1、教学资料（高中数学） 祝同学们学习进步1高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系, .UxACxAx2.德摩根公式 .();()UUUBBC3.包含关系 AAAR4.容斥原理 ()()cardBcardBcard()CCcrB.() ()AcardC5集合 的子集个数共有 个；真子集有 1 个；非空子集有 1 个；非空的真子集12,n 2n2n2n有 2 个.n6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式 ;2()(0)fxabc(2)顶点式 ;)hka(3)零点式 .12x7.解连不等式 常有以下转化形式(NfM()fx)()0fN|2x.1()fx8.方程 在 上有且只有一个实根,与
2、 不等价,前者是后者的一个必要而不是0)(21k 0)(21kf充分条件.特别地, 方程 有且只有一个实根在 内,等价于 ,或)0(acbxa )21 0)(21kf且 ,或 且 .)(1kf12kf2ab9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数 在闭区间 上的最值只能在 处及区间的两端点处取得，)0()(2acbxf qp, abx2具体如下：(1)当 a0 时，若 ，则 ；qp, minmax()(),(),2bfxfffpq， ， .qpabx,2max(),fini),(2)当 a0)（1） ，则 的周期 T=a；)()af)(xf（2） ，0或 ，)(1(fxf或 ,af)或 ,则 的
3、周期 T=2a；21()(,()012xfxaf)(xf(3) ，则 的周期 T=3a；)1ff(4) 且 ，则 的周期 T=4a；()(2121xfx1212()(),0|)ffxxa)(xf(5) )3faa,则 的周期 T=5a；()(4)f(f(6) ，则 的周期 T=6a.(fx教学资料（高中数学） 祝同学们学习进步530.分数指数幂 (1) （ ，且 ）.1mna0,anN1(2) （ ，且 ）.n,31根式的性质（1） .()a（2）当 为奇数时， ；na当 为偶数时， .n,0|32有理指数幂的运算性质(1) .(,)rsrsaQ(2) .()0(3) .,rrbbr注： 若
4、a0，p 是一个无理数， 则 ap 表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式.logbaN(0,1)N34.对数的换底公式 ( ,且 , ,且 , ).llmaam10N推论 ( ,且 , ,且 , , ).oglmnb0an1n035对数的四则运算法则若 a0，a1，M0，N0，则(1) ;l()llogaaN(2) ;oga(3) .ll()naR36.设函数 ,记 .若 的定义域为 ,则 ，且)0()(2acbxxfm acb42)(xfR0a;若 的值域为 ,则 ，且 .对于 的情形,需要单独检验.037. 对数换底不等式及其推广
5、若 , , , ,则函数a0bx1alog()axy(1)当 时,在 和 上 为增函数.(,),)b， (2)当 时,在 和 上 为减函数.l()axy推论:设 ， ， ，且 ，则1nm0pa1（1） .log()logpmn（2） .2aa教学资料（高中数学） 祝同学们学习进步638. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 ，则对于时间 的总产值 ，有 .pxy(1)xNp39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系( 数列 的前 n 项的和为 ).1,2nnsaa12nnsa40.等差数列的通项公式；*11()()nadanN其前 n 项和公式为 1()2ns1()2d.
