1、平面向量基础：平行向量 ；相等向量 ；单位向量 ； 的大小 ，方向 。a与 的夹角是 范围 b与 的数量积的定义是 。 在 的投影是 。ab平面向量的基本定理是 。设 = , = ，且 ，a1()xy2(,)yb0则： = ； ( ) =0 。ba121xab0120xyP，A，B 三点共线 。xyOPAB且在 中， G 为 的重心，特别地 为C()3GCAPABCP的重心； 为 的垂心； 向量 所在直线PBC()(0|过 的内心(是 的角) ABA基础练习：1化简 所得的结果是（ ）A B C0 DPMNMPNMN2给出命题 = ;0 = ;0 =0;若 =0，则 或 对于任意向量 、 、
2、都有(a0a0abababc ) = ( ); , 都是单位向量，则| | |以上命题正确的个数是（B）A1 B2C3 abcb22D43若 ，则 的夹角为的余弦值为( )。A B C- D-)12,5(),(a与 6536534AD、BE 分别为ABC 的边 BC、AC 上的中线，且 =a , =b ,那么 为（ ）DBEA a b B a b C a b D a b 32433243245在菱形 ABCD 中,下列关系中不正确的是 ( )A. B. C. D.CDB/ )()(CA0)(BCACDBA6若 O 为 ABC 所在平面内一点，且满足 ，则 ABC 的形状为( )2)(OOBA正
3、三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D以上均不正确。7已知|a|=2,|b|=4,ab=3, 则(2a3b)(2a+b)=_8已知向量 (-1,2), (8,m),若 ,则 m =_AOBA例题：1、已知 是 内的一点，若 ，求证： 是 的重心.0OBCOABC2已知 ， ， ，且 ，求 x. (1,)4,)abx2uabva/uv3.设两个向量 ， ，满足| | |1， 、 的夹角为 60，若向量 +3 与向量 +t 的夹1e21e22e1 1e21e2角为钝角，求实数 t 的取值范围若向量 2t +3 与向量 +t 共线，求 t 的值。1e2练习 ：1已知| |=3，| |=1，且 与 同
4、向，则 . 的值是（ C ）A-3 B. 0 C. 3 D. 3 或 3ababab2在ABC 中， c， b，若点 D 满足 2 ，则 ( )AB AC BD DC AD A. b c B. c b C. b c D. b c23 13 53 23 23 13 13 233.给出以下四个命题：(1)若两非零向量 ，使得 ，那么 ；(2)若两非零向量 ，a, )(Rba/ ba/则 ；(3)若 ，则 ；(4)若 ，则 与 共线。其中正确命)(Ra/ , )(题的个数是( )A 1 B 2 C 3 D 44设 a， b 且|a|=| b|=6，AOB=120 ，则|ab|等于 （ ）OA A36
5、 B12 C6 D 365已知正方形 ABCD 边长为 1， =a， =b， =c，则|a+b+c|等于 （ ）ABAA0 B3 C D226设 a=( ,sin)，b=(cos, )，且 a/ b，则锐角 为 ( )A30 o B60 o C45 o D75 o237设 A(a,1)， B(2， b)， C(4,5)，为坐标平面上三点， O 为坐标原点，若 上的投影相同，与与OA则 a 与 b 满足的关系式为 （ A ）A B C D 354a34ba145ba145ba8已知 ，且 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是( )5,3(,2bA B C D 310109设 ，当 ，且 时，点 C
6、 在 ( )cOba, ba1A 直线 A B 上 B线段 AB 上 C 直线 AB 上，但除去点 A D直线 AB 上，但除去点 B10等腰 RtABC 中， ，则2|AB11. 已知向量 与 的夹角为 ，且 ，则 在 方向上的投影是ab105|,3|baa*已知 ，且 与 垂直，则 与 的夹角为_2,1)(12设两个非零向量 a 与 b 不共线,若 =ab , =2a8b , =3(ab) ,求证：A、B、D 三点共线;ABC试确定实数 k，使 kab 和 ak b 共线. 13已知向量 求 （1） 的值；（2） 与),0(),1(,4,232211 eebea 其 中 ba;a的夹角。b
