1、拉普拉斯方程的格林函数法,4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法,设 满足拉普拉斯方程,描述稳恒状态下的物理过程。 通常表示成不存在初始条件.,拉普拉斯方程的解称为调和函数,1） 第一边值问题,狄利克雷(Direchlet)问题,边界条件:,2)第二边值问题,纽曼(Neumann)问题,4.2 格 林 公 式,高斯公式：设 是以光滑曲面 为边界的有界区域， ， ， 在闭域 上连 续,在 内有一阶连续偏导数，则,其中 为 的外法向量。,高斯公式可简记为,令,则,等式左端,所以,第一格林公式,交换 的位置, 有,两式相减, 得,第二格林公式,1) 牛曼内问题有解的必要条件 设 是在以 为边界的区域 内
2、的调和函数, 在 上有一阶连续偏导数, 则在第二格林公式中取 为上述调和函数, , 则有 . 所以牛曼内问题( )有解的必要条件为函数 满足,事实上, 这也是牛曼内问题有解的充分条件.,2) 拉普拉斯方程解的唯一性问题 设 是定解问题的两个解，则它们的差 必是原问题满足零边界条件的解。对于狄利克雷问题， 满足,对于牛曼问题, 满足,在第一格林公式中取 , 由 是调和函数，可得,在两个边界条件下，都有,所以,故在 内必有 , 即,可得,，其中 为常数.,对于狄利克雷问题, 由于 , 故 从而 .,结论 狄利克雷问题在内的解是唯一确定的,牛曼问题的解在相差一个常数下也是唯一确定的.,3) 调和函数
3、的积分表达式,所谓调和函数的积分表达式, 是指用调和函数及其在区域边界 上的法向导数沿 的积分来表达调和函数在 内任一点的值.,设 是 内一固定点, 下面求调和函数在这一点的值.,为此构造一个辅助函数,可以证明函数 除点 外处处满足拉普拉斯方程, 它称为三维拉普拉斯方程的基本解.,为了利用格林公式，我们在 内挖去 的球形邻域 ， 是其球面。,在区域 内及其边界 上， 是任意可导的。,在第二格林公式中, 取 为调和函数, 并假定它在 上有一阶连续偏导数, 而取 , 在区域 上应用公式得,在球面 上,因此,同理可得,我们可得,令 , 则 ,于是,4)平均值公式 设函数 在某区域 内是调和函数,是
4、内任一点, 表示以 为中心, 为半径且完全落在 内的球面, 则有,4.3 格林函数,能不能直接提供狄利克雷问题和牛曼问题的解 ？,调和函数的积分表达式,为得到狄利克雷问题的解, 必须消去 , 这需要引入格林函数的概念.,设 为 内的调和函数并且在 上 有一阶连续偏导数，利用第二格林公式,可得,与,相加得,如果能找到调和函数 , 使得 , 那么上式意味着,令,则,称为拉普拉斯方程的格林函数.,如果能找到格林函数中的, 并且它在,上有一阶连续偏导数，,则狄利克雷问题,的解如果存在, 必可以表示为,类似的，泊松问题,的解若存在, 必可以表示为,说明 格林函数仅依赖于选取的区域, 而与原定解问题中的非
5、齐次项、边界条件无关.如果求得某个区域的格林函数, 就可以解决该区域的一切狄利克雷问题.,求解,狄利克雷问题,要想确定格林函数, 需要找一个调和函数 , 它满足: . 对于一般的区域, 确定 并不容易, 但对于一些特殊的区域, 如半空间，球域等, 格林函数可以通过初等方法得到. 我们通常使用“电象法”求解。,4.4 特殊区域的格林函数及狄利克雷问题的解,所谓电象法，就是在 放置的单位正电荷，在区域 外找出 关于边界 的象点 ，然后在象点放置适当单位的负电荷，由它产生的负电位与 处的单位正电荷所产生的正电位在曲面 上互相抵消。而 和 处的点电荷在 内的电位就是所要求的格林函数。,1 半空间的格林
6、函数 求解拉普拉斯方程在半空间 的狄利克 雷问题，即求函数 满足,首先找格林函数 . 在半空间 的 点放置单位正电荷， 关于边界 的对称点为 ，,下面以半空间、球域为例说明电象法的应用。,由于 在上半空间 内为调和函数，在闭域 上具有一阶连续偏导数，因此,就是半空间 的格林函数.,在 放置单位负电荷，则它与 处的单位正电荷所产生的正电位在平面 上互相抵消。,为了求解狄利克雷问题, 需要计算 。,由于外法线方向恰好是 轴的负向, 所以,原问题的解,2 球域的格林函数,设有一个球心在原点,半径为 的球面 , 在球内任取一点 连接 并延长至点 使得 , 点 称为 关于球面的反演点. 在点 放置单位正电荷，在点 放置 单位的负电荷，使这两种电荷产生的电位在球面上互相抵消, 即有,利用条件得到,由此可得,只要在点 放置 单位的负电荷, 由它形成的电位 具有性质: 在 所围的球面内部是调和函数, 在上一阶连续可微, 而且在球面上有,所以, 球域的格林函数为,由此可以求出球域内的狄利克雷问题,