6、1dad41.等比数列的通项公式；*11()nnqN其前 n 项的和公式为 1(),nnasq或 .1,nnsa42.等比差数列 : 的通项公式为n11,(0)nqadbq；(),nbdq其前 n 项和公式为.(1),(1)nnbdqs43.分期付款(按揭贷款) 每次还款 元(贷款 元, 次还清,每期利率为 ).1)(nabxanb44常见三角不等式（1）若 ，则 .0,)2sitx(2) 若 ，则 .(x1ncos2(3) .|sin|cos|45.同角三角函数的基本关系式 教学资料（高中数学） 祝同学们学习进步7， = ， .22sinco1tancositan1cot46.正弦、余弦的诱
7、导公式（奇变偶不变，符号看象限） 21()si,sin(2nco21()s,s(2innconco47.和角与差角公式;sin()sicosin;co.tanta1t(平方正弦公式);22sin()si()siin.coco= (辅助角 所在象限由点 的象限决定, ).iab2i)ab()abtanb48.二倍角公式 .sin2sic.2222conos1sin.tata149. 三倍角公式 .3sin3i4sinisn()si()3.cococo.32tatn3tan()tan()1350.三角函数的周期公式 函数 ，xR 及函数 ，xR(A, 为常数，且 A0，0)的周期si()yxcos
8、()yx；函数 ， (A, 为常数，且 A0，0)的周期 .2Ttan,2xkZT51.正弦定理 .2sinisibcRABC52.余弦定理;22oaA;cca.sb53.面积定理（1） （ 分别122abcShhabc、 、 表示 a、b、c 边上的高）.(n 为偶数)(n 为奇数)(n 为偶数)(n 为奇数)教学资料（高中数学） 祝同学们学习进步8（2） .11sinsisin2SabCcAaB(3) .2(|)()OABBO54.三角形内角和定理 在ABC 中，有 (.22)CA55. 简单的三角方程的通解.sin(1)arcsin(,|1kxaZa.o)co.t t,R特别地,有.si
9、n(1)k.cos2Z.tat56.最简单的三角不等式及其解集.sin(|1)(arcsin,2arcsin),xxkkkZ.2.co| o,o,a.s()(rsrs).tnactn,),2xRxkkZ.a()(rta257.实数与向量的积的运算律设 、 为实数，那么(1) 结合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.58.向量的数量积的运算律：(1) ab= ba （交换律）;(2)（ a）b= （ ab）= ab= a（ b）;(3)（ a+b）c= a c +bc.59.平面向量基本定理 如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量
10、，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 1、 2，使得 a= 1e1+ 2e2不共线的向量 e1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底60向量平行的坐标表示 设 a= ,b= ，且 b 0，则 a b(b 0) .(,)xy(,)A1210xy53. a 与 b 的数量积(或内积)ab=|a|b|cos61. ab 的几何意义数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积62.平面向量的坐标运算(1)设 a= ,b= ，则 a+b= .1(,)xy2(,)12(,)xy教学资料（高中数学） 祝同学们学习进步9(2)设 a= ,b= ，则
11、a-b= . 1(,)xy2(,)12(,)xy(3)设 A ，B ,则 .12(,)ABOxy(4)设 a= ，则 a= .,R,)(5)设 a= ,b= ，则 ab= .1()2(,)12)63.两向量的夹角公式(a= ,b= ).1221cosxy1,)xy2(,64.平面两点间的距离公式=,ABd|AB(A ，B ).2211()()xy1(,)xy2(,)65.向量的平行与垂直 设 a= ,b= ，且 b 0，则,2,xA|b b=a .121a b(a 0) ab=0 .2y66.线段的定比分公式 设 ， ， 是线段 的分点, 是实数，且 ，则1(,)Pxy2(,)x(,)Px12
12、P12P12y12O（ ）.12()OPttPt67.三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为 、 、 ,则ABC 的重心的坐标是1Ax,y)2B(3Cxy).123123(,)xyG68.点的平移公式 . hxhykyk OP注:图形 F 上的任意一点 P(x，y)在平移后图形 上的对应点为 ，且 的坐标为 .F(,)Pxy(,)hk69.“按向量平移”的几个结论（1）点 按向量 a= 平移后得到点 .(,)Px(,)h(,)xhyk(2) 函数 的图象 按向量 a= 平移后得到图象 ,则 的函数解析式为 .yfC,)kC ()yfx(3) 图象 按向量 a= 平移后得到图象 ,若
