1、- - - word 可编辑.历年考研数学一真题 1987-2017（答案+解析）（经 典珍藏版）最近三年+回顾过去最近三年篇（2015-2017）2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一)试卷一、选择题 18 小题每小题 4 分，共 32 分设函数 在 上连续，其二阶导数 的图形如右()fx,)()fx图所示，则曲线 在 的拐点个数为y(,（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【详 解 】对 于连续 函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点 但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶0x导数都是正的，所
2、以对应的点不是拐点而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C）2设 是二阶常系数非齐次线性微分方程213()xxyee的一个特解，则 xabc（A） （B）21,321,abc（C） （D）,3,abc【详 解 】线 性微分方程的特征方程为 ，由特20rab解可知 一定是特征方程的一个实根如果 不12r21r- - - word 可编辑.是特征方程的实根，则对应于 的特解的形式 应该为 ，()xfce()xQe其中 应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以 也是()Qx 21r特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得，同时 是原来方程的一个解，代21321()
3、,ab*xye入可得 应该选（A）c若级数 条件收敛， 则 依次为级数1na3,x的1()nx（）收敛点，收敛点 （）收敛点，发散点(）发 散点，收 敛点 （）发散点，发散点【详 解 】注意 条件 级数 条件收敛等价于幂级数 在 处条件1na1nax收敛，也就是这个幂级数的收敛为 ，即 ，所以limn的收敛半径 ，绝对收敛域为 ，1()nnax1li()nnaR02(,)显然 依次为收敛点、发散点，应该选（B）3,设 D 是第一象限中由曲线 与直线 所214,xy3,yx围成的平面区域，函数 在 D 上连续，则 （ (,)f ()Dfd） （） （）1324sin(cos,in)dfrrd12
4、34sin(s,i)fr（） （）1324sin(cos,in)dfrdr1234sin(s,i)fr【详 解 】积 分区域如 图所示，化成极坐标方程：221121 2sincosinsinxyrrr221141 2sincosinsinxyrrr- - - word 可编辑.也就是 D： 43112sinsir所以 ，所以应该选(,)Dfxyd1234sin(cos,in)frrd（B ） 5设矩阵 ，若集合 ，则线性方程22114,Aabd12,组 有无穷多解的充分必要条件是xb（A） （B）,ad,ad（C） （D）【详 解 】对线 性方程 组的增广矩阵进行初等行变换： 22211111
5、0043 22(,) ()()BAbadadad 方程组无穷解的充分必要条件是 ，也就是(),)rAb同时成立，当然应该选（D） 120120(),()ad6设二次型 在正交 变换 下的标准形 为23fxxPy，其中 ，若 ，则213y123,Pe132,Qe在 下的标准形为2(,)fQy（A） （B ）2132213y（C） （D ） 2y 2【详 解 】 ，1321230011,QeeP0TTP21TTTfxAyy所以 01010210211TTQAPA- - - word 可编辑.故选择（A） 7若 为任意两个随机事件，则（ ）,B（A） （B） ()()PA()()PAB（C） （D）
6、2P()(BPA【详 解 】 所以 故(),(),PA2()(PAB选择（C） 8设随机变量 不相关，且 ，则,XY213,EXYD（ ）2()E（A） （B ） （C ） （D）3355【详 解 】 2 225()()()()EXYEXYEXEXY故应该选择（D） 二、填空题（本题共 6 小题，每小 题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）9 20ln(cos)imx【详 解 】 20012l()tanilixx10 21sincod【详 解 】只要注意 为奇函数，在对称区间上积分为零，isx所以22 2014in.codx 11若函数 是由方程 确定，则(,)zxycoszey
