1、 版权所有：中华资源库 带电粒子在磁场中运动问题破解之道巧用临界找轨迹带电粒子（质量 m、电量 q 确定） 在有界磁场中运动时，涉及的可能变化的参量有入射点、入射速度大小、入射方向、出射点、出射方向、磁感应强度大小、磁场方向等，其中磁感应强度大小与入射速度大小影响的都是轨道半径的大小，可归并为同一因素（以“入射速度大小”代表） ，磁场方向在一般问题中不改变，若改变，也只需将已讨论情况按反方向偏转再分析一下即可。在具体问题中，这五个参量一般都是已知两个，剩下其他参量不确定（但知道变化范围）或待定，按已知参数可将问题分为如下 10 类（ ） ，并可归并为 6 大类型。25C所有这些问题，其通用解法
2、是：第一步，找准轨迹圆圆心可能的位置，第二步，按一定顺序尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆（一般至少 5 画个轨迹圆） ，第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆，从而抓住解题的关键点。类型一：已知入射点和入射速度方向，但入射速度大小不确定（即轨道半径不确定）这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。【例 1】如图所示，长为 L 的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为 B，板间距离也为 L，板不带电现有质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子( 不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度 v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是
3、A使粒子的速度 vBqL4m 5BqL4mC使粒子的速度 v D使粒子的速度 时粒子能从右边穿出mv1Bq 5BqL4m 5BqL4m粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在 O点，有 r2L4由 r2 ，得 v2 ，所以 v0，00，xa 的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为 B。在 O 点处有一小孔，一束质量为 m、带电量为 q（ q0）的粒子沿 x 轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值已知速度最大的粒子在0a 的区域中运动的时间之比为2：5，在磁场中运动的总时间为7T/12 ，其中 T 为该粒子在磁
4、感应强度为 B 的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响） 。【分析】粒子在0a 的区域，由对称性可知，粒子在 xa 的区域内的轨迹圆圆心均在在 x=2a 直线上，在 x=2a 直线上取不同点为圆心，半径由小取到大，可作出一系列圆（如图乙） ，其中轨迹圆为半径最小的情况，轨迹圆为题目所要求的速度 图乙图甲a 2a 2aa图乙图甲 版权所有：中华资源库 最大的粒子的轨迹。【答案】竖直屏上发亮的范围从 0 到 2a，水平屏上发亮的范围从 2a 到23xa【解答】 粒子在磁感应强度为 B 的匀强磁场中运动半径为： mvrqB速度小的粒子将在 xa 的区域中运动的时间，
5、由题意可知， 由此解得： 25t127Tt16Tt152t由式和对称性可得 0OCM60N 所以 3605MCP 9P即弧长 NP 为1/4圆周。因此，圆心 在 x 轴上。设速度为最大值粒子的轨道半径为 R，有直角 可得A2sin60Ra23a由图可知 OP=2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标 3xax版权所有：中华资源库 【易错提醒】本题容易把握不住隐含条件所有在 xa 的区域内的轨迹圆圆心均在在 x=2a 直线上，从而造成在 xa 的区域内的作图困难；另一方面，在 xa 的区域内作轨迹圆时，半径未从轨迹圆半径开始取值，致使轨迹圆未作出，从而将水平荧光屏发亮范围的左边界坐标确定为
6、 x=a。类型二：已知入射点和入射速度大小（即轨道半径大小） ，但入射速度方向不确定这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”上所谓“圆心圆” ，是指以入射点为圆心，以 为半径的圆。mvrqB【例 2】如图所示，在 0xa、0y 范围内有垂直手 xy 平面向外的匀强磁场，磁感2应强度大小为 B。坐标原点 O 处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为 q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在 xOy 平面内，与 y 轴正方向的夹角分布在 0 范围内。己知粒子在磁场中做圆9周运动的半径介于 a/2 到 a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中
7、做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的(1)速度的大小；(2)速度方向与 y 轴正方向夹角的正弦。【分析】本题给定的情形是粒子轨道半径 r 大小确定但初速度方向不确定，所有粒子的轨迹圆都要经过入射点 O，入射点 O 到任一圆心的距离均为 r，故所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”以入射点 O 为圆心、r 为半径的圆周上（如图甲） 。考虑到粒子是向右偏转，我们从最左边的轨迹圆画起取“圆心圆”上不同点为圆心、r 为半径作出一系列圆，如图乙所示；其中，轨迹对应弦长大于轨迹对应弦长半径一定、圆心角都较小时（均小于 180） ，弦长越长，圆心角越大，粒子在磁场中运动时间越长故轨迹对
8、应圆心角为 90。图乙图甲版权所有：中华资源库 【答案】 66(2)(2)aqBRavm6-， ， sin=【解答】设粒子的发射速度为 v，粒子做圆周运动的轨道半径为 R，根据牛顿第二定律和洛伦兹力得：， 解得：2vqBmRvqB当 a/20)和初速度 v的带电微粒沿x轴正方向射向该区域，其中沿半径AO 方向进入磁场区域的带电微粒经磁场偏转后，从坐标原点O 沿y轴负方向离开。(1)求磁感应强度B的大小和方向。(2)请指出这束带电微粒与 x 轴相交的区域，并说明理由。【分析】 （1）从 A 点进入磁场区域的微粒轨迹圆心在 A 点正下方相距 R 的 C 处，微粒轨迹如图所示，可知微粒轨迹半径为 ；
9、（2）所有这些微粒进入磁场后做圆周运动qBmvR的圆心均在如图所示半圆虚线 OCD 上，在该曲线上由上到下取点作为圆心 、以 R 为半径f ffCDCD版权所有：中华资源库 作一系列轨迹圆，易由图可知这些微粒均与 x 轴相交于原点因为圆心所在曲线半圆 OCD 的圆心是原点 O。【答案】(1) ，方向垂直 xOy 平面向外；（2）这束微粒均与 x 轴相交于原点。qRmvB类型六：已知初速度方向（所在直线）和出射点，但入射点不确定这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在“以初速度所在直线为准线、出射点为焦点的抛物线”上。【例6】如图所示，现有一质量为 m、电量为 e 的电子从 y 轴上的P（0， a
10、）点以初速度 v0平行于 x 轴射出，在 y 轴右侧某一圆形区域加一垂直于 xoy 平面向里匀强磁场，磁感应强度大小为 B. 为了使电子能从 x 轴上的 Q（ b，0）点射出磁场。试求满足条件的磁场的最小面积，并求出该磁场圆圆心的坐标。【分析】本题中，电子初速度所在直线已知，电子进入磁场的入射点在该直线上，则可知电子在磁场中作圆周运动的轨迹圆与该直线相切、且经过 Q 点，所以电子轨迹圆圆心到该直线和到 Q 点的距离相等，即电子轨迹圆圆心在以该直线为准线、Q 点为焦点的抛物线上。在该抛物线上从左向右去不同点为圆心，做出一些列轨迹圆，可以看出所有这些轨迹中轨迹所需圆形磁场的直径最小。版权所有：中华资源库 【答案】 ， （b, ）241a