13、 的解析式 ,则 的函数解析式为 ()fC.()yfhk(4)曲线 : 按向量 a= 平移后得到图象 ,则 的方程为 .(,)0fx(,)h ,0xhk(5) 向量 m= 按向量 a= 平移后得到的向量仍然为 m= .yk()xy70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设 为 所在平面上一点，角 所对边长分别为 ，则OABC,ABC,abc（1） 为 的外心 .22O（2） 为 的重心 .0教学资料（高中数学） 祝同学们学习进步10（3） 为 的垂心 .OABCOABCOA（4） 为 的内心 .0abc（5） 为 的 的旁心 .71.常用不等式：（1） (当且仅当 ab 时取“=”号),abR
14、2（2） (当且仅当 ab 时取“=”号)ab（3） 30,).cc（4）柯西不等式 222()(),abddR（5） .ba72.极值定理已知 都是正数，则有yx,（1）若积 是定值 ，则当 时和 有最小值 ；pyxp2（2）若和 是定值 ，则当 时积 有最大值 .sx41s推广 已知 ，则有Ryx, y)()(22（1）若积 是定值,则当 最大时, 最大；|yx|当 最小时, 最小.|（2）若和 是定值,则当 最大时, 最小；| |x当 最小时, 最大.|yx|73.一元二次不等式 ，如果 与 同号，则其20()axbc或 20,40)abaca2xbc解集在两根之外；如果 与 异号，则其
15、解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之x间.；121212()()x., 0x或74.含有绝对值的不等式 当 a 0 时，有.2xaax或 .a75.无理不等式（1） .()0()()ffxgxfg（2） .2()0()()0fxffx或（3） .2()()fxgfg76.指数不等式与对数不等式 (1)当 时,1a教学资料（高中数学） 祝同学们学习进步11; ()()()fxgxafgx.0lol()aafff(2)当 时,01;()()fxgxfgx()0lol)aafff77.斜率公式 （ 、 ）.21ykx1(,)Pxy2(,)xy78.直线的五种方程 （1）点斜式 (直线 过
16、点 ，且斜率为 )11kl1(,)Pxyk（2）斜截式 (b 为直线 在 y 轴上的截距).yxb（3）两点式 ( )( 、 ( ).212121,2,12x(4)截距式 ( 分别为直线的横、纵截距， )ab、 0ab、（5）一般式 (其中 A、B 不同时为 0).0AxByC79.两条直线的平行和垂直 (1)若 ，11:lyk22:lkxb ;2|,b .112l(2)若 , ,且 A1、A 2、B 1、B 2 都不为零,:0AxB22:0lAByC ；1122| Cl ；180.夹角公式 (1) .21tan|k( ， , )1:lyxb2:lykxb12(2) .21t|AB( , ,
17、).1:0lC22:0lByC120AB直线 时，直线 l1 与 l2 的夹角是 .2l81. 到 的角公式 1(1) .21tank( ， , )1:lyxb2:lykxb12教学资料（高中数学） 祝同学们学习进步12(2) .121tanAB( , , ).1:0lxyC22:0lxByC120AB直线 时，直线 l1 到 l2 的角是 .2l82四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点 的直线系方程为 (除直线 ),其中 是待0(,)Pxy00)ykx0xk定的系数; 经过定点 的直线系方程为 ,其中 是待定的系数0(,)xy0()()AxB,AB(2)共点直线系方程：经过两直线
18、 , 的交点的直线系方程为11:lC22:lC(除 )，其中 是待定的系数1122()AxByCABC2(3)平行直线系方程：直线 中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程与直线kxb平行的直线系方程是 ( )， 是参变量00y(4)垂直直线系方程：与直线 (A0，B0)垂直的直线系方程是 ,0BxAy是参变量83.点到直线的距离 (点 ,直线 ： ).02|AxByCd0)Pxyl0AxByC84. 或 所表示的平面区域设直线 ，则 或 所表示的平面区域是：:l若 ，当 与 同号时，表示直线 的上方的区域；当 与 异号时，表示直线0xylBAxyC的下方的区域 .简言之,同号在上
19、,异号在下.l若 ，当 与 同号时，表示直线 的右方的区域；当 与 异号时，表示直线BABC的左方的区域 . 简言之,同号在右,异号在左.85. 或 所表示的平面区域1122()()0xyxy设曲线 （ ） ，则:C120AB或 所表示的平面区域是：所表示的平面区域上下两部分；1122()()AB所表示的平面区域上下两部分.0xyxyC86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 .22()()abr（2）圆的一般方程 ( 0).DxEF24EF（3）圆的参数方程 .cosinry（4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是 、 ).1212()()0y1(,)Axy2(,)B87. 圆系方程(1)过点
