1、2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义,学习目标,1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.理解投影概念；3.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；4.平面向量的数量积简单应用；5.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用,问题1: 我们研究了向量的哪些运算？这些 运算的结果是什么？,一 探究？,问题2:我们是怎样引入向量的加法运算的？ 我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的？,问题3:如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，（）力F所做的功W= 。 （）请同学们分析这个公式的特点： W（功）是 量， F（力）是
2、量， S（位移）是 量 是 。,探究数量积的含义,功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；结果是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。,已知非零向量 与 ，我们把数量 叫作 与 的数量积（或内积），记作 ，即规定,其中是 与 的夹角， 叫做向量 在 方向上（ 在 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量的数量积为零，即 。,二、平面向量的数量积,1、定义,（1）定义 ：,（2）定义的简单说明：,2、数量积的定义,问题：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表：,、研究数量积的几何意义,（1）给出向量投影的概念,（2）问题：数量积的几何意义是什么？,4、研究
3、数量积的物理意义,问题:（1）功的数学本质是什么？,（2）尝试练习,一物体质量是10千克，分别做以下运动，求重力做功 的大小。 、在水平面上位移为10米； 、竖直下降10米； 、竖直向上提升10米 、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；,、竖直下降10米；,、竖直向上提升10米；,、在水平面上位移为10米；,、沿倾角为30的斜面向上运动10米；,探究数量积的运算性质,问题： （1）将问题的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？ （2）比较 的大小，你有什么结论？,1、性质的发现,2、数量积的性质,设向量 与 都是非零向量，则（1） =0 （2）当 与 同向时， =| | | 当 与 反向时，
4、=-| | | 特别地， =或=（3） ,| | |,3、性质的证明,探究数量积的运算律,1、运算律的发现,问题: 我们学过了实数乘法的那些运算律？ 这些 运算律对向量是否也适用？,学生可能的回答:,2、运算律,已知向量 和实数，则：,3、运算律的证明,应用与提高,例1 已知|a|=5， |b|=4，(1) a与b的夹角=120o，求ab.(2)ab求ab. (3)ab求ab,学生练习,基础练习 1、判断下列命题的真假:,2、已知ABC中，a =5，b =8，C=600，求,3、已知 | a | =8，e是单位向量，当它们之间的夹角为 则 a在e方向上的投影为,（1）平面向量的数量积可以比较大小 （2）（3）已知b为非零向量因为0a =0， a b = 0,所以a = 0 (4 ) 对于任意向量a、 b、 c，都有a b c = a（b c）,进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角。,课堂小结,1、本节课我们学习的主要内容是什么？ 2、学习了向量数量积的哪些应用？ 思考:由向量的数量积怎样求向量长度和夹角?,返回,
