1、第五章 离散傅里叶变换及其快速算法1 离散傅里叶变换(DFT)的推导(1) 时域抽样：目的：解决信号的离散化问题。效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。(2) 时域截断：原因：工程上无法处理时间无限信号。方法：通过窗函数(一般用矩形窗 )对信号进行逐段截取。结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。(3) 时域周期延拓：目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。方法：周期延拓中的搬移通过与 的卷积来实现。)(snTt表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。(4) 经抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期
2、的。过程见图 1。 有 卷 积 波 纹 N N 原 函 数 用 于 抽 样 抽 样 后 用 于 截 断 截 断 后 用 于 延 拓 延 拓 后 定 义 DFT 叠 加 干 涉 0 t0 t0 t0 t0 t0 t0 t0 t或 nTs 0 f或 kf0 0 f 0 f 0 f 0 f 0 f 0 f 0 f 图 1 DFT 推导过程示意图(5) 处理后信号的连续时间傅里叶变换： knknjsfeThfH)()()( 010/2(i) 是离散函数，仅在离散频率点 处存在冲激，强度为 ，)(fH SNTkkf0 ka其余各点为 0。(ii) 是周期函数，周期为 ，每个周期内有 个不同的幅值。)(f
3、 sTNf10(iii) 时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期( 或离散间隔)互为倒数。2 DFT 及 IDFT 的定义(1) DFT 定义：设 是连续函数 的 个抽样值 ，这 N 个点的宽度为snTh)(thN1,0nN 的 DFT 为： ),.()(10/2kTHenTDFsnkjssN(2) IDFT 定义：设 是连续频率函数 的 个抽样值 ， 这 N 个sTkH)(f 1,0点的宽度为 N 的 IDFT 为： )1,.(,10/21 NknThekkDFT sNkjss(3) 称为 N 点 DFT 的变换核函数， 称为 N 点 IDFT 的变换核函数。它nje/2 je/2们互为共
4、轭。(4) 同样的信号，宽度不同的 DFT 会有不同的结果。DFT 正逆变换的对应关系是唯一的，或者说它们是互逆的。(5) 引入 NjeW/2(i) 用途：(a) 正逆变换的核函数分别可以表示为 和 。nkNWk(b) 核函数的正交性可以表示为： )(*10rnrk(c) DFT 可以表示为： )1,0,)( NknThNHkNss (d) IDFT 可以表示为： ,(,1)(0nWnhks(ii) 性质：周期性和对称性：(a) 12jNeW(b) /(c) rNr(d) NW2/2/(e) )(1Zm(f) ),(/2/2 ZnmeeWNnjnjn 3 离散谱的性质(1) 离散谱定义：称 为
5、离散序列 的 DFT 离散谱，简称)(ZkTHSk )0)(NnTsh离散谱。(2) 性质：(i) 周期性：序列的 N 点的 DFT 离散谱是周期为 N 的序列。(ii) 共扼对称性：如果 为实序列，则其 N 点的 DFT 关于原点和 N/2)0)(NnTsx都具有共轭对称性。即 ； ；*kH*kN*2kNkH(iii)幅度对称性：如果 为实序列，则其 N 点的 DFT 关于原点和 N/2)0)(nTsx都具有幅度对称性。即 ； ；kkkk22(3) 改写：(i)简记 为)(snTh(ii) 简记 为sNkH)(iii) DFT 对简记为： 或)(kHnhDFT)(knh(iv) 1,0,)1
6、0 NWFTkN(v) ),(,()(1nkknh 4 DFT 总结(1) DFT 的定义是针对任意的离散序列 中的有限个离散抽样 的，它并不)(nTsx )0(Nn要求该序列具有周期性。(2) 由 DFT 求出的离散谱 是离散的周期函数，周期为)()(ZkNHkS、离散间隔为 。离散谱关于变元 k 的周期ssfTNf1/0 01fTfs为 N。(3) 如果称离散谱经过 IDFT 所得到的序列为重建信号， ，则重建信号是离)(Znsx散的周期函数，周期为 (对应离散谱的离散间隔的倒数) 、离散间隔为01fs(对应离散谱周期的倒数)。01/NfTTs(4) 经 IDFT 重建信号的基频就是频域的