20、 , 的圆系方程是1()Ax2B2121212()()()()0yxyx,其中 是直线 的方程, 是待定的0abycabc系数(2)过直线 : 与圆 : 的交点的圆系方程是l0xC2DEF, 是待定的系数2 ()xyDEFABy(3) 过圆 : 与圆 : 的交点的圆系方程是12110xEF2C220xyEyF教学资料（高中数学） 祝同学们学习进步13, 是待定的系数2 21122()0xyDEyFxyDxEyF88.点与圆的位置关系点 与圆 的位置关系有三种0(,)P)rba若 ，则220(d点 在圆外; 点 在圆上; 点 在圆内.rdPdrP89.直线与圆的位置关系直线 与圆 的位置关系有三
21、种:CByAx 22)()(byax;交d;0r.其中 .2BAba90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为 O1，O 2，半径分别为 r1，r 2， dO21;交交421rd;3;交21;交交21r.0d91.圆的切线方程(1)已知圆 20xyDEF若已知切点 在圆上，则切线只有一条，其方程是0(,).00 ()2y当 圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程()xy 00 ()2xEyxF过圆外一点的切线方程可设为 ，再利用相切条件求 k，这时必有两条切线，注意0yk不要漏掉平行于 y 轴的切线斜率为 k 的切线方程可设为 ，再利用相切条件求 b，必有两条切线xb(2)已知圆 22xr过圆
22、上的 点的切线方程为 ;0(,)P20yr斜率为 的圆的切线方程为 .k1ykxr92.椭圆 的参数方程是 .21()xyabcosinayb93.椭圆 焦半径公式 20， .)(1cxePF)(22xcePF94椭圆的的内外部（1）点 在椭圆 的内部 .0(,)y21(0)yab201xyab教学资料（高中数学） 祝同学们学习进步14（2）点 在椭圆 的外部 .0(,)Pxy21(0)xyab201xyab95. 椭圆的切线方程 (1)椭圆 上一点 处的切线方程是 .21(0)ab0(,)Pxy02（2）过椭圆 外一点 所引两条切线的切点弦方程是2xy,.0xyab（3）椭圆 与直线 相切的
23、条件是 .21(0)xab0AxByC22AaBbc96.双曲线 的焦半径公式2,y， .1|()|PFexc22|()|PFexc97.双曲线的内外部(1)点 在双曲线 的内部 .0(,)y21(0,)yab201xyab(2)点 在双曲线 的外部 .,Px,x298.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为 渐近线方程： .12bya20xyabxab(2)若渐近线方程为 双曲线可设为 .x02(3)若双曲线与 有公共渐近线，可设为 （ ，焦点在 x 轴上， ，焦点12bya 2byax00在 y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线 上一点 处的切线方程是 .2(0,)
24、xy0(,)Pxy021xyab（2）过双曲线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是21,ab,.01xyab（3）双曲线 与直线 相切的条件是 .2(0,)xyab0AxByC22AaBbc100. 抛物线 的焦半径公式p抛物线 焦半径 .2()02pCF过焦点弦长 .xxCD121101.抛物线 上的动点可设为 P 或 P ，其中 .py2 ),(2yp交)2,(pt(,)xy2px教学资料（高中数学） 祝同学们学习进步15102.二次函数 的图象是抛物线：（1）顶点坐标为2224()bacyaxbcx(0)；（2）焦点的坐标为 ；（3）准线方程是 .4(,)2bca, 241acby103
25、.抛物线的内外部(1)点 在抛物线 的内部 .0(,Pxy2(0)ypx2(0)ypx点 在抛物线 的外部 .)(2)点 在抛物线 的内部 .0,22点 在抛物线 的外部 .(xy()yx()yx(3)点 在抛物线 的内部 .0,)20p20p点 在抛物线 的外部 .P(4) 点 在抛物线 的内部 .0(,xy2()xy2()xy点 在抛物线 的外部 .)104. 抛物线的切线方程(1)抛物线 上一点 处的切线方程是 .p20(,)P00()px（2）过抛物线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .xyy 0()ypx（3）抛物线 与直线 相切的条件是 .2AxBC2BAC105.两个常见的曲
