1、3.3 二维随机变量函数的分布,已知随机变量(X,Y)的分布，求Z=g(X,Y)的概率分布，其中z=g(x,y)是连续函数。,一、两个离散型随机变量的函数的分布,例3.19 已知随机变量(X,Y)的联合分布律为,试求Z1=X+Y，Z2=max(X,Y)的分布律。,解 Z1的所有可能取值为2,3,4,5,P(Z1=2)=P(X+Y=2)=P(X=1,Y=1)=1/5,P(Z1=3)=P(X+Y=3)=P(X=1,Y=2)+ P(X=2,Y=1) =1/5,P(Z1=4)=P(X+Y=4)=P(X=2,Y=2)+ P(X=3,Y=1) =2/5,P(Z1=5)=P(X+Y=5)=P(X=3,Y=2
2、)=1/5,Z1的分布律为,Z2=max(X,Y)的所有可能取值为1,2,3,P(Z2=1)=P(X=1,Y=1)=1/5,P(Z2=2)=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2) =1/5+0+1/5=2/5,P(Z2=3)=P(X=3,Y=1)+P(X=3,Y=2)=1/5+1/5=2/5,Z2的分布律为,例3.20 设随机变量X与Y相互独立，它们分别服从参数为1和2的泊松分布，证明Z=X+Y服从参数为1+2的泊松分布。 证,k1=0,1,2,k2=0,1,2,Z=X+Y的所有可能取值为0,1,2,3,XP(1),YP(2),因此 ZP(1+2),k=0,1,2,二
3、维离散型随机变量函数的分布,设二维离散型随机变量（X，Y），(X, Y)P(Xxi, Yyj)pij ，i, j1, 2, 则 Zg(X, Y)PZzk pk , k1, 2, ,例3.21设随机变量(X,Y)的概率分布为,求随机向量(X,Y)的函数的分布(1)Z1=X+Y(2)Z2=XY。,Z1的分布律为,Z2的分布律为,练习.设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为(1)求WXY的分布律; (2)求Vmax(X, Y)的分布律； (3)求Umin(X, Y)的分布律； (4)求Z=X2+3Y。 解：,0 1 1 2,0 1 1 1,0 0 0 2,0 3 1 4,二、两个连
4、续型随机变量的函数的分布,设二维随机向量(X,Y)f(x,y)，z=g(x,y)是连续函数，则随机变量Z=g(X,Y)的分布函数为,即FZ(z)可利用f(x,y)在平面区域：G=(x,y)| g(x,y)z上的二重积分得到。,Z=g(X,Y)的密度函数为,三、常用的随机变量的函数的分布,1、和的分布,设(X,Y)f(x,y)，(x,y)R2, Z=X+Y，则Z是连续型随机变量，且Z的概率密度为,此两公式称为卷积公式。,或,证明 对任意的zR，Z=X+Y的分布函数为,O x,y,z=x+y,固定x,交换积分次序,所以,zR,同理可得,zR,特别地，当X,Y相互独立时，,或,其中，fX(x)，fY
5、(y)为(X,Y)关于X和Y的边缘密度。,上式也称为fX(z)与fY(z)的卷积公式,例3.22 设(x,y)N(0, 0,1,1,0)，试求Z=X+Y的密度函数,解 由于=0，所以X与Y相互独立，且,所以Z的密度函数为,令,此式说明ZN(0,2),一般地，(1),又X与Y相互独立，则,(2)Y=aX+b(a,b为常数，且a0),则,(3),X与Y相互独立，且,是不全为0的常数，则,(4),Xi相互独立，i,是不全为0的常数，,i=1,2,3,n，则,相互独立的正态随机变量的线性组合仍是正态随机变量。,几个结论： (1)正态分布:设随机变量X1, X2，., Xn独立且Xi服从正态分布N(i
6、,i2),i=1,.,n, 则(2)普洼松分布：设随机变量X1, X2独立且Xi服从普洼松分布(i) (i=1,2), 则X1X2 (12) (3)二项分布：设随机变量X1, X2独立且Xi服从二项分布b(ni,p) (i=1,2), 则X1X2 b(n1+n2,p) (4)0-1分布:设随机变量X1, X2，., Xn独立且Xi服从0-1分布b(1,p),i=1,.,n, 则,练习 卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05.,解 设最多装n袋水泥,Xi为第i袋水泥的重量，则,由
7、题意,令,查表得,例3.23 设X,Y相互独立，且两者都在区间0,1上服从均匀分布，求Z=X+Y的概率密度。,解 X,Y的密度函数分别为,由卷积公式,O 1 2 z,x,1,x=z,x=z-1,当0x1，且0z-x1时，被积函数为1，其它区域被积函数为0，即 0x1，且z-1xz,2、M=max(X,Y)，N=min(X,Y)的分布（极值分布）,设随机变量X,Y相互独立，且分布函数分别为FX(x)，FY(y)，求M与N的分布函数。,即M的分布函数为,即N的分布函数为,结论的推广 (1)设X1,X2,Xn相互独立，且Xi的分布函数为Fi(xi)，则 M=maxX1,X2,Xn的分布函数为FM(z
8、)F1(z)F2(z)Fn(z),N=minX1,X2,Xn的分布函数为,(2)当X1,X2,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)，则 M=maxX1,X2,Xn的分布函数为FM(z)F(z)n N=minX1,X2,Xn的分布函数为FN(z)1-1-F(z)n,(3)当X1,X2,Xn相互独立且具有相同的概率密度f(x)，则 M=maxX1,X2,Xn的密度函数为fM(z)=nF(z)n-1f(z) N=minX1,X2,Xn的分布函数为FN(z)n1-F(z)n-1f(z),例3.24 设系统L由两个相互独立的子系统L1和L2联接而成，其联接的方式分别为(1)串联，(2)并联，如图所示。
9、设L1，L2的寿命分别为X与Y，而且,其中0，0，试分别就以上两种联结方式写出L的寿命Z的分布函数与概率密度函数。,解 (1)串联时，当L1和L2中有一个损坏时，系统L就停止工作，所以L的寿命为Z=min(X,Y)。,由条件可得X,Y的分布函数分别为,Z的分布函数为,Z的概率密度函数为,(2)并联时，当且仅当L1和L2都损坏时，系统L才停止工作，因此L的寿命Z=max(X,Y) 其分布函数为,密度函数为,例3.25 设(X,Y)在G=(x,y)|0x2,0y1上服从均匀分布，试求Z=XY的密度函数。,解 (X,Y)的联合密度函数为,Z的分布函数为,O z 1 2 x,y,1,z=xy,当z0时，FZ(z)=0;,当0z2时，,当z2时，,Z的密度函数,商的分布已知(X, Y)f(x, y), (x, y)R2, 求Z 的密度。,yG10 xG2,特别，当X，Y相互独立时，上式可化为,其中fX(x), fY(y)分别为X和Y的密度函数。,作业 p86,2,5,7,9,
