1、九年级数学（上册）第一章 证明(二),2.直角三角形（1） 勾股定理与它的逆定理的证明,驶向胜利的彼岸,勾股定理,如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.,驶向胜利的彼岸,勾股定理的证明,方法一: 拼图计算 方法二：割补法 方法三：赵爽的弦图 方法四：总统证法 方法五：青朱出入图 方法六：折纸法 方法七：拼图计算,这些证法你还能记得多少?你最喜欢哪种证法?,总统证法,驶向胜利的彼岸,这个证明方法出自一位总统, 1881年，伽菲尔德(J.A.
2、Garfield )就任美国第二十任总统,在 1876 , 利用了梯形面积公式。 图中三个三角形面积的和是 2ab/2c/2;梯形面积为(a+b)(a+b)/2; 比较可得:c2 = a2+b2 。,伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。 勾股定理不只是数学家爱好，魅力真大！,驶向胜利的彼岸,勾股定理的逆定理,如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.,已知:如图(1),在ABC中,AC2+BC2=AB2. 求证:ABC是直角三角形.,驶向胜利的彼岸,逆定理的证明,证明:作Rt A
3、BC使C =900,AC=AC,BC=BC(如图),则,已知:如图(1),在ABC中,AC2+BC2=AB2. 求证:ABC是直角三角形.,AC2+BC2=AB2(勾股定理).,AC2+BC2=AB2(已知), AC=AC,BC=BC(作图), AB2=AB2(等式性质)., AB=AB(等式性质)., ABC ABC(SSS)., A=A 900(全等三角形的对应边)., ABC是直角三角形(直角三角形意义).,几何的三种语言,驶向胜利的彼岸,勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.,这是判定直角三角形的根据之一.,在ABC中 AC2+BC2=A
4、B2(已知), ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形).,驶向胜利的彼岸,命题与逆命题,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.,如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形,观察上面两个命题,它们的条件与结论之间有怎样的关系?与同伴交流.,再观察下面三组命题:,如果两个角是对顶角,那么它们相等, 如果两个角相等,那么它们是对顶角;,如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧, 如果小明发烧,那么他一定患了肺炎;,三角形中相等的边所对的角相等, 三角形中相等的角所对的边相等.,上面每组中两个命题的条件和结论之间也有类似的关系吗?
5、与同伴进行交流.,驶向胜利的彼岸,命题与逆命题,在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.,你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗?,它们都是真命题吗?,想一想:一个命题是真命题,它逆命题是真命题还是假命题?,驶向胜利的彼岸,定理与逆定理,一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.,我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理, 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.,你还能举出一些例子吗?,想一想: 互逆命题与互逆定理有何关系?,如果一个定理的逆命题经过证
6、明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.,蓄势待发,驶向胜利的彼岸,老师提示: 你是否能将有关命题的知识予以整理.,说出下列合理的逆命题,并判断每对命题的真假:,四边形是多边形; 两直线平行,同旁内角互补; 如果ab=0,那么a=0,b=0.,请你举出一些命题,然后写出它的逆命题,并判断这些逆命题的真假.,学无止境,勾股定理是数学上有证明方法最多的定理有四百多种说明！ 古今中外有许多人探索勾股定理的证明方法，不但有数学家，还有物理学家，甚至画家、政治家。如赵爽（中）、梅文鼎（中）、欧几里德（希腊）、辛卜松（英）、加菲尔德（美第二十届总统）等等。其
7、证明方法达数百种之多，这在数学史上是十分罕见的.,驶向胜利的彼岸,P18读一读： 勾股定理的证明.,学无止境,历时几千年的两个定理，牵动着世界上不知多少代亿万人们的心，前人以坚韧的毅力，开拓创新的精神谱写了科学知识宝库中探宝的光辉篇章，还有许多宝藏等待后人开采。自然无限，创造永恒。同学们要努力学习，提高自身素质，不辜负时代重托，将来为人类作出更大贡献。,驶向胜利的彼岸,P18读一读： 勾股定理的证明.,学无止境,学习永远是件快乐而有趣的事！ 勾股定理的魅力将把你引入一个奇妙的境界！,驶向胜利的彼岸,P18读一读： 勾股定理的证明.,梦想成真,1.如图(单位：英尺),在一个长方体的房间里,一只蜘
8、蛛在一面墙的正中间离天花板1英尺的A处,苍蝇则在对面墙的正中间离地板1英尺的B处. 试问:蜘蛛为了捕获苍蝇,需要爬行的最短距离是多少?,回味无穷,勾股定理: 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）. 勾股定理的逆定理: 如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形. 命题与逆命题 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 定理与逆
9、定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.,知识的升华,P9习题1.4 1,2,3题.祝你成功！,习题1.4,驶向胜利的彼岸,1.如图，在ABC中，已知AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm. 求证:AB=AC.,证明:BD=CD,BC=10cm(已知), BD=5cm(等式性质)., AD2+BD2=122+52144+25=169,AB2=132=169,AD2+BD2=AB2.,D, 在ABD中,ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形).,在
10、RtADC中,AC2=DC2+AD2=122+52144+25=169,AC2=AB2.,AB=AC(等式性质).,习题1.4,驶向胜利的彼岸,2.房梁的一部分如图所示,其中BCAC,A=300,AB=10m,CB1AB, B1C1AC,垂足为B1,C1,那么BC的长是多少？B1C1呢？,解:BCAC,A=300,AB=10m(已知), BC=AB/2=1025(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半),又CB1AB,BCB1=900-600=300(直角三角形两锐角互余),CB1=BC/2=522.5(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所
11、对的直角边等于斜边的一半).,老师提示:对于含300角的直角三角形边之间,角之间的关系要作为常识去认可.,AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5(等式性质).,B1C1=AB1/2=7.523.75(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).,习题1.4,驶向胜利的彼岸,3.如图,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲从正四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧面到点C1处吃食物,那么它需要爬行的最短路径是多少？,解:如下图,将四棱柱的侧面展开,连结AC1,AC=10cm,CC1=8cm(已知),老师提示:对于空间图形需要动手操作,将其转化为平面图形来解决.,答:蚂蚁需要爬行的最短路径是 cm.,结束寄语,严格性之于数学家,犹如道德之于人. 证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.,