7、离散间隔，或时域周期的倒数，为 。SNTf10(5) 实序列的离散谱关于原点和 (如果 N 是偶数)是共轭对称和幅度对称的。因此，真2正有用的频谱信息可以从 0 范围获得，从低频到高频。1(6) 在时域和频域 范围内的 N 点分别是各自的主值区间或主值周期。05 DFT 性质(1) 线性性：对任意常数 ( )，有maM1 MmMmnxDFTanxaDFT11 )()(2) 奇偶虚实性：(i) DFT 的反褶、平移：先把有限长序列周期延拓，再作相应反褶或平移，最后取主值区间的序列作为最终结果。(ii) DFT 有如下的奇偶虚实特性：奇 奇；偶 偶；实偶 实偶；实奇 虚奇；实 (实偶) + j(实
8、奇)；实 (实偶)EXP(实奇)。(3) 反褶和共轭性：时域 频域反褶 反褶共轭 共轭反褶共轭反褶 共轭(4) 对偶性： )()(kNxnX(i) 把离散谱序列当成时域序列进行 DFT，结果是原时域序列反褶的 N 倍；(ii) 如果原序列具有偶对称性，则 DFT 结果是原时域序列的 N 倍。(5) 时移性： 。序列的时移不影响 DFT 离散谱的幅度。kmW)()(6) 频移性： lXnxlN(7) 时域离散圆卷积定理： )()(kYXnyx(i) 圆卷积：周期均为 N 的序列 与 之间的圆卷积为y10)()(iinyx仍是 n 的序列，周期为 N。(ii) 非周期序列之间只可能存在线卷积，不存
9、在圆卷积；周期序列之间存在圆卷积，但不存在线卷积。(8) 频域离散圆卷积定理： )(1)(kYXyx(9) 时域离散圆相关定理： *nRP周期为 N 的序列 和 的圆相关：)(xy10*)()( )(),NiPxyP niyxnRnxR是 n 的序列，周期为 N。(10) 。其中 表示按 k 进行 DFT 运算。*)(1)(kHDFThkDFT(11) 帕斯瓦尔定理： 102102)(NknXx6 快速傅里叶变换 FFT(1) FFT 不是一种新的变换，而是 DFT 的快速算法。(2) 直接 DFT 计算的复杂度： )(2NO计算 DFT 需要： 次复数乘法； 次复数加法。*2*N(3) FF
10、T 算法推导 ：(i) 第 L 次迭代中对偶结点值的计算公式为：， 是循环控制变量。)(2)()()(11LrKBRPNWKxxKrL PNLLL(ii) 对偶结点的关系如图 2 所示：1 )(LPNW1 )(LPN )(1LKx )(1LKx )(LKx )(LKx 图 2 FFT 中对偶结点关系图(iii)旋转因子： 被称为旋转因子，可预先算好并保存。kNW(iv)整序：经过 r 次迭代后，得到结果 ，实际结果应是brrkx10，所以流程的最后一步是按下标的正常二进制顺序对结果进行整brkX01序。(4) FFT 算法特点： ( )r2(i) 共需 次迭代；(ii) 第 次迭代对偶结点的偶
11、距为 ，因此一组结点覆盖)1(rL LrLNK2/的序号个数是 。12)(2LLNK(iii)第 次迭代结点的组数为 。)(r 1)(/L(iv) 可以预先计算好，而且 的变化范围是 。LPNWLP20(5) FFT 算法流程： ( )r(i)初始化： ；10,)0Nnxn(ii) 第 次迭代：1(rL(a) 下标控制变量初始化 ；LK(b) “结点对”的个数初始化 ;0um(c) DOnumWHIEL)2( 按对偶结点对的计算公式进行置位运算，得到 和 的值；)(LKx)(L ； ；1LK1nu 跳过已经计算过的结点(即上面 所对应的那些结点)： ；LKN2/ 如果 ，转到 b)继续计算下一组结点；否则结束本次迭代。NL(iii) 当 次迭代全部完成后，对结果 按下标二进制位进行整序，r )10)(1Nkxr从而得到结果 。)0)(kX(6) FFT 算法复杂度分析： ( ， 预先算好)r2kNW(i) 一个对偶结点对的计算需要 2 次复数加法和 1 次复数乘法(ii) 对任一次迭代，共有 N/2 对结点，因此共需 N 次复数加法和 N /2 次复数乘法(iii) 次迭代的总计算量为：复数加法次数 ，复数乘法次数为r r2logN2log1/(iv)算法复杂度为 )l(OIDFT 同样可用 FFT 实现，算法复杂度也是 。)log(2NO
