1、主要内容,引入,第一节 线性变换的定义,定义,举例,性质,二、定义,定义 1 线性空间 V 的一个变换 A 称为线性,变换，如果对于 V 中任意的元素 , 和数域 P 中,任意数 k ，都有,A( + ) = A( ) + A( ) ,A( k ) = k A( ) .,以后我们一般用花体拉丁字母 A , B , 代表,V 的变换， A() 或 A 代表元素 在变换 A下,的像.,定义中的等式所表示的性质，有时也说成线性,变换保持向量的加法与数量乘法.,下面我们来看几个简单的例子，它们表明线性,变换这个概念是有丰富的内容的.,三、举例,例 1 平面上的向量构成实数域上的二维线性,空间. 把平面
2、围绕坐标原点按反时针方向旋转 角,就是一个线性变换，我们用 R 表示.,如果平面上,一个向量 在直角坐标系下的坐标是 ( x , y ), 那么,像 R ( ) 的坐标，即 旋转 角之后的坐标,( x , y ) 是按照公式,来计算的.,性变换.,如图 7 - 1 所示.,同样地，空间中绕轴的旋转也是一个线,例 2 设 是几何空间中一固定的非零向量，,把每个向量 变到它在 上的内射影的变换也是,一个线性变换，以 表示它.,这里 ( , ), ( , ),表示内积.,几何意,义如图 7 - 2 所示.,用公式表示就是,例 3 线性空间 V 中的恒等变换或称单位,变换 E ，即,A ( ) = (
3、 V) ,以及零变换 0 ，即,0 ( ) = 0 ( V),都是线性变换.,例 4 设 V 是数域 P 上的线性空间，k 是 P 中,某个数，定义 V 的变换如下：, k , V .,不难证明，这是一个线性变换，称为由数 k 决定的,数乘变换, 可用 K 表示.,显然，当 k = 1 时，我,们便得恒等变换，当 k = 0 时，便得零变换.,数组成实数域上一线性空间，以 C( a , b ) 代表.,例 5 在线性空间 P x 或者 P x n 中，求微,商是一个线性变换.,这个变换通常用 D 代表，即,D ( f (x) ) = f (x) .,例 6 定义在闭区间 a , b 上的全体连
4、续函,在,这个空间中，变换,I ( f (x) ) =,是一线性变换.,四、性质,线性变换有以下三个简单性质：,性质 1 设 A 是 V 的线性变换，则,A( 0 ) = 0,A( - ) = - A( ) .,性质 2 线性变换保持线性组合与线性关系式,不变.,换句话说，如果 是 1 , 2 , , r 的线性,组合：, = k11 + k22 + + krr ,那么经过线性变换 A 之后，,A ( ) 是 A ( 1 ),A ( 2 ) , , A ( r ) 同样的线性组合：,又如果 1 , 2 , , r 之间有关系式,k11 + k22 + + krr = 0 ，,A ( ) = k
5、1A ( 1 ) + k2A ( 2 ) + + krA ( r ) .,那么它们的像之间也有同样的关系,以上两点，根据定义不难验证，由此即得,性质 3 线性变换把线性相关的向量组变成,线性相关的向量组.,但应该注意，性质 3 的逆是不对的，线性变换,可能把线性无关的向量组也变成线性相关的向量,组.,例如零变换就是这样.,k1A ( 1 ) + k2A ( 2 ) + + krA ( r ) = 0 .,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想
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