)(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积15解 (1)如图(2)所求多面体的体积 V V 长方体 V 正三棱锥446 ( 22)2 (cm3)13 12 2843*11.已知正三棱锥 V ABC 的正视图和俯视图如图所示(1)画出该正三棱锥的侧视图和直观图；(2)求出侧视图的面积解 (1)如图16(2)侧视图中 VA 2 ，则 S VBC 2 2 6.42 2332 23 2 12 3 12 3 3