7、x01(,)|d【详 解 】设 ，则2,)cszFyeyx1(,sin,(,),(,)zx yzzFxyexy 且当 时， ，所以0y0z- - - word 可编辑.01 010(,) (,)(,)(,)| | ,yxz zFFzz也就得到 01(,)|d.12设 是由平面 和三个坐标面围成的空间 区域，则1xyz23()xyz【详 解 】注意在 积 分区域内，三个变量 具有轮换对称性，也就是,xyzdxzddxyz112001236634()yxyz()zDxz zd 13 阶行列式 n2021012 【详 解 】按照第一行展开，得 ，1112()nn nDD有 12()nnD由于 ，得
8、16, 1122()nn14设二维随机变量 服从正态分布 ，则(,)XY10(,;)N0PY【详 解 】由于相 关 系数等于零，所以 X，Y 都服从正态分布，且相互独立11(,)(,)XN则 0111010022(), ,PYPYXPYXPYX三、解答题15 （本题满分 10 分）设函数 ，1()ln()sifxaxb在 时为等价无穷小，求常数 的取值3()gxk0,k【详 解 】当 时，把函数 展开到三阶()l()sif的马克劳林公式，得 23323161()()() )xfxaobxoxa- - - word 可编辑.由于当 时， 是等价无穷小，则有 ，0x(),fxg1023abk解得，
9、 123,.abk16 （本题满分 10 分）设函数 在定义域 上的导数大于零，若对任意的 ，曲线)(xfyI 0xI在点 处的切线与直线 及 轴所围成区域的面0,)0x积恒为 4，且 ，求 的表达式2(f(f【详 解 】 在点 处的切线方程为)xy0,)x0(ff令 ，得y00)(xf曲线 在点 处的切线与直线 及 轴所围成区域)(f0,)x0x的面积为000142()()fxSfx整理，得 ，解方程，得 ，由于 ，得8y 18Cy2()f12C所求曲线方程为 84.yx17 （本题满分 10 分）设函数 ，曲线 ，求 在(,)fxyy23:Cxy(,)fxy曲线 上的最大方向导数C【详 解
10、 】显 然 1,ffyxx在 处的梯度(,)fy(,)1,fgradyxx在 处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大 值为梯度(,)fy,的模 221()()gradfyx- - - word 可编辑.所以此题转化为求函数 在条件221(,)()Fxyy下的条件极值用拉格朗日乘子法求解如下：23:Cxy令 22213(,)()()()Lyyx解方程组 ，得几个可能的极值点203()xyFx，112,(,),(,)进行比较，可得，在点 或 处 ，方向导数取到最1,xy2,xy大，为 93.18 （本题满分 10 分）（1）设函数 都可 导，利用导数定义证明(),uxv；()()vxv （2）设
11、函数 都可导，12(),nu，写出 的求导公式()()fxu ()f【详 解 】（ 1）证明： 设 )(xvuy)()()(xvuxvuy()()x xuv)( xuxvuy)(由导数的定义和可导与连续的关系 00limli()()()xxyuvxuxvx（2） 12()nf 1212()()()()n nuuxxxux 19 （本题满分 10 分）已知曲线 L 的方程为 ，起点为 ，终点为2zxy02(,)A，计算曲线积分02(,)B22()()Lyzdxydxydz- - - word 可编辑.【详 解 】曲 线 L 的参数方程为 2cosin,xtyzt起点 对应 ，终点为 对应 02(
12、,)At0(,)B2t22 22)(sinco(scos)(s)(cos)Lyzdxydxydztttttd 20sin.td20 （本题满分 11 分）设向量组 为向量空 间 的一组基，123,3R1 2331,()kk（1）证明：向量 组 为向量空间 的一组基；1（2）当 为何 值时，存在非零向量 ，使得 在基 和基123,下的坐标相同，并 求出所有的非零向量13, .【详 解 】（ 1） ，2312301(,),k因为 ，且 显然线性无关，0402121kk123,所以 是线性无关的， 当然是向量空间 的一组基13,3R（2）设非零向量 在两组基下的坐标都是 ，则由条件123(,)x12