26、线系方程(1)过曲线 , 的交点的曲线系方程是1(,)0f2()f( 为参数).12(,)fxy(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程 ,其中 .当 时,表示椭221xyakb2max,kb2inkab圆; 当 时,表示双曲线.22min,abk106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或2211()()ABxy（弦端点 A ，22212()|tan|tABxxco ),(),(21yxB由方程 消去 y 得到 ， , 为直线 的倾斜角， 为直线的斜率）. 0,Fy0cbaABk107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线 关于点 成中心对称的曲线是 .(,)x0(,)Pxy0(2-,)0Fxy（2）曲线
27、关于直线 成轴对称的曲线是yABC.22(, )0ABC108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线 ，用 代 ，用 代 ，用 代2xyDxEyF0x20y20xy，用 代 ，用 代 即得方程xy02x0，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均00002yABC 是此方程得到.109证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；教学资料（高中数学） 祝同学们学习进步16（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.110证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面
28、平行.111证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.112证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.113证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.114证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.1
29、15.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：ab=ba(2)加法结合律：(ab)c=a(bc)(3)数乘分配律：(ab)=ab116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量 a、b(b0 ) ，ab 存在实数 使 a=b三点共线 .PAB、 、 |APBtA(1)OPtAB、 共线且 不共线 且 不共线.|CDCD、 BCD、118.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 存在实数对 ,使 xypaxby推
30、论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 存在有序实数对 ,使 ，M或对空间任一定点 O，有序实数对 ，使 .,xyPA119.对空间任一点 和不共线的三点 A、B、C，满足 （ ） ，则当OxyBzOCxyzk时，对于空间任一点 ，总有 P、A、B、C 四点共面；当 时，若 平面 ABC，则 P、A、B、C 四点1k 1k共面；若 平面 ABC，则 P、A、B、C 四点不共面四点共面 与 、 共面 AB、 、 、 DD（ 平面 ABC）.()xyy120.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组 x，y，z，使pxaybzc教学资料
31、（高中数学） 祝同学们学习进步17推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x，y，z，使.Pxyz121.射影公式已知向量 =a 和轴 ，e 是 上与 同方向的单位向量.作 A 点在 上的射影 ，作 B 点在 上的射影 ，ll lAlB则 a，e= ae|cosAB122.向量的直角坐标运算设 a ，b 则123(,)123(,)(1)ab ；12,(2)ab ；,a(3) a (R)；3(,)(4)ab ；12b123.设 A ，B ，则,xyz2(,xyz= .BO11,)124空间的线线平行或垂直设 ， ，则1(,)azr2(,bzr；bP
32、012xyz.arr12120x125.夹角公式 设 a ，b ，则123(,)3(,)cos a，b= .12213ab推论 ，此即三维柯西不等式.2212313()()()ab126. 四面体的对棱所成的角四面体 中, 与 所成的角为 ,则ABCDB.22|()()|cosDA127异面直线所成角 |,|abr= 1212|xyzr（其中 （ ）为异面直线 所成角， 分别表示异面直线 的方向向量）09ooab,rab,128.直线 与平面所成角AB( 为平面 的法向量).sin|marc129.若 所在平面若 与过若 的平面 成的角 ,另两边 , 与平面 成的角分别是 、CABACB1,
