1、数学分析第五章定积分3定积分在物理学上的应用第五节功、水压力、引力变力沿直线所做的功水压力引力数学分析第五章定积分3定积分在物理学上的应用由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力 F作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离 s时，力 F对物体所作的功为 sFW = . 如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而采用微元法，即：积分元素法思想.一、变力沿直线所作的功数学分析第五章定积分3定积分在物理学上的应用问题：物体在变力F(x)的作用下，从x轴上a点移动到b点，求变力所做的功。用积分元素法1）在a,b上考虑小区间x, x+
2、x，在此小区间上wdw=F(x)dx 2）将dw从a到b求定积分，就得到所求的功=babadxxFdwW )(数学分析第五章定积分3定积分在物理学上的应用例1 把一个带 q+ 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点处，它产生一个电场这个电场对周围的电荷有作用力由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场对它的作用力的大小为 2rqkF =（k是常数），当这个单位正电荷在电场中从 ar = 处沿 r 轴移动到 br = 处时，计算电场力 F 对它所作的功 数学分析第五章定积分3定积分在物理学上的应用解取r为积分变量，roq+ab 1+r, bardrr+取任一小区间
3、, drrr + ,功元素,2drrkqdw =所求功为drrkqwba=2barkq=1.11=bakq如果要考虑将单位电荷移到无穷远处drrkqwa+=2+=arkq1.akq=数学分析第五章定积分3定积分在物理学上的应用点击图片任意处播放 暂停例2 一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出，需作多少功？解建立坐标系如图xoxdxx+取x为积分变量，5,0x5取任一小区间, dxxx + ,用积分元素法数学分析第五章定积分3定积分在物理学上的应用xoxdxx+5这一薄层水的重力为dx238.9 功元素:,2.88 dxxdw =dxxw =2.885050
4、222.88=x3462(千焦)数学分析第五章定积分3定积分在物理学上的应用解设木板对铁钉的阻力为,)( kxxf =第一次锤击时所作的功为=101)( dxxfw,2k=.)(0=hhdxxfw例3用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第次锤击时又将铁钉击入多少？n设次击入的总深度为厘米hn次锤击所作的总功为n数学分析第五章定积分3定积分在物理学上的应用=hhkxdxw0,22kh=依题意知，每次锤击所作的功相等1nwwh=22kh,2kn=,nh=.1 nn次击入的总深度为n第次击入的深度为n数学分
5、析第五章定积分3定积分在物理学上的应用由物理学知道，在水深为h处的压强为hp =，这里 是水的比重如果有一面积为 A的平板水平地放置在水深为 h处，那么，平板一侧所受的水压力为 ApP = 如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压强p不相等，平板一侧所受的水压力就不能直接使用此公式，而采用“积分元素法”思想二、水压力数学分析第五章定积分3定积分在物理学上的应用例4 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的比重为 ，计算桶的一端面上所受的压力 解在端面建立坐标系如图xo取x为积分变量，,0 Rx取任一小区间, dxxx +xdxx+小矩形片上各处的压强近似相等小矩形片的
6、面积为.222dxxR ,xp =数学分析第五章定积分3定积分在物理学上的应用小矩形片的压力元素为dxxRxdP222 = 端面上所受的压力dxxRxPR2202 =)(22022xRdxRR=()RxR032232= .323R=数学分析第五章定积分3定积分在物理学上的应用例5 将直角边各为a及a2的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力解建立坐标系如图xoa2a2a面积微元,)(2 dxxadxxaaxdP += 1)(2)2(dxxaaxPa)(2(20+=.373a=数学分析第五章定积分3定积分在物理学上的
7、应用由物理学知道，质量分别为21, mm相距为r的两个质点间的引力的大小为221rmmkF =，其中k为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能用此公式计算三、引力数学分析第五章定积分3定积分在物理学上的应用例6 有一长度为 l、线密度为 的均匀细棒，在其中垂线上距棒 a单位处有一质量为 m的质点M，计算该棒对质点M的引力 2l2lxyoMa解建立坐标系如图取y为积分变量取任一小区间, dyyy +,2,2lly将典型小段近似看成质点小段的质量为,dyrydyy+数学分析第
8、五章定积分3定积分在物理学上的应用小段与质点的距离为,22yar +=引力,22yadymkF+水平方向的分力元素,)(2322yadyamkdFx+=2322)(22yadyamkFllx+=,)4(22122laalkm+=由对称性知，引力在铅直方向分力为.0=yF数学分析第五章定积分3定积分在物理学上的应用利用“积分元素法(微元法 )”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题（注意熟悉相关的物理知识）四、小结数学分析第五章定积分3定积分在物理学上的应用思考题.,4,20,3050,静压力求闸门一侧所受的水的米高出水面如果闸门顶部米高为米米和分别为梯形的上下底如图所示一等腰梯形闸门数学分析第五章定积分3定积分在物理学上的应用+=160)2321(2 dxxgxP 16023)233( xxg += )25623409631( += gg67.4522=).(1043.47牛解xyo164xdxx+AB如图建立坐标系,的方程为则梯形的腰AB.2321+= xy此闸门一侧受到静水压力为