13、3x可整理得： ，所以条件转化为线3130()()kk性方程组存在非零解132130,x从而系数行列式应该等于零，也就是 123123010(,)(,kk由于 显然线性无关 ，所以 ，也就是 123,020k- - - word 可编辑.此时方程组化为 ，11223123 0,()xx由于 线性无 关，所以 ，通解为 ，其中12, 120x123Cx为 任意常数C所以满足条件的 其中 为任意不为零的常数0C21 （本题满分 11 分）设矩阵 相似于矩阵 0231Aa1203Bb（1）求 的值；,ab（2）求可逆矩 阵 ，使 为对角矩阵P1A【详 解 】（ 1）因为 两个矩阵相似，所以有 ， t
14、rBA也就是 3245aba（2）由 ，得 A，B2120051503()EB的特征值都为 12,解方程组 ，得矩阵 A 的属于特征值 的线性无关0()x12的特征向量为 ；12301.解方程组 得矩 阵 A 的属于特征值 的线性无关的特征5()Ex35向量为 31令 ，则12310,P105.PA22 （本题满分 11 分）设随机变量 X 的概率密度为20ln,()xf对 X 进行独立重 复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记为 次数Y- - - word 可编辑.求 的分布函数；Y（1） 求 的概率分布；（2） 求数学期望 .EY【详 解 】（ 1）X 进行独立重复的观测
15、，得到观测值大于 3 的 概率为3128()lnxPd显然 Y 的可能取值为 4,且22171734868() (),kkkPC（2）设 22 32 21 11()()() ,()nnnn xSxx x 2221771664848()()()kknEYPS23 （本题满分 11 分）设总体 的概率密度为X10,(;)xfx为其中 为未知参数 ， 是来自总体的简单样本12,nX（1）求参数 的矩估计量；（2）求参数 的最大似然估计量【详 解 】（ 1）总体的 数学期望为 112()()EXxd令 ，解得参数 的矩估计量： ()X（2）似然函数 为 1212 110,()(,;) nnnxLx 为
16、显然 是关于 的单调递增函数，为了使似然函数达到最大，只要使()尽 可能大就可以，所以参数 的最大似然估 计量为 12min(,).nx- - - word 可编辑.2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一)试卷一、选择题：18 小题，每小 题 4 分，共 32 分，下列每 题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。（1）若反常积 分 收敛，则（ ） 。+01()abdxA. 且abB. 且1C. 且 D. 且ab【答案】C【解析】 ，而 当+1+001=()()()abababdxdxdx 10ax时收敛，而此时 不影响，1b- - - w
17、ord 可编辑.，而 当 时收敛，+11=()()ababdxdx+1abdx1此时 不影响，因此选择 C.b（2）已知函数 ，则 的一个原函数是（ ） 。2(1),)lnxf()fxA. 2(,)l1)xFB. 2(,)ln)xxC. 2(1,)l)FD. 2(,)ln1)xx【答案】D【解析】 对 函数 做不定积分可得原函数，()fx，因此选择 D.1lnllnxddxC（3）若 是微分方程2222(),()1yxyx的两个解， 则 =（ ） 。)pqqxA. 23(1)xB. C. 21xD. 【答案】A【解析】 将 代入微分方程可得：22(1)yx2 224()(1)()xpxqx而将
18、 代入微分方程可得：1y2 2224()()1()xxpxqx将这两个式子相加可得： 228()1p两个式子相减可得： 2201xx因此可得 22222()4)()4(1)()3(1)1xqx xxx为- - - word 可编辑.故选择 A.（4）已知函数 ，则（ ） 。,0()11,2,xf nnA. 是 的第一类间断点0x()fB. 是 的第二类间断点C. 在 处连续但不可 导()fxD. 在 处可导0【答案】D【解析】 ，因此在 处连续，0 1lim()li()lim0()nnxffxf0x，而 ，而0li()1xf001li()lilinxxff，因此n，而左右两边的极限均为 1，因