33、为 的两个内角，则2、教学资料（高中数学） 祝同学们学习进步18.22221sini(sini)snAB特别地,当 时,有90C.2130.若 所在平面若 与过若 的平面 成的角 ,另两边 , 与平面 成的角分别是 、BACB1, 为 的两个内角，则2A、 O.22221tant(sini)tanAB特别地,当 时,有90.22sii131.二面角 的平面角l或 （ ， 为平面 ， 的法向量）.co|mnarcos|mnar132.三余弦定理设 AC 是 内的任一条直线，且 BCAC，垂足为 C，又设 AO 与 AB 所成的角为 ，AB 与 AC 所成的角为 ，12AO 与 AC 所成的角为
34、则 .12cscs133. 三射线定理若夹在平面角为 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 , ,与二面角的棱所成的角是 12，则有 ;222112sinsinisincos(当且仅当 时等号成立).1|80) 90134.空间两点间的距离公式 若 A ，B ，则1(,)xyz2,xyz= .,Bd|A222111()()()xyz135.点 到直线 距离Ql(点 在直线 上，直线 的方向向量 a= ，向量 b= ).22(|)|habPllPAQ136.异面直线间的距离 ( 是两异面直线，其公垂向量为 ， 分别是 上任一点， 为 间的距离).|CDnd12,l nCD、 12,ld
35、12,l137.点 到平面 的距离 B（ 为平面 的法向量， 是经过面 的一条斜线， ）.|AnABA138.异面直线上两点距离公式 .22cosdhmn.,EF（ ）.22sA(两条异面直线 a、b 所成的角为 ，其公垂线段 的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两点 E、F， , Am, ).AFnEd139.三个向量和的平方公式22() 2ccabca2|os,|os,2|cos,ab bca 教学资料（高中数学） 祝同学们学习进步19140. 长度为 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 ，夹角分别为 ,则l 123l、 、 123、 、有.2213l22213coscos1
36、221sinisin（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141. 面积射影定理 .csS(平面多边形及其射影的面积分别是 、 ，它们所在平面所成锐二面角的为 ).S 142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是 ,侧面积和体积分别是 和 ,它的直截面的周长和面积分别是 和 ,l 斜 棱 柱 侧 V斜 棱 柱 1cS则 .1Scl斜 棱 柱 侧 .V斜 棱 柱143作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.144棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等
37、，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方） ；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比145.欧拉定理(欧拉公式) (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F).2VFE（1） =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 的多边形，则面数 F 与棱数 E 的关系：n；n（2）若每个顶点引出的棱数为 ，则顶点数 V 与棱数 E 的关系： .m12mV146.球的半径是 R，则其体积 ,34V其表面积 2S147.球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体
38、的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 的正四面体的内切球的半径为 ,外接球的半径为 .a612a64a148柱体、锥体的体积（ 是柱体的底面积、 是柱体的高）.13VSh柱 体 h（ 是锥体的底面积、 是锥体的高）.锥 体149.分类计数原理（加法原理）.12nNm150.分步计数原理（乘法原理）教学资料（高中数学） 祝同学们学习进步20.12nNm151.排列数公式 = = .( ， N *，且 )nA)1() ！ )(mnmn注:规定 .!0152.排列恒等式 (1） ;
