1、第三节格林公式及其应用,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件,三、二元函数的全微分求积,一、格林公式,设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,(一)、区域连通性的分类,边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,闭区域边界曲线的正向,复连通区域,单连通区域,(二)、格林公式,定理1,例1.,设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明,1. 简化曲线积分,(三)、简单应用,曲线积分,二重积分,格林公式,2. 简化二重积分,二重积分,曲线积分,格林公式,x,y,o,3. 计
2、算平面面积,例5 求椭圆,所围面积。,解,(注意格林公式的条件),(一)、曲线积分与路径无关的定义,B,A,如果在区域G内有,二、曲线积分与路径无关的条件,(二)、曲线积分与路径无关的条件,定理2,两条件缺一不可,定理的说明：,定理3,三、二元函数的全微分求积,公式,例9. 验证,是某个函数的全微分, 并求,出这个函数.,例10. 验证,在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函,数 , 并求出它.,四、等价条件,若区域 如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。,思考题,思考题解答,由两部分组成,外边界：,内边界：,（一）曲线积分,（二）二类曲线积分之间的联系,（三）格林公式及应用,一、主要内容,第一至三节总结,二、曲线积分的计算法,1. 基本方法,曲线积分,第一类 ( 对弧长 ),第二类 ( 对坐标 ),(1) 统一积分变量,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2) 确定积分上下限,第一类: 下小上大,第二类: 下始上终,曲 线 积 分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,联系,计算,(与方向有关),解,解,(如下图),(1) 利用对称性简化计算 ;,(2) 利用积分与路径无关的等价条件;,(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ;,2. 基本技巧,作业P213. 2,3,5 ,6,