19、此 ，故11()xn 0lim()1xf在 可导， 选择 D.0（5）设 是可逆矩阵，且 与 相似，则下列结论错误 的是（ ） 。,ABABA. 与 相似TABB. 与 相似1C. 与 相似TTD. 与 相似1A1B【答案】C【解析】 因 为 与 相似，因此存在可逆矩阵 ，使得 ，于是P1AB有：，即 ，111()()()TTTPAPABT，因此 ，P1A，因此 ，11111()1B而 C 选项中， 不一定等于 ，故 C 不正确，选择 C.TPATB（6）设二次型 ，则2212313132(,)44fxxxx在空间直角坐标系下表示的二次曲面为（ ） 。123(,)fxA.单叶双曲面B.双叶双曲
20、面- - - word 可编辑.C.椭球面D.柱面【答案】B【解析】 二次型 对应的矩2212313132(,)44fxxxx阵 ，根据 可以求得特征值为，A|0EA，因此二次型的规范形为 ，故可得1235,1 2213fz，即 ，因此对应的曲面为双叶123z2223()()z双曲面，选择 B.（7）设随机变 量 ，记 ，则（ 2(,)0XN2pPX） 。A. 随着 的增加而增加pB. 随着 的增加而增加C. 随着 的增加而减少D. 随着 的增加而减少p【答案】B【解析】 ，22XXpPXPP因此选择 B， 随着 的增加而增加.（8）随机试验 有三种两两不相容的结果 ，且三种结果发生的E123
21、,A概率均为 ，将试验 独立重复做 2 次， 表示 2 次试验 中结果 发生13X1A的次数， 表示 2 次试验 发生的次数，则 于 的相 关系数为（ ） 。YAYA.B.C.D.【答案】 12【解析】 根据 题意可知 ，因此有1(2,)(,)3XBY，24,39EXYD17(0)()0(,0)39PPX- - - word 可编辑.12(1)(,),39PXYY因此可得 ，故可得相关系数为：7209E41XYD二、填空题，914 小题，每小 题 4 分，共 24 分，请将 答案写在答疑纸指定位置上.（9） _.02ln(1si)imcoxttd【答案】 2【解析】 02222ln(1si)l
22、n(1si)ln(1si)sin1imimimlmcoxx x xttd（10）向量场 的旋度(,)()Axyzzixyjk_.rot【答案】 (0,1)y【解析】 由旋度公式可得,0,1RQProtAyyzx（11）设函数 可微， 由方程(,)fuv(,)z确定，则 _.2(1),xzyxy(0,1)|d【答案】 d【解析】 将 两边分别关于 求导可得：2()(,)xzyxfzy,xy， 2 11(,)()x xzf z。 2 12()(,1y yzfy将 代入原式可得 ，因此将 代入关于 求0,x0,xzx导的式子可得：，因此 ，代入 关于 求导的式子可得： ，因xz1xzy20yz此有
23、，故可得 .2y(0,)|2dxd（12）设函数 ，且 ，则2()arctn1fxx(0)1f_.a- - - word 可编辑.【答案】 12【解析】 根据 ，可得：2()arctn1xfx，然后求二阶导数为：2 22 21()()()axf 2222 4(1)()1()1)xaxaxaxf此时 （存疑）0f（13）行列式 _.01432【答案】 432【解析】.4321010041432432（14）设 为来自 总体 的简单随机样本，样本均12,nx 2(,)XN值 ，参数 的置信度 为 0.95 的双侧知心区间的置信上限为 10.8，9.5则 的置信度为 0.95 的双侧置信区间为_.【
24、答案】 (8.2,10)【解析】，0.250.250.250.25.9xPuuPxuxunnn因为 ，所以 ，因此可得0.251.8x0.251.3，故可得置信区间为 .0.25.un(8.,)三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15） （本题满分 10 分）已知平面区域 ，计算二重积(,)|2(1cos),2Dr分 .xdy- - - word 可编辑.【答案】 325【解析】 32(1cos)2 2(1cos)223423422322 2cs|8(3cs)8o8coscos84(1s)(1in)icosinD r