7、练习 21已知 a=(1,2) ,b=(-3,2),若 ka+b 与 a-3b 平行，则实数 k 的值为 2设平行四边形 ABCD 的对角线交于 O，交 ，则 =_)1,2(),73(ABDOB3已知向量 向量 与向量 夹角为 ，且 .求向量 ；),1(mnm4nn4与向量 垂直的单位向量坐标为（ ）8,6aA. 或 B. 或 C. 或 D. 或)6,8(),),()8,()53,(),()54,3(),(5已知| |=3，| |=2， 与 的夹角为 60， =3 +5 , =m -3abacabd（1）当 m 为何值时， 与 垂直？（2）当 m 为何值时， 与 共线？cd6已知 是 所在平面
8、内一点， 为 边中点，且 ，那么（ ）OABC DBC2OABC0 DO3AD7.在ABC 中，C=90， 则 k 的值是（ ）A5B5 C D),2(),1(k 238ABC 的三条边的中点分别为(2,1)和( -3,4),(-1,-1)，则ABC 的重心坐标为_9、设 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则(1)ba,c 0)()(bac(2) (3) 不与 垂直(4) 中，是真bacb)()( 2493ba命题的有_ A (1)(2) B (2)(3) C (3)4) D (2)4)10、向量 满足 ，则 的最大值和最小值是_,12,811.设 a、 b、 c 是任意的非零平面向量,且相
9、互不共线,则（ ab） c（ ca） b=0 | a| b|a b| （ bc） a（ ca） b 不与 c 垂直（3 a+2b） （3 a2 b）=9| a|24| b|2中，是真命题的有（ ）A. B. C. D.12. 已知 a(1,3)，b(1,1) ，cab，若 a 和 c 的夹角是锐角，则 的取值范围是( )A. B.( 52， ) ( ， 52)C0 D. (0，)( 52，0)13已知向量 a、b，且 =a+2b , = -5a+6b , =7a-2b,则一定共线的三点是 （ ）ABCDAA、B、D BA、B、C CB、C 、D DA 、C 、D练习 31已知|a|= ，|b|
10、=4，且 a 与 b 的夹角为 ，则 ab 的值是 （ ）123A1 B1 C2 D22ABC 中， ,则ABC 是 （ ）0CA锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形3已知|i|=|j|=1,ij,且 a2i +3j,b=ki-4j,若 ab，则 k 的值是 （ ） A6 B6 C3 D34已知 a，b，c 为非零向量，t 为实数，则下列命题正确的是 （ ）A|ab |=|a|b| B(ab)c=a(bc) Ct ab=t ba Dab= ac=bc5已知两个力 F1,F2 的夹角为 900，它们的合力的大小为 10N，合力与 F1 的夹角为 600，则 F1 的大小为 （
11、 ） A B5N C10N D3 52N6 已知 a2 1， b2 2， （ ab ） a 0， 则 a 与 b 的夹角为 （ ） A30 0 B45 0 C60 0 D90 07已知下列各式：|a| 2=a2 = (ab) 2=a2b2（ab） 2=a2+2ab+b2,其中正确的等式的序号是_8.关于平面向量 a， b， c，有下列三个命题：若 ab ac，则 b c；若 a(1， k)， b(2,6)， a b，则 k3；非零向量 a 和 b 满足| a| b| a b|，则 a 与 a b 的夹角为 60.其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)9已知向量 e1 ,e2 不共线，若 e1e 2 与 e1 e2 共线,则实数 = 10a,b 是两个不共线的向量，且 =2akb , =a3b , =2ab ,若 A、B、D 三点共线，则实数 k 的值ABC可为 11.若 a=(,4),b=(-3,5),且 a 与 b 的夹角为钝角,则 的取值范围是_12.已知向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,且|a|=3,|b|=5,|c|=7, 求 a,b 的夹角 .
