1、1三角恒等式证明 9 种基本技巧三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。1化角观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。例 1 求证：tan x - tan x =231x2cosin思路分析：本题的关键是角度关系：x= x - x，可作以下证明：312化函数三角函数中有几组重要公式，它们不仅揭示了角间的关系，同时揭示了函数间的相互关系，三角变换中，以观察函数
2、名称的差异为主观点，以化异为为同（如化切为弦等）的思路，恰当选用公式，这也是证明三角恒等式的一种基本技巧。例 2 设 + =1，求证：tanA、tanC、tanB 顺次成等比数列。ABtan)(C2si思路分析：欲证 tan2C = tanAtanB，将条件中的弦化切是关键。3化幂应用升、降幂公式作幂的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式证明的一种技巧。例 3 求证 cos4-4cos2+3=8sin 4思路分析：应用降幂公式，从右证到左：24化常数将已知或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需要，这方面的例子效多。如1=sin2+cos 2=sec 2-tan
3、2=csc 2-cot2=tancot=sincsc=cossec，1=tan45 0=sin900=cos00等等。如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。例 4 求证 =22sinco1ta1思路分析：将左式分子中“1”用“sin 2+cos 2”代替，问题便迎刃而解。5化参数用代入、加减、乘除及三角公式消去参数的方法同样在证明恒等式时用到。例 5 已知 acos2+bsin 2=mcos 2，asin 2+bcos 2=nsin 2，mtan 2=ntan 2(n) 求证：(a+b)(m+n)=2mn 6化比一些附有积或商形式的条件三角恒等式证明问题，常可考虑应用比例的有关定理。
4、用等比定理，合、分比定理对条件加以变换，或顺推出结论，或简化条件，常常可以为解题带来方便。例 6 已知(1+ cos)(1- cos)=1- 2( 0，1)。求证：tan 2 = tan21思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将 分离出来，以结论中 为向导，应用合比定理即可达到论证之目的。37化结构观察等式左右结构上的差异，立足于统一结构形式也是三角恒等式的一种技巧。例 7 设 A+B+C=，求证：sinA+sinB+sinC=4cos cos cos2ABC思路分析：这里等式左右分别为和积的形式，现将左边化成积。8化拆项这一类恒等式可与数学求和结合起来，常拆项相消法。例 8 求 cosx
5、+cos2x+cosnx= 2sin1cox思路分析：左边同乘以 sin ,去括号，积化和差可得 x9.数学归纳法与自然数有关的命题，还可以用数学归纳法解决。上述例题可用数学归纳法证明。三角恒等式的证明【考点回顾】1三角公式在恒等变形中的应用；2常规恒等变形方法、定义法、分析法、综合法、比较法、切割化弦等方法.例 1求证： .0)6tan()60tan()60tan()ta(3 AAA4例 2求证： .)cos1(2scos3cos2sco1 nn例 3求证： .cossin1)i(2cos1insi1co 【基础训练】1 求证：(sin+tan)(cos+cot)=(1+sin)(1+cos
6、).2 求证：(1tan)=(cos 2-cot)(sec 2+1tan).3 求证： .1sin23sin54 求证：tan13 xtan8 xtan5 x = tan13xtan8xtan5x.【拓展练习】1条件甲：3sincos(+)=sin(2+)，条件乙：tan(+)=2tan，则甲是乙的 （ ）A充分条件 B必要条件 C充要条件 D即不充分也不必要条件2 等于 （ ）2tancos4A Bsin2 Csin2 Dcosi1 2sin163已知 、 均为锐角，且 、 的大小关系是 （ ）则),sin(21iA B C D 与 的大小不确定4求证： ).3tan5(t4cos23tan
7、5t xx5求证：(cscA+cotA)(1sinA)(secA+tanA)(1-cosA)=(cscAsecA)2(1cosA)(1sinA).66求证： .cosin1tasec1xx7求证： .4sincos32c4cot2tcot 8求证： .2sin4i12cossinco88 a9求证： .2cot2cot12tan14tan12tatn 1 nn710求证：（1） .2cos2)1cos(3cos2coscs1 nnCCnnn（2） .2sinco2)1sin(3sin2sinsi1 CCn11在矩形 ABCD 中，P 为时间线 BD 上一点，APBD，PEBC，PFDC.求证：
8、 .1)()(3232BDFOE8三角恒等式证明答案 ：1.右式= = = tan x - tan x。x21cos3)in(x21cos3inin2312. sin2C= ，sin 2A= = 由已知可得CtanAtanC2sin)tan1(t22CA=1- = ，AC2sinBt)()t1(tBA = = )tan1(ta2tant22C2tan1BAtan即 tan2C = tanAtanB 命题成立。3. 思路分析：应用降幂公式，从右证到左：右边=8( )2=2(1-2cos2+cos 22)= 2(1-2cos2+ )=cos4-4cos2+3=左边。cos1 24cos14. 思路
9、分析：将左式分子中“1”用“sin 2+cos 2”代替，问题便迎刃而解。左边= = = =右边)sin)(cosin(co2sinco)(ta15. 思路分析：消去参数，当 m=0 时，由 mtan2=ntan 2 得 n=0，显然成立。当 m0 时，只须消去 、 即可。由 acos2+bsin 2=mcos 2，asin 2+bcos 2=nsin 2 得= tan2，再由 mtan2=ntan 2 得 =tan2 即可得22sincosibam22sincosiba=tan2，解得 tan2=1，所以 sin2=cos 2= 。2t 1求得 cos2= ，sin 2= ，又由 cos2+
10、sin 2=1 不得。 + =1 ，nbam2na即 (a+b)(m+n)=2mn6. 思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将 分离出来，以结论中 为向导，应用合比1定理即可达到论证之目的。 由已知得 1+ cos- cos- 2coscos=1- 2, 2(coscos-1)= (cos-cos)， = 依合分比定理得1cos= = =1s1cos)1)(cos(2sinc429=tan2 cot2 tan 2 = tan2 17. 思路分析：这里等式左右分别为和积的形式，现将左边化成积。 A+B+C= sinC=sin-(A+B)=sin(A+B) 左边=2sin cos + sin(A+B)= 2BA2sin (cos +cos )=2sin 2cos cos2BA2BA2=4 cos cos cosC8. 思路分析：左边同乘以 sin ,去括号，积化和差可得 2x左边= (sin -sin )+(sin -sin )+(sin -sin )213x532)1(xn2)1(xn= (sin - sin )=cos sin)(n2)1(xn