25、xdyrddddd 332222222ins|8i|(i|sico)34si(1co4)3sin4|25 dd （16） （本题满分 10 分）设函数 满足方程 ，其中 .()yx20yk1k（ ）证 明：反常 积分 收敛；0()xd（ ）若 ，求 的值.()1,y0()yx【答案】 （ ） ；（ ） k【解析】（ ）特征方程为 ，由 可知，特征方程有 两个不20r1k同的实根，即 且 ，因此二阶常系1,241,20r数齐次线性方程的解为： ，故可得12()rxrxyCe12120012()(|()(1)rxrrxrydedCerr因此 收敛.0()yxd（ ）由 ， 可得：12rxrxCe(
26、0)1,()y- - - word 可编辑.，解得121,2Crk12C代入可得 120 11()()2()yxdrkkk（17） （本题满分 10 分）设函数 满足 ，且 ， 是从(,)fxy2(,)1)xyfxye(0,)1fytL点 到点 的光滑曲线，计算曲线积分01t，并求 的最小值.(,)(,)()tLfxyfxyId ()It【答案】3【解析】根据 可得：2(,)1)xyfxye2222(,)(1)()xyyxxyxfedede又 故可知 ，因此0,1fy()1y2(,)1xyfe所以 ，2()xe22(,)(,)() (1)()t t xyxyL LfyfyIdededx设 ，则
27、有221),yxyPeQe222(,xyxyxyy 因此 ，因此积分与路径无关x故 2210022()(1)t xyxyLtttIededxe因为 ，所以 ，令 可得2()tI2()1tIte()0It2t- - - word 可编辑.而 ，因此 ，因此当 有最小值为2()tIe()10I2t.13（18） （本题满分 10 分）设有界区域 由平面 与三个坐标平面围成， 为 整个表22xyz面的外侧，计算曲面积分 .(1)3Idyzxzdy【答案】 12【解析】，令2(1)3Ixdyzxzdy 21,3PxQyRz由高斯公式可知： 120120()(23)(21)()2xyxyyxDxPQRI
28、dxyzxdyzxdyzddyd（19） （本题满分 10 分）已知函数 可导，且 .设数列 满足()fx1(0)1,()2ffxnx，证明：11,2nn（ ）级 数 绝对收敛；1()nx（ ） 存在，且 .limn0li2nx【答案】 利用 绝对 收敛定义证明即可。【解析】（ ）证 ： ，因此有1()nnxf11112122| |()|()()|2nnnnnfffxxx 显然 收敛，因此 绝对收敛 .211|n1()nx- - - word 可编辑.（ ）记 ，因此得 ，因 为级数1()nnSx1nSx收敛，因此 存在，因此 存在，不妨设1()nxlimnlin，limnA，由 可得1()(
29、0)1()1nnnxffxffx10()2fx，两边取极限可得 ，即2nA若 ，这与 矛盾，若 ，与 矛盾，因0AA()1f此可得 ，即 .0limnx（20） （本题满分 11 分）设矩阵 .122,1AaBa当 为何值时，方程 无解、有唯一解、有无穷多解？在有解时，aX求解此方程.【答案】 时，无解； 时，有无穷多解，21a；12Xk且 时，有唯一解，2a131240aX【解析】增广矩阵为 1212(,)2103410ABaaa因此当 即 且 时，有唯一解；|(2)10Aa2a设 ，代入 ，解得123xXAXB31240a- - - word 可编辑.当 代入2a121203403610a
30、设 ，因此可得 ，这 两个式子是矛盾的，213xX32326,x因此方程组无解；当 代入 ，1a12120340330aa此时方程组有无穷多解，将 代入可得 ，123xX123123x解得 ，不妨设 为自由未知量，则可得12x312,x12Xk（21） （本题满分 11 分）已知矩阵0123A（ ）求 ；9（ ）设 3 阶矩 阵 满足 .记 ，123(,)B2BA1023(,)将 分别表示成 的线性组合.12,【答案】 （ ）99989101022A（ ） 910112()();902 2;8931()()【解析】（ ）利用相似对角化，由 得到特征值为 ，|0EA0,12当 时，代入 中，求解