39、1()mnnA（2） ;m（3） ; 1n（4） ;n（5） .11mmnA(6) .!23!()!1153.组合数公式 = = = ( N *， ，且 ).mnCn1() ！ ！ )mn Nmn154.组合数的两个性质(1) = ;n(2) + = .m1n注:规定 .0n155.组合恒等式（1） ;1mmnnC（2） ;1（3） ; mnn（4） = ;rC02（5） .11rnrC(6) .rnnn 22(7) .1420531 n(8) .132nnnCC(9) .rnmrrmr 010(10) .nnn 2222 )()()(156.排列数与组合数的关系.mnnAC！157单条件排列
40、以下各条的大前提是从 个元素中取 个元素的排列.m教学资料（高中数学） 祝同学们学习进步21（1） “在位”与“不在位”某（特）元必在某位有 种；某（特）元不在某位有 （补集思想） （着眼位1mnA1mnA1mnA置） （着眼元素）种.11mnnA（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）定位紧贴： 个元在固定位的排列有 种.)(kkmn浮动紧贴： 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 种.注：此类问题常用捆绑法；k1插空：两组元素分别有 k、h 个（ ） ，把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所1有排列数有 种.khA1（3）两组元素各相同的插空 个大球 个小球排成一列，小球必分
41、开，问有多少种排法？mn当 时，无解；当 时，有 种排法.1mnnmCA1（4）两组相同元素的排列：两组元素有 m 个和 n 个，各组元素分别相同的排列数为 .nmC158分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的 、 个物件等分给 个人，各得 件，其分配方法数共有n.mnnmnmCCN)!(22（2）(平均分组无归属问题)将相异的 个物体等分为无记号或无顺序的 堆，其分配方法数共有.nnn )!(!.2（3）(非平均分组有归属问题) 将相异的 个物体分给 个人，物件必须被分完，分别得)12mP=n+m到 ， ， 件，且 ， ， 这 个数彼此不相等，则其分配方法数共有12m12.!.1 mn
42、pn npCN（4）(非完全平均分组有归属问题) 将相异的 个物体分给 个人，物件必须被分完，分)12mP(=n+别得到 ， ， 件，且 ， ， 这 个数中分别有 a、b、c、个相等，则其分配方法数有12m12.!.1cbanpn12!.()mpnabc（5）(非平均分组无归属问题) 将相异的 个物体分为任意的 ， ， 件无记号)12mP=+n1n2mn的 堆，且 ， ， 这 个数彼此不相等，则其分配方法数有 .m1n2 !2mpN（6）(非完全平均分组无归属问题) 将相异的 个物体分为任意的 ， ， 件无)12m(12记号的 堆，且 ， ， 这 个数中分别有 a、b、c、个相等，则其分配方法
43、数有12mn.!)(!.21cbanpNm（7）(限定分组有归属问题)将相异的 （ ）个物体分给甲、乙、丙，等 个人，p2mn1+物体必须被分完，如果指定甲得 件，乙得 件，丙得 件，时，则无论 ， ， 等 个数是否1n231n2mn全相异或不全相异其分配方法数恒有.!.21211 mnpnCNm159 “错位问题”及其推广教学资料（高中数学） 祝同学们学习进步22贝努利装错笺问题:信 封信与 个信封全部错位的组合数为n.11()!()234!nfn推广: 个元素与 个位置,其中至少有 个元素错位的不同组合总数为m1234(,)!()()()!()!1m mpfCnCn .1234! ()(1
44、)pmmnnnnCAAA 160不定方程 的解的个数2x1+(1)方程 （ ）的正整数解有 个.n ,N1m(2) 方程 （ ）的非负整数解有 个.2 n(3) 方程 （ ）满足条件 ( , )的非负整数解有nxm1,ixkN21in个.1(2)mnkC(4) 方程 （ ）满足条件 ( , )的正整数解有2nx+,ii个.1223 21(2)11()nmnmknmk nmnkCC161.二项式定理 ;nrnrn bCabaab 10)(二项展开式的通项公式.rnrraT1 )2， 162.等可能性事件的概率.()PA163.互斥事件 A，B 分别发生的概率的和P(AB)=P(A)P(B)164. 个互斥事件分别发生的概率的和nP(A1A 2A n)=P(A1)P(A 2)P(A n)165.独立事件 A，B 同时发生的概率P(AB)= P(A)P(B).166.n 个独立事件同时发生的概率P(A1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An)167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率()().kknnPCP168.离散型随机变量的分布列的两个性质（1） ;0,i（2） .21169.数学期望 1nExPxP
