1、二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克牛顿于1664、1665年间提出,二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中都有广泛的应用,二项式定理研究的是 的展开式.,多项式乘法的再认识,规律: 每个括号内任取一个字母相乘构成了展开式中的每一项., 项：, 系数：,1, 展开式：,探究1 推导 的展开式.,猜想,探究2 仿照上述过程,推导 的展开式.,项：,系数：,探究3：请分析 的展开过程，证明猜想.,L,L,展开式：,二项展开式的通项:,二项式系数:,项数：,次数：,共有n1项,各项的次数都等于n，,字母a按降幂排列，次数由n递减到0 ,字母b按升幂排列，次数由0递增到n
2、.,二项式定理,二项式定理,例：求 的展开式,解:,直接展开,例：求 的展开式,先化简后展开,例：求 的展开式,解:,例：求 的展开式,思考3：你能否直接求出展开式的第项？,思考1：展开式的第项的系数是多少？,思考2：展开式的第项的二项式系数是多少？,解:,练习1,例2,(1)求(1+2x)7的展开式的第4项,注：1)注意对二项式定理的灵活应用2)注意区别二项式系数与项的系数的概念 二项式系数：Cnr； 项的系数：二项式系数与数字系数的积3)求二项式系数或项的系数的一种方法是将二项式展开,第4项的二项式系数,第4项的系数,例2,(1)求(1+2x)7的展开式的第4项的系数,解,(1) (1+2
3、x)7的展开式的第4项是,T3+1=C7317-3(2x)3=3523x3=280x3,分析: 先求出x3是展开式的哪一项,再求它的系数,例2,(1)求(1+2x)7的展开式的第4项,9-2r =3,r =3,x3系数是 (-1)3C93=-84,练习2、化简: (x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1.,实战演练,公式的逆用！,求（x+a)12的展开式中的倒数第4项,解:,练习3,(x+a)12的展开式有13项,倒数第4项是它的第10项,解:,练习,求 的展开式的中间两项,解:,展开式共有10项,中间两项是第5、6项。,练习,思维拓展,在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) (x-5)的展开式中含x4项的系数是 ( ),2. 求(x+2y+z)6的展开式中含xy2z3项的系数.,A. -15 B. 85 C. -120 D. 274,A,(2)二项展开式的通项：,1.二项式定理：,2思想方法,小结,(1)二项式系数：,(2) 用计数原理分析二项式的展开过程.,(1) 从特殊到一般的数学思维方式.,(3) 类比、等价转换的思想.,