31、方程组 的解就是特征向0()X- - - word 可编辑.量，即 132r同理得到其他的两个特征向量分别为： 对应的特征向量为 ，1210r对应的特征向量为 ，2320r设 ，则有 ，因此可得121(,)Pr102PA，根据矩阵 可以求得其逆矩阵为99 102A1012P因此有99 1 999981010 10030221222APP （ ） ，因此可得2322BABAB、 ，所以109 999810 91010231231232(,)(,)(,)因此有 910112(2)();902 2;8931()()（22） （本题满分 11 分）- - - word 可编辑.设二维随机变量 在区域
32、上服从(,)XY2(,)|01,Dxyxy均匀分布，令 1,0UY（ ）写 出 的概率密度；(,)X（ ）问 与 是否相互独 立？并说明理解；（ ）求 的分布函数 .ZU()Fz【答案】（ ）23,01,(,)xyxfxy为（ ） 与 不独立，因为UX11,2PUXPUX（ ） 的分布函数为：Z23220,1()1()(),ZzzFzz【解析】（ ）区 域 的面积为 ，因此服从均匀分布，D1201()3sxd因此有 23,01,(,)xyxfxy为（ ） 与 不独立UX111,0,222PPXPYX因此 ，故不独立.11,22UU（ ） () |0|1,0,1,1,FzPXzzPUXzUPXz
33、UzYzY230,11,PXzzz- - - word 可编辑.3220,11,()(),1,zPXzYzz因此可得 23220,1()1()(),ZzzFzz（23） （本题满分 11 分）设总体 的概率密度为 ，其中 为未X23,0(,)xf 为(0,)知参数， 为总体 的简单随机抽样，令 .123,X123max(,)TX（ ）求 的概率密度；T（ ）确定 ，使得 为 的无偏估计.a【答案】（ ） 的概率密度：T89,0()Txf为（ ） 1a【解析】（ ）根据 题意， 独立同分布，因此可得123,X123123()max(),()TFtPtPXttt当 时， ；0t()0T当 时 ，
34、；t2930()txtFd当 时， ，因此可得概率密度函数为：t)1Tt89,0()Txf为（ ） ，根据题意，如果 为 的890()(1tEaTada aT无偏估计，则有- - - word 可编辑.，因此可得 .()EaT910a2017 年全国硕士研究生入学统一考试- - - word 可编辑.数学( 一)试卷一、选择题：18 小题，每小 题 4 分，共 32 分，下列每小 题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。（1）若函数 在 连续，则（ ） 。1cos(),0,xfxabA. 2abB. 1C. 0D. 2ab【答案】A【解析】由连续的定义
35、可得 ，而-+00lim()li()xxff， ，因此可+200011cosli()lilixxxfaa-0lim()xfb得 ，故选择 A。12ba（2）设函数 可导，且 ，则（ ） 。()fx()0fxA. (1)fB. C. |()|)ffD. |1|【答案】C【解析】 令 ，则 有 ，故 单调递增，2()Fxf()2()Fxfx()F则 ，即 ，即 ，故选择 C。12(1)f|1|f（3）函数 在点 处沿向量 的方向导(,fxyzz(,0)(,20)n数为（ ） 。A.12B.6C.4D.2- - - word 可编辑.【答案】D【解析】 ，因此代入 可得2,gradfxyz(1,20
36、)，则有 。(1,20)|4,f 24,|3fugrad （4）甲乙两人 赛跑，计时开 始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中，实线表示甲的速度曲线 （单位：m/s） ，虚线表示乙的速度曲线1()vt，三块阴影部分面积的数值依次为 10，20 ，3 ，计时开始后乙追2()vt上甲的时刻记为 （单位：s） ，则（ ） 。0tA. 01tB. 52C. 0tD. 025t【答案】C【解析】 从 0 到 时刻，甲乙的位移分别为 与 ，由定积t 01()tvd02()tv分的几何意义可知， ，因此可知 。2510()(2vtt 05t（5）设 为 n 维单位列向量，E 为 n 维单位矩阵，则（ ） 。A. 不可逆TB. 不可逆C. 不可逆2TED. 不可逆【答案】A【解析】 因 为 的特征值为 0（n-1 重）和 1，所以
